遼寧省沈陽市鐵西區(qū)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

這是一份遼寧省沈陽市鐵西區(qū)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4，共22頁。試卷主要包含了須在答題卡上作答；等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（范圍：第一章至第二章）
滿分120分，時(shí)間120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．同學(xué)們須用0.5mm黑色字跡的簽字筆在本練習(xí)題規(guī)定位置填寫自己的班級(jí)、姓名及練習(xí)號(hào)；
2．須在答題卡上作答；
3．本練習(xí)題分選擇題和非選擇題兩個(gè)部分，包括三道大題，23道小題，共6頁．
第一部分 選擇題（共30分）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下列實(shí)數(shù)中的無理數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的識(shí)別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0），（兩個(gè)2之間依次增加1個(gè)1）等．
【詳解】解：，則由無理數(shù)的定義可知，四個(gè)數(shù)中只有是無理數(shù)，
故選：C．
2. 如圖，分別以直角三角形的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，較大兩個(gè)正方形的面積分別為169和144，則最小正方形A的邊長(zhǎng)是（ ）
A. 25B. 13C. 12D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理和正方形的面積求解即可．
【詳解】解：根據(jù)圖形，直角三角形的邊長(zhǎng)的平方剛好為對(duì)應(yīng)正方形的面積，
∴直角三角形的斜邊平方為169，一條直角邊的平方為144，
∴另一條直角邊的平方為
∴最小正方形A的面積是25，邊長(zhǎng)為5；
故選：D．
3. 下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 是2的算術(shù)平方根B. 的立方根是
C. 2的平方根是D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查平方根和立方根，根據(jù)平方根和立方根的定義與性質(zhì)逐一判斷即可
【詳解】解：A.是2的算術(shù)平方根，說法正確，不符合題意；
B. 的立方根是，說法正確，不符合題意；
C. 2的平方根是，說法正確，不符合題意；
D. ，原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意，
故選：D
4. 在中，，，，則下列條件不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．
【詳解】解：A、∵，
∴是直角三角形，且，故選項(xiàng)不符合題意；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；
C、 ∵
∴，
∴
∴
∴是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
D.∵，，
∴，
∴是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
5. 下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】同類二次根式是指，根指數(shù)相同，被開方數(shù)也相同，由此即可求解．
【詳解】解：．，根指數(shù)是，被開方數(shù)是，與是同類二次根式，符號(hào)題意；
．，是有理數(shù)，不符合題意；
．，根指數(shù)是，被開方數(shù)是，與不是同類二次根式，不符號(hào)題意；
．，根指數(shù)是，被開方數(shù)是，與不是同類二次根式，不符號(hào)題意；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查同類二次根式的判定，二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的化簡(jiǎn)，同類二次根式概念的理解是解題的關(guān)鍵．
6. 下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查二次根式的加減乘除運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算法則逐一計(jì)算判斷即可．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，原式計(jì)算正確，符合題意；
故選：D．
7. 《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈=10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB=20-x，BC=9，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+92=(20-x)2．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
8. 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，表示的數(shù)分別是，，過點(diǎn)作，以點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先由勾股定理可求得的長(zhǎng)，從而得到的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由題意可知，，，，，
，
，
，
由勾股定理得：．
．
則點(diǎn)表示的數(shù)是，
故選：B．
9. 如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. B.
C. 的面積為4D. 點(diǎn)到的距離為2
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，利用勾股定理求出長(zhǎng)可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積可判定C，利用面積公式求出邊的高，即可利用點(diǎn)到直線的距離判定D，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】A．∵，∴，正確，不符合題意；
B．∵，，，
∴，∴，正確，不符合題意；
C．，原結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；
D．點(diǎn)A到的距離，正確，不符合題意；
故選：C．
10. 如圖，一般客輪從小島A沿東北方向航行，同時(shí)一艘補(bǔ)給船從小島A正東方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，與客輪同時(shí)到達(dá)C處給客輪進(jìn)行補(bǔ)給，則客輪與補(bǔ)給船的速度之比為（ ）
A. ：2B. ：1C. ：2D. ：1
【答案】A
【解析】
