經(jīng)典例題
【例1】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級階段練習(xí)）四邊形中，，連接．
（1）如圖1，若平分，求證：．
（2）如圖2，若，，求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長度．
【例2】（2022·山西·交城縣教學(xué)研究辦公室八年級期中）綜合與實(shí)踐：
問題情境：已知是的平分線，P是射線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別在射線，上，連接．
(1)初步探究：如圖1，當(dāng)，時，與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)深入探究：如圖2，點(diǎn)C，D分別在射線，上運(yùn)動，且，當(dāng)時，與在（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請說明理由；
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，如果點(diǎn)C在射線上運(yùn)動，且，當(dāng)時，點(diǎn)D落在了射線的反向延長線上，若點(diǎn)P到的距離為3，，求的長（直接寫出答案）．
【例3】（2021·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動點(diǎn)，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求證：∠ABD=∠ACD；
（2）求證：AD平分∠CDE；
（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．
【例4】（2021·貴州·九年級專題練習(xí)）【特例感知】
（1）如圖（1），是的圓周角，BC為直徑，BD平分交于點(diǎn)D，，，求點(diǎn)D到直線AB的距離．
【類比遷移】（2）如圖（2），是的圓周角，BC為的弦，BD平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，探索線段AB，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【問題解決】（3）如圖（3），四邊形ABCD為的內(nèi)接四邊形，，BD平分，，，求的內(nèi)心與外心之間的距離．
培優(yōu)訓(xùn)練
一、解答題
1．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．
2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．
3．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為 ．
（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．
（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．
4．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．
（1）求證：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．
5．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在中，是邊的中線，交延長線于點(diǎn)，．

（1）求證；
（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．
6．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．
（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
7．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知：是的角平分線，且．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，，點(diǎn)E在上，連接并延長交于點(diǎn)，交CA的延長線于點(diǎn)，且，連接．
①求證：；
②若，且，求的長．
8．（2022·全國·八年級）如圖1，在中，，分別是和的角平分線，和相交于點(diǎn)．
（1）求證：平分；
（2）如圖2，過作于點(diǎn)，連接，若，，求證：；
（3）如圖3，若，求證：．
9．（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣至善學(xué)校八年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．
（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動點(diǎn)，過點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時，的值是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應(yīng)結(jié)果．
10．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
11．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，求證：BC＝DC；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．
12．（2022·全國·八年級）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)E．
（1）如圖，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），試求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）如圖，若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動，且，其它條件不變，連接DO，求證：OD平分
（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)時，試探索線段AD、OC、DC的數(shù)量關(guān)系，并證明．
13．（2022·全國·八年級）如圖1，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且MN//PQ．和的平分線交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），交于點(diǎn)E,
①若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖2，求證：；
②若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則線段、、有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不說理由．
14．（2018·湖北武漢·八年級期中）在平面直角坐標(biāo)中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．
（1）如圖1，若+（a-2）2=0，求△ABO的面積；
（2）如圖2，AC與x軸交于D點(diǎn)，BC與y軸交于E點(diǎn)，連接DE，AD=CD，求證：∠ADB=∠CDE；
（3）如圖3，在（1）的條件下，若以P（0，-6）為直角頂點(diǎn)，PC為腰作等腰Rt△PQC，連接BQ，求證：AP∥BQ．
15．（2018·遼寧·沈陽市第一四三中學(xué)八年級期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題:
如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：
(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.
(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.
(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

16．（2019·全國·九年級專題練習(xí)）已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．
17．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）已知．
①如圖1，若，，求CE的長；
②如圖2，若，求的大?。?br>18．（2022·廣東·金輝學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知：如圖，在中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動一周，以為圓心，為半徑作圓．
(1)若分別與相切．
①利用直尺和圓規(guī)作（不寫作法，保留作圖痕跡）；
②求出此時的值；
(2)當(dāng)時，設(shè)在運(yùn)動的過程中與三條邊的公共點(diǎn)個數(shù)為，那么的最小值是___________，最大值是___________．
19．（2022·四川·石室中學(xué)八年級期中）如圖，在中，已知是邊上的高，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且，，．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)如圖2，在（2）的條件下，在的延長線上取一點(diǎn)G，使，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
20．（2022·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．
(1)直接寫出______；
(2)當(dāng)平分時，求的值；
(3)當(dāng)為等腰三角形時，求的值．

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