2023-2024學年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學八年級（上）第一次月考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在實數(shù)、、、中，是無理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，圖中的字母是它們的面積其中，，則為(    )A.
B.
C.
D. 3.若中，，，，下列不能判定為直角三角形的是(    )A. ，， B. ：：：：
C.  D. 4.勾股定理被譽為“幾何明珠”在我國古算書周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載如圖所示，把一個邊長分別為，，的三角形和三個正方形放置在大長方形中，則該長方形中空白部分的面積為(    )A.
B.
C.
D. 5.一個正數(shù)的平方根是與，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 6.下列說法：實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的；實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù)；立方根等于它本身的數(shù)是和；無理數(shù)都是無限小數(shù)；平方根等于本身的數(shù)是和正確的個數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 7.如圖，長方體的長為，寬為，高為，點離點的距離為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是(    )A.
B.
C.
D. 8.如圖，將放在正方形網(wǎng)格圖中圖中每個小正方形的邊長均為，點，，恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么中的高是(    )
 A.  B.  C.  D. 9.已知實數(shù)滿足，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 10.如圖，在中，于點，平分交于點，交于點，，，則的長等于(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.的算術平方根的平方根是______．12.比較大小：______填“”，“”或“”13.中，，，高，則的周長是______．14.已知實數(shù)、在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡： ______ ．15.如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為米的正方形，一只螞蟻從點爬過木塊到達處需要走的最短路程是______ 米
 16.如圖，等邊，邊長是點、分別是邊、上的動點，且，點是邊上的動點，連接、若，則線段的長為______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
化簡：
；
；
；
．18.本小題分
實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來，
如圖，點表示的數(shù)是______；
如圖，直線垂直數(shù)軸于原點在數(shù)軸上，請用尺規(guī)作出表示的點不寫作法，保留作圖痕跡．

 19.本小題分
求下列各式中的值：
；
．20.本小題分
在如圖中畫出邊長為、、的三角形．
該三角形的面積為______ ．
21.本小題分
已知的立方根是，是的平方根，是的整數(shù)部分，求的值．22.本小題分

我們學校有一塊四邊形空地，如圖所示，現(xiàn)計劃在這塊空地上種植草皮，經(jīng)測量，米，米，米，米若每平方米草皮需要元，則共需要投入多少錢？
23.本小題分
今年第號臺風“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由向移動，已知點為一海港，且點與直線上的兩點、的距離分別為，，又，經(jīng)測量，距離臺風中心及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．
海港受臺風影響嗎？為什么？
若臺風中心的移動速度為千米時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？
24.本小題分
在解決問題“已知，求的值”時，小明是這樣分析與解答的：
，
，
，，
，
，．
請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：
化簡：．
若，求的值．25.本小題分
如圖，長方形紙片，，，點、分別是邊、上的點，將沿著翻折得到．
如圖，點落在邊上，若，則 ______ ， ______ ；
如圖，若，點是邊中點，連接、，求的面積；
如圖，點是邊上一動點，過點作交于點，將沿著翻折得到，連接，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出的長．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；
是分數(shù)，屬于有理數(shù)；
故在實數(shù)、、、中，是無理數(shù)的是．
故選：．
根據(jù)無理數(shù)的定義進行判斷即可．
本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．2.【答案】 【解析】解：，，，
又，
．
故選：．
根據(jù)勾股定理和半圓的面積公式得出，則可得出答案．
本題考查勾股定理，關鍵是對勾股定理進行的證明，難易程度適中．3.【答案】 【解析】解：，，，則，故選項A符合題意；
當：：：：時，設，，，則，故選項B不符合題意；
由整理得：，故選項C不符合題意；
由，可知，故選項D不符合題意；
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷選項B、、是否符合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以判斷選項B是否符合題意，本題得以解決．
本題考查勾股定理的逆定理，會用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀是解答本題的關鍵．4.【答案】 【解析】解：如圖延長交于，其他字母標注如圖示：根據(jù)題意，，，，
在和中，
，，，
≌，
，
，
同理可證≌，
，
．
空白部分的面積長方形面積三個正方形的面積和．
故選：．
利用一線三直角證明三角形全等，可得長方形的長與寬，計算出長方形的面積后減去三個正方形的面積即可．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一線三垂直證明全等是突破本題的關鍵．5.【答案】 【解析】解：與是正數(shù)的平方根，
．
解得．
，．
．
的值為．
故選：．
根據(jù)一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)可得，，解關于的方程求出的值，即可以求出的值，從而求出正數(shù)的值．
本題考查了平方根的定義，熟記平方根的定義是解題的關鍵．6.【答案】 【解析】解：實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的，故說法正確；
實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)和零，故說法錯誤；
立方根等于它本身的數(shù)有，和，故說法正確；
無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)，錯誤，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，故說法正確；
算術平方根等于本身的數(shù)是和，故說法錯誤；
故選：．
直接利用相關實數(shù)的性質(zhì)分析得出答案．
本題主要考查了實數(shù)和實數(shù)與數(shù)軸，屬于基礎知識的考查，掌握相關概念或性質(zhì)解答即可．7.【答案】 【解析】解：將長方體展開，連接、，
根據(jù)兩點之間線段最短，
如圖，，，
由勾股定理得：．


如圖，，，
由勾股定理得，．


只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖：
長方體的寬為，高為，點離點的距離是，
，，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：
；
由于，
故選：．
要求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．
本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可．8.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖形可得：
，
，
所以，
所以，
設中邊上的高是，
則，
，
．
故選：．
根據(jù)所給出的圖形求出、、的長以及的度數(shù)，再根據(jù)三角形的面積公式列出方程進行計算即可．
此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，關鍵是根據(jù)三角形的面積公式列出關于的方程．9.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
則，
，
，
，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出的范圍，根據(jù)絕對值的性質(zhì)計算即可．
本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．10.【答案】 【解析】解：，

