一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．以下函數(shù)中,在上單調(diào)遞增且是偶函數(shù)的是( )
A.B.
CD.
3．下列各組函數(shù)中,兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的是( )
A.與B.與
C.與D.與
4．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則( )
A.1B.C.D.2
5．下列命題為真命題的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,,則
6．已知函數(shù),若,則( )
A.2或或B.2或C.2或D.
7．已知函數(shù)是R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,若,,且,都有,則下列結(jié)論正確的是( )
A.最大值為
B.
C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
D.若,則
二、多項(xiàng)選擇題
9．設(shè)集合,,且,則實(shí)數(shù)a的值可以是( )
A.2B.1C.D.0
10．下列結(jié)論中正確有( )
A.“”是“”的必要不充分條件
B.已知命題“,”,則該命題的否定為“,”
C.“”是“”的充分不必要條件
D.“關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根”的必要條件可以是
11．下列說法正確的有( )
A.若,則函數(shù)的最大值為
B.已知,則的最小值為
C.若正數(shù)x、y滿足,則的最小值為3
D.設(shè)x、y為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為6
三、填空題
12．已知函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是_________.
13．已知是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則不等式的解集為_________.
14．已知,,滿足不等式,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________.
四、解答題
15．已知全集,集合,集合.
（1）求集合;
（2）設(shè)集合,若集合,且是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16．某廠要建一個(gè)長方體形狀的露天蓄水池,其蓄水量為,高為xm,底面一條邊長為5m,施工方給的造價(jià):四個(gè)側(cè)面造價(jià)為100元/,底面造價(jià)為80元/.
（1）設(shè)此蓄水池的總造價(jià)為y元,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
（2）如果你是施工方,請幫該廠設(shè)計(jì)一個(gè)總造價(jià)最低的方案,給出具體的數(shù)據(jù)參考.
17．設(shè)函數(shù),.
(1)若在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求關(guān)于x的不等式的解集.
18．已知集合,實(shí)數(shù)b滿足.
（1）若集合,且,,是集合U中最小的三個(gè)元素,求集合A;
（2）在（1）條件下,若實(shí)數(shù)b構(gòu)成的集合為B,且集合,若實(shí)數(shù),且關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解,請列出所有滿足條件的有序數(shù)對.
19．已知實(shí)數(shù),函數(shù),.
（1）試判斷函數(shù)的奇偶性;
（2）用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增,并判斷在是否也單調(diào),如果單調(diào),判斷是增函數(shù)還是減函數(shù).
（3）當(dāng),時(shí),用表示、的最大者,記為,求的最值.
參考答案
1．答案：B
解析：.
故選:B
2．答案：D
解析：對于A,函數(shù)為奇函數(shù),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
對于B,函數(shù)為偶函數(shù),且在上,單調(diào)遞減,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
對于C,函數(shù)為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對于D,函數(shù)為偶函數(shù),且在上,單調(diào)遞增且恒為正,故在單調(diào)遞增,故選項(xiàng)D正確.
故選:D
3．答案：D
解析：A選項(xiàng),的定義域?yàn)镽,的定義域?yàn)?
兩函數(shù)定義域不同,A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),的定義域?yàn)?
的定義域?yàn)?定義域不同,B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng),的定義域?yàn)?的定義域?yàn)镽,
兩函數(shù)定義域不同,C錯(cuò)誤;
D選項(xiàng),令,解得,故定義域?yàn)?
令,解得,故的定義域?yàn)?
又,故對應(yīng)法則相同,故兩函數(shù)為同一函數(shù),D正確.
故選:D
4．答案：A
解析：由于是冪函數(shù),
所以,解得或.
當(dāng)時(shí),函數(shù)為,滿足在上為減函數(shù),符合題意;
當(dāng)時(shí),函數(shù)為,不滿足在上為減函數(shù),不符合題意.
故,
故選:A.
5．答案：C
解析：A選項(xiàng),因?yàn)?所以,兩邊同時(shí)除以得,
,A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),因?yàn)?,所以兩邊同時(shí)乘以a得,兩邊同時(shí)乘以得,
故,B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng),因?yàn)?,則,C正確;
D選項(xiàng),因?yàn)?所以,
又,故,所以,D錯(cuò)誤.
故選:C
6．答案：D
解析：若,則,解得或2（舍去）,
若,則,解得（舍去）,
綜上,.
故選:D
7．答案：C
解析：根據(jù)題意,函數(shù)是R上的增函數(shù),
必有,解可得,
即a的取值范圍為
故選:C.
