【答案】A
【解析】
【分析】根據直線的方程得出其斜率，即可根據斜率與傾斜角的關系得出答案.
【詳解】直線的斜率，
設直線的傾斜角為，,
則，則，
故選：A.
2、
【答案】B
【解析】
【分析】利用頻率和概率的關系得到答案.
【詳解】10組數據中，恰有兩天下雨的有417，386，196，206，共4個，
故此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.
故選：B
3.
【答案】D
【解析】
【分析】根據雙曲線的定義結合焦半徑的范圍，即可求解．
【詳解】由已知，又，所以，
故選：D．
4.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列方程，即可求解.
【詳解】因為向量，，且，
所以，解得：.
故選：C
5.
【答案】B
【解析】
【分析】根據橢圓離心率的定義和的大小關系求解離心率的取值范圍即可.
【詳解】由橢圓，
則橢圓的離心率，
又因為，則，
所以.
故選：B
6.
【答案】D
【解析】
【分析】設，根據已知條件列方程，化簡后求得正確答案.
【詳解】設，其中，
則，即，
所以，
所以點的軌跡為不包含，兩點的拋物線.
故選：D
7.
【答案】B
【解析】
【分析】設切線方程為，聯立方程根據得到，再計算平行直線的距離得到答案.
【詳解】設切線方程為，則，則，
，解得，
切線方程為，故這兩條直線間的距離等于.
故選：B.
8.
【答案】D
【解析】
【分析】以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以 所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，同時設點的坐標為，其中，用坐標運算計算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范圍．
【詳解】以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以 所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；
則點設點的坐標為，由題意可得 ，
， 由二次函數的性質可得，當時取得最小值為；
當或1，且或1時，取得最大值為0，
則的取值范圍是
故選D．
9.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據，結合橢圓的標準方程即可判斷A；時，方程化為，即可判斷B；根據條件結合雙曲線標準方程以及雙曲線漸近線方程可判斷C；結合圓的方程判斷D.
【詳解】對于A，若，則化為，
則，則是橢圓，其焦點在x軸上，A正確；
對于B，若，即為，即，
即是兩條直線，B正確；
對于C，若，不妨設，則化為，
則表示焦點在x軸上的雙曲線，
同理當，則化為，
則表示焦點在y軸上的雙曲線，
綜合知是雙曲線，C正確；
對于D，若，則即為，
則是圓，其半徑為或，D錯誤，
故選：ABC
10.
【答案】AC
【解析】
【分析】對于，由不重合兩直線方向向量平行可判斷直線相互平行；對于B，要考慮直線可能在面內；對于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.
【詳解】對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，
則，所以，即，故正確；
對于B，直線的方向向量，平面的法向量是，
則，所以，即或，故B錯誤；
對于C，兩個不同的平面，的法向量分別是，
則，所以，故C正確；
對于D，直線的方向向量，平面的法向量是，
則，所以，即，故D錯誤．
故選：AC．
11.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A選項，判斷出兩圓外切，得到A正確；B選項，得到三角形全等，設，故，，結合正弦函數和余弦函數的單調性，得到最大，只需最大，從而得到B正確；C選項，設出，表達出；D選項，根據雙曲線定義得到點的軌跡為以為焦點的雙曲線的一支，D錯誤.
【詳解】A選項，圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則圓心距為，又，
由可知，故兩圓相離，故圓與圓共有條公切線，A正確；
B選項，因為，與圓切于，，所以⊥，⊥，
由對稱性可知，≌，
連接交于點，則⊥，且，
設，則，，
要想最大只需最大，而在上單調遞增，故只需最大，
其中，而在上單調遞減，
故只需最大，
顯然當，，三點共線，如圖所示時，最大，B正確；
C選項，設，
則，
，
，
，
故，C正確；
D選項，由題意得，，
故，則點的軌跡為以為焦點的雙曲線的一支，D錯誤.
故選：ABC
12.
【答案】
【解析】
【分析】求出兩直線交點坐標后可得．
【詳解】由得，所以，
，
故答案為：3.
13.
【答案】
【解析】
【分析】利用圓的性質，借助勾股定理列式求解即得.
【詳解】令線段的中點為，由圓的性質知，，且所在圓的圓心在直線上，
設所在圓的半徑為r，則有，解得，
所以所在圓的半徑為5.
故答案為：5
14.
【答案】##
【解析】
【分析】設，根據勾股定理得到，確定，中，根據余弦定理得到，得到離心率.
【詳解】不妨取為上頂點，如圖所示：
則，設，則，則，
整理得到，，
中，根據余弦定理：，
整理得到，即.
故答案為：.
15.
【解析】
【分析】（1）先求得線段AB的中點即圓心，從而求得半徑，寫出方程；
（2）由時最小，再利用弦長公式求解.
【小問1詳解】
解：由題意可知圓的圓心為，半徑為．
所以圓的方程為．
【小問2詳解】
易知當時最小，此時的斜率為，
所以直線的方程為，即，
所以．
16. 如圖，長方體中，底面是邊長為的正方形，側棱，為棱的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成的角．
【小問1詳解】
是長方體，平面,
平面,,
是邊長為的正方形，側棱，且為棱的中點，
,,,
,,
平面，平面，且，
平面，
平面，
平面平面.
【小問2詳解】
以點為原點，以、、所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則,,,,，
則,,,
設平面的法向量為，
則，解得：，
取，則，
設直線與平面所成角為，
則，
線面角范圍為，
，即直線與平面所成角為.
17.
【小問1詳解】
將次擲出的點數記為，則所有的樣本點為：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
共個，且每個樣本點出現的可能性相同，
使得的樣本點有，，，，，，，，，共個，
因此，顯然與為對立事件，
所以．
【小問2詳解】
由（1）知，，由和相互獨立，即知，
此時等價于事件“且”，因此中僅有一個樣本點，即，則，
而，，，，，
因此當且僅當時，且，所以所求的值為.
18.
【小問1詳解】
證明：連接并延長交于點，連接、，
因為是三棱錐的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面
【小問2詳解】
解：過點作，如圖建立空間直角坐標系，
因為，，所以，
又，所以，則，，
所以，所以，，，，
所以，
則，，，
設平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設平面的法向量為，則，
令，則，，所以；
所以.
設二面角的大小為，則，
所以，即二面角的正弦值為.

19.
【小問1詳解】
由題意可得解得，所以橢圓C的方程為．
【小問2詳解】
①方法一：第三定義轉化
依題意，點，設，
因為若直線的斜率為0，則點P，Q關于y軸對稱，必有，不合題意．
所以直線斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C聯立
整理得：，
所以，且
因為點是橢圓上一點，即，
所以，
所以，即
因為
，
所以，此時，
故直線恒過x軸上一定點．
方法二：非對稱韋達
依題意，點，設
因為若直線的斜率為0，則點P，Q關于y軸對稱，必有，不合題意
所以直線斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C聯立得：
所以整理得：，
所以，且
依題意，，即．
算法1：和積關系轉化法
因為，
所以，
所以解得：．
算法2：韋達定理代入消元
因為，
所以，
所以解得：．
方法三：分設兩線再聯立
依題意，點，設，設，并設直線，直線，
因為聯立直線與橢圓C得：
所以整理得：，解得：．
因為聯立直線與橢圓C得：
所以整理得：，解得：．
因為，且，此時，
設直線與x軸交于點，則由P，D，Q三點共線易知，
，
即線段過點．
②由①得，
所以
（當且僅當即時等號成立），
所以的最大值為2．

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