第Ⅰ卷（選擇題 共30分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，滿(mǎn)分30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的．
1. “方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥.如圖,將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD方向平移1cm得到正方形，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，之間的距離為（ ）
A. 1cmB. 2cm
C. (－1)cmD. (2－1)cm
【答案】D
【解析】由題意，BD=cm，
由平移性質(zhì)得=1cm，
∴點(diǎn)D，之間的距離為==（）cm，
故選：D．
2. 如圖，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交兩邊于點(diǎn)M，N，再分別以M、N為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)B，連接．若，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由作圖知，
∴四邊形是菱形，
∵，
∴，
故選：A．
3. 如圖，把矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若AB＝2，BC＝4，則點(diǎn)C與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的距離為( )

A. 6B. 8C. 2D. 2
【答案】D
【解析】連接AC、AC′，如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
Rt△ABC中，AC＝，
∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°，AC＝AC′，
∴△ACC′為等腰直角三角形，
∴CC′＝．
故選D．
4. 一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】，∴，
∴或，∴，，故選∶B．
5. 若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為（ ）
A. 2B. C. 2或D.
【答案】A
【解析】是關(guān)于的一元二次方程，
，即,由一個(gè)根，代入，
可得，解之得； 由得；故選A
6. 3月14日是國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)、某學(xué)校在今年國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)策劃了“競(jìng)速華容道”“玩轉(zhuǎn)幻方”和“巧解魯班鎖”三個(gè)挑戰(zhàn)活動(dòng)，如果小紅和小麗每人隨機(jī)選擇參加其中一個(gè)活動(dòng)，則她們恰好選到同一個(gè)活動(dòng)概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把“競(jìng)速華容道”“玩轉(zhuǎn)幻方”和“巧解魯班鎖”三個(gè)活動(dòng)分別記為A、B、C，
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，小紅和小麗恰好選到同一個(gè)活動(dòng)的結(jié)果有3種，
小紅和小麗恰好選到同一個(gè)活動(dòng)的概率為，故選：C．
7. 在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由圖得：，
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為：，將點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴直線(xiàn)AD的解析式為：，
AD所在直線(xiàn)與BE所在直線(xiàn)x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，
∴當(dāng)時(shí)，x=-1，
∴位似中心的坐標(biāo)為，
故選：A．
8. 如圖，在中，．將沿圖示中的虛線(xiàn)剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、有兩邊對(duì)應(yīng)邊成比例但夾角不相等，故兩三角形不相似，符合題意，
B、，，，兩三角形有兩邊對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，不符合題意，
C、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意，
D、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，，故兩三角形相似，不符合題意，
故選：A．
9. 我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類(lèi)乘除算法》中記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？”其大意是：矩形面積是864平步，其中寬與長(zhǎng)的和為60步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各幾步？若設(shè)長(zhǎng)為x步，則下列符合題意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知，寬為步，
則可列方程為，
故選：C．
10. 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)BD⊥AC，
又
四邊形MOND的面積是1，
正方形ABCD的面積是4，
故選：C．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共6小題，滿(mǎn)分18分．只填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得3分．
11. 如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，則陰影部分的面積為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】如圖所示，根據(jù)題意得，正方形，，是對(duì)角線(xiàn)，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于，交于，
∵，，，設(shè)，則，
∴，
∴，即，解方程得，，
∴，
∴陰影部分的面積為，
故答案為：．
12. 如圖，校園里一片小小的樹(shù)葉，P為的黃金分割點(diǎn)（），如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】∵P為的黃金分割點(diǎn)（），
∴，即，
解得，，
故答案為：．
13. 若α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)____．
【答案】
【解析】∵α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
則，
故答案為：．
14. 如圖矩形的對(duì)角線(xiàn)和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交和于點(diǎn)，，，，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__．
【答案】3
【解析】∵四邊形是矩形，
∴
∴,
又
∴，
∴
∴
故答案為：3
15. 如圖，若，，，，則長(zhǎng)為_(kāi)______．
【答案】2
【解析】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案為：2．
16. 如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______________．
【答案】
【解析】四邊形是矩形，
，
，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
是的中點(diǎn)，
是的中位線(xiàn)，
，
，
，
，
，
，
為的中點(diǎn)，
．
故答案為：．
三、解答題：本大題共8小題，滿(mǎn)分72分．解答時(shí)，要寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）
，
，
，
．
（2）可化為，
，
，
，
．
18. 【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線(xiàn)，入射光線(xiàn)和法線(xiàn)都在同一個(gè)平面內(nèi)；反射光線(xiàn)和入射光線(xiàn)分別位于法線(xiàn)兩側(cè)；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．