8．答案：D
解析：A選項(xiàng),,且,都有,
即,
故在上單調(diào)遞增,
又的圖象關(guān)于y軸對稱,故在上單調(diào)遞減,
故有最小值,A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),在上單調(diào)遞減,故,B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng),由平移法則知的圖象關(guān)于直線對稱,C錯(cuò)誤;
D選項(xiàng),若,則,
當(dāng),則,
當(dāng),則,
綜上,,
又在上單調(diào)遞增,
故,D正確.
故選:D
9．答案：ACD
解析：,
因?yàn)?
當(dāng)時(shí),,滿足要求,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,解得,
綜上,或2或.
故選:ACD
10．答案：BD
解析：A選項(xiàng),,解得或0,
故“”是“”的充分不必要條件,A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),命題“,”的否定為“,”,B正確;
C選項(xiàng),,解得或,
故“”是“”的必要不充分條件,C錯(cuò)誤;
D選項(xiàng),由題意得,解得,
由于,
故“關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根”的必要條件可以是,D正確.
故選:BD
11．答案：BCD
解析：A選項(xiàng),,,
當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),等號(hào)成立,故A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),,
因?yàn)?所以,
由基本不等式得,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故B正確;
C選項(xiàng),正數(shù)x、y滿足,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,C正確;
D選項(xiàng),x、y為正實(shí)數(shù),且,則,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,D正確.
故選:BCD
12．答案：
解析：若函數(shù)的定義域是,則函數(shù)需要滿足:
則,解得,
所以的定義域是.
故答案為:
13．答案：或.
解析：當(dāng)時(shí),,故,
因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),
所以,故,所以,
,滿足,
當(dāng)時(shí),令,解得,故,
當(dāng)時(shí),令,解得或,故,
綜上,的解集為或.
故答案為:或.
14．答案：或
解析：,,滿足不等式,
故只需,
其中,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
關(guān)于a的函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
所以,解得或,
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是或,
故答案為：或
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
等價(jià)于,解得或,
故或,,
,
（2）由（1）知,,
是的充分不必要條件,故D為C的真子集,
又,
故,解得,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
16．答案：（1）,;
（2）長方體的高為4m,底面長寬分別為10m和5m時(shí),總造價(jià)最低.
解析：（1）長方體蓄水池的底面面積為,
長方體底面的另一條邊長為m,
故,;
（2）,故由基本不等式得
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
此時(shí)m,
故當(dāng)長方體的高為4m,底面長寬分別為10m和5m時(shí),總造價(jià)最低.
17．答案：(1)
(2)當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)時(shí),原不等式的解集為或
解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),即函數(shù)在上單調(diào)遞減,合乎題意;
當(dāng)時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞減,
可得,解得.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(2)不等式可化為,
當(dāng)時(shí),原不等式即為,解得;
當(dāng)時(shí),方程的兩根分別為,.
（i）當(dāng)時(shí),,解原不等式可得;
（ii）當(dāng)時(shí),,解原不等式可得或.
綜上所述,當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),原不等式的解集為或.
18．答案：（1）
（2）,,,,,,,,,,.
解析：（1）,m,隨著m,n的增大而增大,
又m,,故集合U中最小的三個(gè)元素依次為
,,,
故;
（2）,
當(dāng)時(shí),或1,當(dāng)時(shí),與元素互異性矛盾,舍去,滿足要求,
當(dāng)時(shí),或2,兩者均滿足要求,
當(dāng)時(shí),（舍去）,
綜上,,
,
P,,關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解,
當(dāng)時(shí),,解得,滿足要求,
故,0,1,2均可,滿足條件的有序數(shù)對有,,,,
當(dāng),需滿足,即,
若,則,2,滿足條件的有序數(shù)對有,,
若,則,1,2,滿足條件的有序數(shù)對有,,,
若,則,滿足條件的有序數(shù)對有,
若,則,滿足條件的有序數(shù)對有,
綜上,滿足條件的有序數(shù)對有,,,,,,
,,,,.
19．答案：（1）偶函數(shù)
（2）證明見解析,函數(shù)在上是增函數(shù)
（3）最小值為2,最大值為8
解析：（1）因?yàn)閷?shí)數(shù),函數(shù),,
則,其中,
,則函數(shù)為偶函數(shù).
（2）因?yàn)?任取、且,則,,
則
,即,
所以,函數(shù)在上為增函數(shù),
函數(shù)在上也為增函數(shù),理由如下:
因?yàn)?任取、且,則,,
則
,即,
所以,函數(shù)在上為增函數(shù).
（3）當(dāng)時(shí),,,
則,
因?yàn)?當(dāng)時(shí),,即,
當(dāng)時(shí),,即,
故當(dāng)時(shí),,
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù),
所以,函數(shù)在上為增函數(shù),
又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù),故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,,
又因?yàn)?,則,
所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最小值為2,最大值為8.

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