一、選擇題
1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．若a,,且,則( )
A.B.C.D.
3．中國古建筑的屋檐下常系掛風鈴，風吹鈴動，悅耳清脆，亦稱驚鳥鈴若一個驚鳥鈴由銅鑄造而成，且可近似看作由一個較大的圓錐挖去一個較小的圓錐，兩圓錐的軸在同一條直線上，截面圖如下，其中，，，若不考慮鈴舌，則下列數(shù)據(jù)比較接近該驚鳥鈴質量的是（參考數(shù)據(jù)：，銅的密度為8.96）( )
A.1kgB.2kgC.3kg
4．已知,,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．在中，D為邊上一點，，且的面積為，則( )
A.B.C.D.
6．設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．直線l過雙曲線E：的左頂點A，斜率為，與雙曲線的漸近線分別相交于M，N兩點，且，則E的離心率為( )
A.B.C.2D.
8．已知函數(shù),對任意,不等式恒成立，則a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則下列說法中正確的是( )
A.將數(shù)列的前m項去掉，其余各項依次構成的數(shù)列是等差數(shù)列
B.數(shù)列，，，…，是等差數(shù)列
C.將數(shù)列的前m項去掉，其余各項依次構成的數(shù)列不是等比數(shù)列
D.數(shù)列，，，，…，是等比數(shù)列
10．已知函數(shù)和且，若兩函數(shù)圖象相交，則其交點的個數(shù)可能是( )
A.1B.2C.3D.4
11．已知函數(shù)的定義域為R，，，則( )
A.B.
C.為奇函數(shù)D.
12．設是定義在R上的可導函數(shù)，其導數(shù)為，若是奇函數(shù)，且對于任意的，，則對于任意的，下列說法正確的是( )
A.都是的周期
B.曲線關于點對稱
C.曲線關于直線對稱
D.都是偶函數(shù)
三、填空題
13．已知,,,均為銳角,則________.
14．現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則_________.
15．設函數(shù)，若恒成立，則的最小值為_________.
16．已知函數(shù)若存在實數(shù)滿足，且，則的取值范圍為_________.
四、解答題
17．的內(nèi)角所對的邊分別為，D是邊上的一點，且滿足，若，.
(1)求B；
(2)求三角形的面積
18．已知向量，，函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的角平分線交AB于點D，若恰好為函數(shù)的最大值，且此時，求的最小值
19．已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)設，若對于恒成立，求t的最小值
20．一個半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米已知水輪按逆時針作勻速轉動，每6秒轉一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間
(1)以過點O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過點O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，試將點P距離水面的高度h（單位：米）表示為時間t（單位：秒）的函數(shù)；
(2)在水輪轉動的任意一圈內(nèi)，有多長時間點P距離水面的高度不低于2米？
21．已知橢圓C的標準方程，其左右焦點分別為.
(1)過點的直線交橢圓C于兩點，若，求直線的方程；
(2)直線過右焦點，且它們的斜率乘積為，設分別與橢圓交于點和.若分別是線段和的中點，證直線過定點，并求面積的最大值
22．多元導數(shù)在微積分學中有重要的應用設y是由a，b，c…等多個自變量唯一確定的因變量，則當a變化為時，y變化為，記為y對a的導數(shù)，其符號為.和一般導數(shù)一樣，若在上，已知，則y隨著a的增大而增大；反之，已知，則y隨著a的增大而減小多元導數(shù)除滿足一般分式的運算性質外，還具有下列性質：①可加性：；②乘法法則：；③除法法則：；④復合法則：.記.（為自然對數(shù)的底數(shù)），
(1)寫出和的表達式；
(2)已知方程有兩實根，.
①求出a的取值范圍；
②證明，并寫出隨a的變化趨勢
參考答案
1．答案：B
解析：因為,
其在復平面內(nèi)對應的點為,位于第二象限.
故選:B.
2．答案：B
解析：由得,當時,,此時,,故CD錯誤,
當時,,此時A錯誤,
綜上可知,當時,則成立,故B正確,
故選:B.
3．答案：A
解析：由題意可得驚鳥鈴的體積約為長，
所以該驚鳥鈴的質量約為（kg）.
故選：A.
4．答案：A
解析：若,,,則,充分性成立;
若,可能,,此時,所以必要性不成立.
綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.
故選:A.
5．答案：A
解析：因為
解得，
所以為等腰三角形，則，
在中由正弦定理可得
即，解得，
因為，所以為銳角
所以，
所以
.
故選：A
6．答案：C
解析：依題意可得，因為
所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點
又，的圖像如下所示：
則
解得
即.
故選：C
7．答案：A
解析：由題意得直線l為
雙曲線的漸近線方程為，
由
得，即，
由
得，即，
因為，所以，
所以，化簡得，
所以，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A
8．答案：C
解析：依題意，①
因為，
當時，對任意的，，，，恒有；
當時，，，，，恒有；
所以在是單調(diào)遞增函數(shù)
那么對任意的，
不等式恒成立，
只需，②
因為
，
所以
即
即，
所以，從而有
而當時，①顯然成立
故選:C
9．答案：ABD
解析：對于A:設的公差為d，將數(shù)列的前m項去掉
其余各項依次為，則
故構成的數(shù)列依然是等差數(shù)列，正確；
對于B：因為數(shù)列是等差數(shù)列
所以數(shù)列，，
，…，
所以構成公差為9d的等差數(shù)列，正確；
對于C：設的公比為q，等比數(shù)列去掉前m項后，其余各項依次為
所以依然構成等比數(shù)列，錯誤；
對于D：設公比為q,所以
故數(shù)列，，，，…，是等比數(shù)列，正確
故選:ABD
10．答案：ABC
解析：(一)當時，函數(shù)和的圖像呈現(xiàn)以下三種情況：
如圖2，當函數(shù)和的圖像只有一個公共點時
此公共點必在直線上
且函數(shù)圖像在此公共點的切線即為直線，，
所以有
則，
所以，
即公共點為，
結合圖像有以下結論：
(1)當時，函數(shù)和的圖像沒有公共點（如圖1）；
(2)當函數(shù)和的圖像只有一個公共點（如圖2）；
(3)當函數(shù)和的圖像有兩個公共點（如圖3）.