【同題解決】如圖2，小亮在湖對(duì)面P處放置一面平面鏡（平面鏡的大小忽略不計(jì)），他站在C處通過(guò)平面鏡恰好能看到塔的頂端A，此時(shí)測(cè)得小亮到平面鏡的距離為4米．已知平面鏡到塔底部中心的距離為米，小亮眼睛到地面的距離為米，C，P，B在同一水平直線(xiàn)上，且，均垂直于．請(qǐng)你幫小亮計(jì)算出長(zhǎng)安塔的高度．
解：由光的反射定律得到：；
∵，均垂直于；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴（米）；
答：長(zhǎng)安塔的高度是米．
19. 關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的兩個(gè)根．
解：（1）由方程可知：
Δ=
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ=即：，∴
∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵，∴k的最大整數(shù)值為0，
把，代入方程可得方程，
解這個(gè)方程得，．
20. 某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在40元至60元之間，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷(xiāo)售量就將減少10個(gè)．
（1）若y（個(gè)）表示這種臺(tái)燈平均每月的銷(xiāo)量，x（元）表示這種臺(tái)燈的售價(jià)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月12000元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，求這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元．
解：（1）∵這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷(xiāo)售量就將減少10個(gè)
∴
（2）依題意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合題意，舍去），答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為60元．
21. 為做好青少年安全教育工作，某校開(kāi)展了主題為“珍愛(ài)生命，牢記安全”的知識(shí)競(jìng)賽（共20題，每題5分，滿(mǎn)分100分）．該校從學(xué)生成績(jī)都不低于80分的八年級(jí)（1）班和（3）班中，各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績(jī)進(jìn)行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖及分析表．
【收集數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
【分析數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班和（3）班20名學(xué)生成績(jī)分析表
【應(yīng)用數(shù)據(jù)】
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題．
（1）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：
（2）填空：______，______；
（3）你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的成績(jī)更好一些？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）從上面5名得100分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級(jí)知識(shí)競(jìng)賽．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率．
解：（1）由八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
（2）由八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得，，
∴，
一共20名學(xué)生，中位數(shù)應(yīng)該為第10名與第11名的平均數(shù)，
．
（3）八年級(jí)（1）班和八年級(jí)（3）班的平均成績(jī)相同，但八年級(jí)（1）班的中位數(shù)和眾數(shù)都比八年級(jí)（3）班高，即八年級(jí)（1）班高分段人數(shù)較多．因此八年級(jí)（1）班成績(jī)較好．
（4）設(shè)八年級(jí)（1）班的三名100分的學(xué)生用A、B、C表示．八年級(jí)（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，則隨機(jī)抽兩名學(xué)生的所有情況如下：
一共有20種情況．其中兩名同學(xué)在同一個(gè)班級(jí)的有共8種，
∴所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率為： ．
22. 如圖，在中，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作的平行線(xiàn)，與線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接、
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）若，，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
①當(dāng)______時(shí)，四邊形是矩形；
②當(dāng)______時(shí)，四邊形是菱形．并在①②中選擇一種進(jìn)行證明．
解：（1），，
點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
，
在和中，，
≌，
，
又，
四邊形是平行四邊形．
（2）①當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
即當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
②當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，
四邊形是菱形，
，
，
，
為等邊三角形，
，
，
即當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．
23. 如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求證：．
解：（1）在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）連接交于點(diǎn)，如圖所示：
在矩形中，，則，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
24. 閱讀下面材料，回答下列問(wèn)題：
材料：對(duì)于一個(gè)關(guān)于的二次三項(xiàng)式，除了可以利用配方法求該多項(xiàng)式的取值范圍外，還可以利用根的判別式的方法，如下例：
例：求的最小值；
解：令
∴
∴
∴，∴的最小值為4．
請(qǐng)利用上述方法解決下列問(wèn)題：
（1）求代數(shù)式的最大值；
（2）若關(guān)于的的二次三項(xiàng)式（為常數(shù)）的最小值為，求的值；
（3）如圖1，矩形，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，設(shè)．
①用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)為_(kāi)_____；
②求線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍．
解：（1）令，
∴，
∴，
∴，∴的最大值為．
（2）令，
∴，
∴，
∴，
∵的最小值為，
∴，
解得：；
（3）①∵，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，，
設(shè)，則，
∴，
∴，
②令，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
分?jǐn)?shù)
80
85
90
95
100
人數(shù)
3
3
a
b
3
統(tǒng)計(jì)量
班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
八年級(jí)（1）班
95
41.5
八年級(jí)（3）班
91
90
265
(1)班 （3）班
A
B
C
X
Y
A
AB
AC
AX
AY
B
BA
BC
BX
BY
C
CA
CB
CX
CY
X
XA
XB
XC
XY
Y
YA
YB
YC
YX

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