一、選擇題：下面每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確選項選出來．每小題3分，共36分．
1. 我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（ ）
A. 黃金分割數(shù)B. 平均數(shù)C. 眾數(shù)D. 中位數(shù)
【答案】A
【解析】0.618為黃金分割比，所以優(yōu)選法中有一種0.618法應用了黃金分割數(shù)；
故選A．
2. 用配方法解方程時，配方后正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
移項得，
兩邊同時加上，即
∴，
故選：C．
3. 如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵中，，
∴，
∵
∴，
故選：A．
4. 若一元二次方程有實數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】由題意得，，且，
解得，，且.
故選：D．
5. 某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和三名女同學表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上四名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下，
共有12種等可能結果，其中符合題意的有6種，
∴剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是，故選：A．
6. 如圖，在菱形中，，則的長為（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】連接與交于O．

∵四邊形是菱形，
∴，，，，
∵，且，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
7. 下列命題中，是真命題的有（ ）
①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
②對角線互相垂直的四邊形是菱形
③四邊相等的四邊形是正方形
④四邊相等的四邊形是菱形
A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④
【答案】B
【解析】①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，正確；
②對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原命題錯誤；
③四邊相等的四邊形是菱形，故原命題錯誤；
④四邊相等的四邊形是菱形，正確．
故選：B．
8. 小明拿一個等邊三角形木框在陽光下玩，等邊三角形木框在地上的投影不可能是（ ）
A. 線段B. 一個點
C. 等邊三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】當?shù)冗吶切文究蚺c陽光平行時，投影如圖：
當?shù)冗吶切文究蚺c陽光垂直時，投影如圖：
當?shù)冗吶切文究蚺c陽光有一定角度時，投影如圖：
投影不可能是B.
故選B.
9. 如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵∴，故選：C．
10. 如圖，O為正方形對角線的中點，為等邊三角形．若，則的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正方形中：，
∴，
∵O為正方形對角線的中點，∴，
∵為等邊三角形, O為的中點，
∴，，∴,
∴,
故選：B．
11. 如圖1，一個2×2的平臺上已經(jīng)放了一個棱長為1的正方體，要得到一個幾何體，其主視圖和左視圖如圖2，平臺上至少還需再放這樣的正方體（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】由題意畫出草圖，如圖，

平臺上至還需再放這樣的正方體2個，
故選：B．
12. 如圖，矩形中，，，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作的垂線交于E點，過點P作的垂線交于F點，則的長度最小為多少（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】B
【解析】如圖，連接、，
∵，，
∴．
∵四邊形是矩形，
∴．
∴四邊形為矩形．
∴．
∴要求的最小值就是要求的最小值．
∵點P從B點沿著往D點移動，
∴當時，取最小值．
在中，
∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴的長度最小為：．
故選：B．
二、填空題：本題共6小題，每小題填對得4分，共24分，只要求填最后結果．
13. 若，則________．
【答案】
【解析】
，
；
故答案為：．
14. 已知一元二次方程的兩根為與，則的值為_______．
【答案】
【解析】∵一元二次方程，即，的兩根為與，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 有數(shù)學4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數(shù)，擺出的三位數(shù)是5的倍數(shù)的概率是______．
【答案】
【解析】三位數(shù)有6個，是5的倍數(shù)的三位數(shù)是：465，645；
三位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為：；
故答案為：．
16. 如圖，將矩形紙片沿折疊，得到，與交于點．若，則 度.
【答案】
【解析】∵矩形紙片沿折疊，∴
∵，∴
∵，∴
17. 如圖，D、E分別是△ABC邊AB，AC上的點，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，則AE的長是____．
【答案】3
【解析】在和中，
解得
故答案為：3．
18. 如圖，四邊形是邊長為4的正方形，是等邊三角形，則陰影部分的面積為___________．

【答案】
【解析】如圖所示，作于點，于點，

∵四邊形是邊長為4的正方形，
∴，，，
∵是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
三、解答題（共7道大題，滿分60分）
19. 解方程
（1）
（2）
解：（1）
整理，得
∵，，，
∴，
方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
∴，
（2）
，
∴，
∴．
20. 揚州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚州旅游，兩人分別從，，三個景點中隨機選擇一個景點游覽．
（1）甲選擇景點的概率為________；
（2）請用畫樹狀圖或列表方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇景點的概率．
解：（1）共有個景點可供選擇，且選擇每種景點是隨機的，
甲選擇景點的概率為．
（2）解：根據(jù)題意，
列表如下：
由表格可知，共有種等可能結果，其中甲、乙至少有一人選擇景點共有種等可能的結果，甲、乙至少有一人選擇景點的概率為．
21. 如圖、在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

（1）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為，并寫出點B2的坐標．
解：（1）如圖，為所作．
（2）如圖，為所作，點B2的坐標為（-4，-6）．
22. 如圖，在中，D是的中點，E是的中點，過點A作交的延長線于點F．

（1）求證：；
（2）連接，若，求證：四邊形是矩形．
解：（1）∵，
∴，
∵點E為的中點，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2），
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴平行四邊形是矩形．
23. 列方程（組）解應用題
端午節(jié)期間，某水果超市調查某種水果銷售情況，下面是調查員的對話：
小王：該水果的進價是每千克22元；
小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．
根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？
解：設這種水果每千克降價元，
則每千克的利潤為：元，銷售量為：千克，
整理得，
或，
要盡可能讓顧客得到實惠，
即售價為（元）
答：這種水果的銷售價為每千克29元．
24. 如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，動點P從點B出發(fā)以1cm/s速度向點C移動，同時動點Q從C出發(fā)以2cm/s的速度向點A移動，其中一個點到終點另一個點也隨之停止．設它們的運動時間為t．
（1）根據(jù)題意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）運動幾秒時，△CPQ與△CBA相似？
解：（1）經(jīng)過t秒后， ；
（2）設經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進行求解，
①若，則 ，
即 ，解得：s，
②若，則，
即，解得：s，
由動點P從點B出發(fā)以1cm/s速度向點C移動，同時動點Q從C出發(fā)以2cm/s的速度向點A移動，其中一個點到終點另一個點也隨之停止，
可求出t的取值范圍應該為 ，
驗證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件，
故△CPQ與△CBA相似，運動的時間為或秒．
25. 定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．
（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB//CD，求對角線BD的長；
②若AC⊥BD，求證：AD=CD；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形．求AE的長．
解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形，
∴BD=AC=．
（2）如圖1中，連接AC、BD．
∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，∴四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．
若EF與BC不垂直，①當AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴AE=AB=5．
②當BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴BF=PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，
綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5．
女
女
女
男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
男
男，女
男，女
男，女

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