2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

這是一份2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析），共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知平面，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
5. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
6. 已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
7. 燈籠起源于中國的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)球缺）.如圖2，“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（?。? ）
A B. C. D.
8. 函數(shù)，其圖象的一個(gè)最低點(diǎn)是，距離點(diǎn)最近的對稱中心為，則（ ）
A.
B. 是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C. 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
D. 的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，若是奇函數(shù)，則的最小值是
9. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)x∈0,2時(shí)，，若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題
10. i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則______
11. 的值為______.
12. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)1,f1處切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為f′x，則______．
13. 已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．
14. 折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让婺苷郫B的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點(diǎn)在上（包含端點(diǎn)），則__________；的取值范圍是__________．
15. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且滿足，函數(shù)，若函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為___________；若方程（）的解為、、、，則的取值范圍為___________
三、解答題
16. 在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
（1）求角的大??；
（2）求的值；
（3）求的值．
17. 如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角正弦值；
（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.
18. 記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，，，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）求證：對于且，．
19. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和．若，且數(shù)列滿足．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)存在正零點(diǎn)，
（i）求的取值范圍；
（ii）記為的極值點(diǎn)，證明.
2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷
一、選擇題
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由，得到，即，
又，所以，
故選：B.
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】分別得出及時(shí)的與的關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.
【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有，
若，則，
故“”是“”充分不必要條件.
故選：A.
3. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除AC，通過時(shí)函數(shù)值的符號可排除D，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】令，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除AC，
當(dāng)時(shí)，，，，即，故排除D，
故選：B.
4. 已知平面，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【正確答案】D
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．
【詳解】因?yàn)椋?br>對于A，若，則有可能在平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，又，則，又，所以或在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，則有可能與平交但不垂直，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，則，又，則，故D正確．
故選：D
5. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)給定的條件，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，借助進(jìn)行比較判斷選項(xiàng).
【詳解】，，
而，則，即，所以.
故選：B
6. 已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列均為等差數(shù)列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故選：A．
7. 燈籠起源于中國的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)球缺）.如圖2，“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（?。? ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由勾股定理求出，則可得，分別求出兩個(gè)圓柱的體積、燈籠中間完整的球的體積與球缺的體積即可得..
【詳解】該燈籠去掉圓柱部分的高為，則，
由圓柱的底面圓直徑為24cm，則有，
即，可得，則，
.
故選：A．
8. 函數(shù)，其圖象的一個(gè)最低點(diǎn)是，距離點(diǎn)最近的對稱中心為，則（ ）
A.
B. 是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C. 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
D. 的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，若是奇函數(shù)，則的最小值是
【正確答案】C
【分析】由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由最低點(diǎn)求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【詳解】解：函數(shù)，的圖象的一個(gè)最低點(diǎn)是，
距離點(diǎn)最近的對稱中心為，
，，，
，，解得，，因?yàn)椋?br>令，可得，
所以函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
，故函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故C正確；
把的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，
若是奇函數(shù)，則，，即，，
令，可得的最小值是，故D錯(cuò)誤，
故選：C
9. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)x∈0,2時(shí)，，若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的簡圖，由圖象分析得出的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
則，
即當(dāng)時(shí)，，
同理當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
以此類推，當(dāng)時(shí)，都有.
函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：
由圖可知，，，解得，
即對任意，都有，即的取值范圍是.
故選：D.
第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題
10. i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則______
【正確答案】
【分析】先利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后代入模的運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
故
11. 的值為______.
【正確答案】11
【分析】進(jìn)行對數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可．
【詳解】原式．
故11．
12. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為f′x，則______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
兩邊求導(dǎo)，可得．
又在處的切線方程為：，所以．
所以．
故
13. 已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．
【正確答案】
【分析】由已知變形得，，然后結(jié)合基本不等式可求．
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號，
則，
故的最小值．
故．
14. 折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點(diǎn)在上（包含端點(diǎn)），則__________；的取值范圍是__________．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】由圖形特征，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)坐標(biāo)寫出向量坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
由，，得，
則，所以；
設(shè)，，則

，
由，得，，，
所以的取值范圍是.