，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
過點作于，
平分，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
設，則，
，
中，，
，
．
故選：．
利用勾股定理可得和的長，由角平分線定理可得，證明≌，可得，設，則，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．
本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．11.【答案】 【解析】解：的算術平方根的平方根是，
故答案為：．
利用平方根和算術平方根的定義求解即可．
此題主要考查了算術平方根、平方根的定義．解題時注意正數(shù)的平方根有個，算術平方根有個．12.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是判斷出的差的正、負．
首先求出兩個數(shù)的差是多少；然后根據(jù)求出的差的正、負，判斷出、的大小關系即可．
【解答】
解：


因為，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案為：．13.【答案】或 【解析】解：此題應分兩種情況說明：
當為銳角三角形時，在中，
，
在中，


的周長為：；

當為鈍角三角形時，
在中，，
在中，，
．
的周長為：
當為銳角三角形時，的周長為；當為鈍角三角形時，的周長為．
綜上所述，的周長是或．
故填：或．
本題應分兩種情況進行討論：
當為銳角三角形時，在和中，運用勾股定理可將和的長求出，兩者相加即為的長，從而可將的周長求出；
當為鈍角三角形時，在和中，運用勾股定理可將和的長求出，兩者相減即為的長，從而可將的周長求出．
此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識，在解本題時應分兩種情況進行討論，易錯點在于漏解，同學們思考問題一定要全面，有一定難度．14.【答案】 【解析】解：由數(shù)軸可知，，，
，


，
故答案為：．
根據(jù)數(shù)軸可知，，，再化簡即可．
本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特點，絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．15.【答案】 【解析】解：由題意可知，將木塊展開，
相當于是個正方形的寬，
長為米；寬為米．
于是最短路徑為：米．
故答案為：．
解答此題要將木塊表面展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短解答．
本題主要考查兩點之間線段最短，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力．16.【答案】 【解析】解：如圖，過點分別作于點，于點，于點，連接，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
此時，重合，、重合，即，
在和中，
，，
≌，
，
，
，
故答案為：．
過點分別作于點，于點，于點，根據(jù)三角形的面積證明，可得此時，重合，、重合，即，然后證明≌，得，再根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．17.【答案】解：原式
；
原式

；
原式

；
原式
． 【解析】先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可；
利用二次根式的乘除法則運算；
先根據(jù)二次根式的除法法則運算，再分母有理化，然后合并即可；
利用完全平方公式和平方差公式計算．
本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．18.【答案】 【解析】解：如圖：

，
點表示的數(shù)是是，
故答案為：；
如圖所示：

點即為所求．
利用勾股定理求出斜邊長度即可得答案；
可以看做點向左移動個單位長度，由可知，從點表示的點出發(fā)，構(gòu)造直角邊分別為和的直角三角形，斜邊即為．
本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，用勾股定理構(gòu)造長度為的線段是解題關鍵．19.【答案】解：

，
解得，，；



，
解得，． 【解析】先移項，然后根據(jù)直接開平方法可以解答此方程；
先移項，然后根據(jù)直接開立方法可以解答此方程．
本題考查立方根、平方根、解方程，解答本題的關鍵是明確解方程的方法．20.【答案】 【解析】解：如圖，即為所求．
的面積為．
故答案為：．
結(jié)合勾股定理畫圖即可．
利用割補法求三角形的面積即可．
本題考查作圖復雜作圖、二次根式的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．21.【答案】解：由已知得：，，，
解得：，或，，
當時，；
當時，；
綜上所述，等于或． 【解析】利用立方根的意義、平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，求出、、的值，相加可得結(jié)論．
此題考查立方根的意義、平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，熟練掌握定義，正確運算是解答此題的關鍵．22.【答案】解：連接，
在中，，，，
米．
在中，，，，
．
是直角三角形，且．
平方米．
四邊形空地的面積為平方米．
元．
答：學校共需投入元． 【解析】利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理證明即可解決問題．
本題考查勾股定理的應用，四邊形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．23.【答案】解：海港受臺風影響，理由：
，，，
，
是直角三角形，；
過點作于，
是直角三角形，
，
，
，
以臺風中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域，
海港受臺風影響；
當，時，正好影響港口，
，
，
臺風的速度為千米小時，
小時．
答：臺風影響該海港持續(xù)的時間為小時． 【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形；利用三角形面積得出的長，進而得出海港是否受臺風影響；
利用勾股定理得出以及的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．
本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．24.【答案】解：；
，
，
，即，
，
，
則． 【解析】分子、分母都乘以，再進一步計算即可；
將的值的分子、分母都乘以得，據(jù)此先后求出、及、的值，代入計算可得答案．
本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則、分母有理化等知識點．25.【答案】   【解析】解：，，
，
將沿著翻折得到，
，，
，
如圖，過點作于，

四邊形是矩形，
，，
，
，
，
故答案為：，；
如圖，連接，交于，連接，過點作于，

點是邊中點，
，
將沿著翻折得到，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的面積；
若時，則，
，
，
，
若時，如圖，過點作于，

，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
綜上所述：的長為或．
由折疊的性質(zhì)可求，，由勾股定理可求的長，的長；
由折疊的性質(zhì)可得，，，由勾股定理和面積法可求的長，的長，由面積關系可求解；
分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．
本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．

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