(二)當時，函數(shù)和的圖像呈現(xiàn)以下三種情況（把圖像適當放大）：
圖5中，函數(shù)和的圖像只有一個公共點
此公共點在直線上，且在該公共點處，有公切線
此公切線斜率為-1（與直線垂直），
所以
解得
即公共點為，
結合圖像得以下結論：
(4)當時，函數(shù)和的圖像有三個公共點（如圖4）；
(5)當時，函數(shù)和的圖像有一個公共點（如圖5）；
(6)當時，函數(shù)和的圖像有一個公共點（如圖6）；
(5)(6)可合二為一：當時，函數(shù)和的圖像有一個公共點
綜上，函數(shù)與的圖像的交點個數(shù)可為0，1，2，3，
故選：ABC.
11．答案：BCD
解析：令，
則
將代入得
即，故A錯誤；
由，令可得
若存在x使得，
則上式變?yōu)椋@然不成立，所以，
又，
因為，所以，
將
整理為，
因為，即
所以，故B正確；
令，
則
且
所以為奇函數(shù)，故C正確；
當時，
，
所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
所以，
由可知，
因為
所以，
所以
故D正確；
故選：BCD.
12．答案：BC
解析：由是奇函數(shù)
故有
即有，
故，則
即
故關于對稱，
由，則
即，
故關于中心對稱，
由，則，
又，
故，即有，
則，故，
即，故，故周期為4.
對A：當時，，故A錯誤；
對B：由周期為4，故，
又，故
故，
故曲線關于點對稱，故B正確；
對C：由周期為4，故，
又，故，
故曲線關于直線對稱，故C正確；
對D：由B得，故，又周期為4，
故有，故，又，
即都是奇函數(shù)，故D錯誤
故選：BC.
13．答案：
解析：因為,均為銳角,所以.
又,所以.
又,所以,
所以
.
所以.
故答案為:
14．答案：
解析：從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，
其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，
所以.
故答案為：.
15．答案：
解析：當時，
當時，，
當時，
當時，；
若恒成立
則必須，即，
所以
所以當，時，
取到最小值.
故答案為：
16．答案：
解析：結合解析式可知當時，
當時，.
因為，所以.
令，得，則，
故.
令
則，
令得
令得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞增，
所以，
當時，，
因為
所以.
所以的取值范圍為.
故答案為：
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因為
由正弦定理得，
整理可得
即，
且，則，可得，
因為，所以.
(2)因為
可得
兩邊平方得
即，
整理可得，解得（舍負），
所以三角形的面積.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)
，
則函數(shù)的最小正周期.
(2)由(1)可知
當，即時，取得最大值為2
則，，
因為平分
所以
則點D分別到的距離，
由
則
即，整理可得，
當且僅當，即時，等號成立，
故最小值為.
19．答案：(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是
(3)
解析：(1)由題
在處，，，
所以曲線在處的切線方程為.
(2)由(1)可得，
因為，故與同號
令
因為與在R上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
因為
所以0是的唯一零點，
所以0是的唯一解，
與的情況如下：
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
(3)且時
又由(2)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若對于恒成立
則，兩邊取對數(shù)得，
所以對于恒成立，
設
則，
令，得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，
所以t的最小值為.
20．答案：(1)
(2)2秒
解析：(1)設，
根據(jù)函數(shù)的物理意義可知：
，
由題意可知當時，，
則
所以，
則，
又因為函數(shù)的最小正周期為，
所以，
所以；
(2)根據(jù)題意可知，，
即，
當水輪轉動一圈時，
可得：，
所以此時，
解得，
又因為（秒，
即水輪轉動任意一圈內(nèi)，有2秒的時間點P距水面的高度不低于2米
21．答案：(1)或
(2)證明見解析，
解析：(1)由橢圓方程可知：，
則，顯然直線的斜率存在，
設直線的方程為
，
聯(lián)立
消去y得，，
所以
即.
且，
因為，所以，
所以
即，
所以，
整理得，
即，
化簡得，即滿足條件，
所以直線的方程為或，
即直線的方程為或.
(2)由題意，，
設直線的方程為，，
則直線的方程為，，
聯(lián)立
消去y得，
所以
所以
所以，
同理聯(lián)立
消去y得，
所以
所以
所以，
即的中點.
所以
當且僅當
即時取等號，
所以的面積最大值為.
22．答案：(1)，
(2)①
②證明見解析，隨a增大而減小
解析：(1)設，
則
同理.
(2)①由(1)，可得
則，且時，，，
即單調(diào)遞減，時，即單調(diào)遞增，
故，
又由時，趨近于0的速度遠遠快于趨近于的速度，
故，
因此只需且，
即由零點存在性定理，，
存在兩個零點，故；
②由
，
由①可得，
故只需證明，
令
設，
則
且，
則，
又
單調(diào)遞增
且
故，單調(diào)遞增
則，
必然
否則即單調(diào)遞減，不符合題意，
，故原命題成立。
所以隨a增大而減小
x
0
－
0
＋
極小值

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