故；
15. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且滿足，函數(shù)，若函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為___________；若方程（）的解為、、、，則的取值范圍為___________
【正確答案】 ①. ②.
【分析】對于第一空，?x有7個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=fx的圖象與y=gx的圖象有7個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合后可求的取值范圍；對于第二空，根據(jù)圖像的局部對稱性可得 ，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，消元后利用單調(diào)性可求的范圍.
【詳解】因?yàn)閒?x=?fx，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，
?x有7個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=fx的圖象與y=gx的圖象有7個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線與相切時(shí)，
則的判別式即（負(fù)值舍去），
此時(shí)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
當(dāng)直線過時(shí)，，
結(jié)合下圖可得當(dāng)于函數(shù)y=fx與y=gx有7個(gè)交點(diǎn)，.
若方程（）有四個(gè)不同的解，
由題意及圖象知，，
由題意，
∴，
∴，即，
∴，∴，
又，∴，
因?yàn)樵谏暇鶠閱握{(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
∴，∴.
故，.
思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)討論，應(yīng)根據(jù)圖象的特征結(jié)合運(yùn)算性質(zhì)找到不同零點(diǎn)之間的相互關(guān)系后將目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)可求相應(yīng)的范圍.
三、解答題
16. 在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
（1）求角的大??；
（2）求的值；
（3）求的值．
【正確答案】（1）；
（2）；
（3）
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求出的大小，
（2）根據(jù)正弦定理即可求出的值，
（3）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式即可求出．
【小問1詳解】
由余弦定理以及，
則，
，
；
【小問2詳解】
由正弦定理，以及，，，可得；
【小問3詳解】
由，及，可得，
則，
，
．
17. 如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的正弦值；
（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）
（3）
【分析】（1）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到平面.
（2）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．
（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解．
【小問1詳解】
連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以為平行四邊?
由點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，可得且，
因?yàn)闉镃D的中點(diǎn)，所以且，
可得且，即四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面.
小問2詳解】
因?yàn)槠矫?，，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.
依題意可得，.
，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，可得，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值為.
【小問3詳解】
設(shè)，即，則.
從而.
由（2）知平面的法向量為，
由題意，，即，
整理得，解得或，
因?yàn)樗裕?
則N到平面的距離為.
18. 記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，，，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）求證：對于且，．
【正確答案】（1），；
（2）；
（3）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，求出結(jié)合等差等比數(shù)列定義求出通項(xiàng).
（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.
（3）求出，借助不等式性質(zhì)放縮，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.
【小問1詳解】
在等差數(shù)列中，，解得，而，
則數(shù)列公差，通項(xiàng)公式為，
由，得，令等比數(shù)列的公比為，
由，得，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
.
【小問3詳解】
由（1）知，
當(dāng)時(shí)，，
所以
.
19. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和．若，且數(shù)列滿足．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）由與的關(guān)系，仿寫作差后求出數(shù)列的通項(xiàng)，再代入所給方程求出數(shù)列的通項(xiàng)即可；
（2）等差與等比數(shù)列相乘求和，采用錯(cuò)位相減法，乘以等比數(shù)列的公比，再求和即可；
（3）先證明數(shù)列為遞減數(shù)列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；
【小問1詳解】
由題意知，
當(dāng)時(shí)，，所以．
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．
因?yàn)?，所以?br>所以，令，可得，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）知，
所以，
所以，
兩式相減，可得
，
所以，所以．
【小問3詳解】
若對一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因?yàn)椋?br>所以，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為和，且．
所以，即，
解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)存在正零點(diǎn)，
（i）求的取值范圍；
（ii）記為的極值點(diǎn)，證明.
【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間
（2）（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）（i）求導(dǎo)后借助導(dǎo)數(shù)分、及討論函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理計(jì)算即可得；（ii）利用零點(diǎn)定義與極值點(diǎn)定義可得，代入計(jì)算可得，再借助時(shí)，，即可得，再計(jì)算并化簡即可得.
【小問1詳解】
由已知可得的定義域?yàn)椋?br>且，
因此當(dāng)時(shí)，，從而f′x