【分析】過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=x，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分別用含x的代數(shù)式表示出CD，BD，根據(jù)AB的長(zhǎng)求出x，再根據(jù)勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，
設(shè)AD=x，
由題意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠ACD=∠CAD，
∴CD=AD=x，
∴ ，
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴ ，
∵AB=100+100 ，
∴AD+BD=x+x=100+100，
∴（1+）x=100（1+），
∴x=100，
即AD=100海里，
∴AC=100海里，BC=200海里，
∵時(shí)間一定時(shí)速度與路程成正比，
∴客輪與補(bǔ)給船的速度之比為100：200=：2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 若有意義，則x的取值可以是________（寫出一個(gè)即可）．
【答案】（答案不唯一，大于皆可）
【解析】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．由二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)可得答案．
【詳解】解：有意義，
，
解得，
則x的取值可以是，
故答案為：（答案不唯一，大于皆可）．
12. 如圖有一圓柱，高為，底面半徑為，在圓柱下底面點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃上底面與相對(duì)的點(diǎn)處的食物，需爬行的最短路程大約為________（取）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，幾何體的展開圖，根據(jù)題意，將圓柱展開，運(yùn)用勾股定理即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，圓柱體側(cè)面展開是一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖所示，
∴，，且，
∴，
故答案為： ．
13. 如圖，網(wǎng)格小正方形邊長(zhǎng)為1，以O(shè)為圓心為半徑畫弧，交網(wǎng)格于點(diǎn)B，則長(zhǎng)是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
由題意得：
．
故答案為：．
14. 已知，，均為正整數(shù)．若，，則滿足條件的的個(gè)數(shù)總比的個(gè)數(shù)少________個(gè)．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，根據(jù)題意，可得是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，由此可得，根據(jù)自然數(shù)的乘方運(yùn)算找出規(guī)律即可求解．
【詳解】解：已知均為正整數(shù)，，
∴，且為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，
∴，
∵，
∴與之間的整數(shù)有個(gè)，與之間的整數(shù)有個(gè)，
∴滿足條件的的個(gè)數(shù)總比 的個(gè)數(shù)少個(gè)，
故答案為： ．
15. 如圖，線段，過端點(diǎn)作射線，點(diǎn)為射線上定點(diǎn)，且，點(diǎn)為射線上動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱的圖形為（點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)），連接．若是直角三角形，則的長(zhǎng)為________．
【答案】或2或
【解析】
【分析】①當(dāng)時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，設(shè)，則，，可判定A，D和C三點(diǎn)共線，在中，求得，得，在中即可求得；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H，則，即有，在中解得，在中即可求得；③當(dāng)時(shí)，則，有，可得到，則有．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，如圖，
根據(jù)題意知，，
設(shè)，則，，
∵，
∴A，D和C三點(diǎn)共線，
在中，，即，解得，
則，
在中，，即，解得，
則；
②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H，如圖，
則，
∴，
在中，，即，解得，
∴，
在中，，即，解得；
③當(dāng)時(shí)，如圖，
則，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
則的長(zhǎng)為或2或，
故答案為：或2或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊得性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉折疊的性質(zhì)和分類討論思想的應(yīng)用．
三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
16. （1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，零次冪，掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；
（1）先化簡(jiǎn)二次根式，求解零次冪，立方根，再計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算二次根式乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算，再合并即可．
【詳解】解：（1）

，
（2）

．
17. 已知，．
（1）填空：的絕對(duì)值是________，的相反數(shù)是________；
（2）計(jì)算：求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，二次根式的化簡(jiǎn)求值．
（1）根據(jù)絕對(duì)值和相反數(shù)的定義即可解答；
（2）由，，利用二次根式的運(yùn)算法則及平方差公式計(jì)算出，將利用完全平方公式變形為，整體代入計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：，，
的絕對(duì)值是，的相反數(shù)是；
【小問2詳解】
解：，，
，
．
18. 如圖，在四邊形中，，，，．求的度數(shù)．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷，計(jì)算即可
【詳解】解：如圖，連接．
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
在中，，，
∴．
∴是直角三角形，且，
∴．
∴的度數(shù)為．
19. 一天傍晚，小方和家人去小區(qū)遛狗，小方觀察發(fā)現(xiàn)，她站直身體時(shí)，牽繩的手離地面高度為米，小狗的高米，小狗與小方的距離米．（繩子一直是直的）

（1）求此時(shí)牽狗繩的長(zhǎng)；
（2）小方將手上的小球扔至3米遠(yuǎn)的處，若她站著不動(dòng)，牽狗繩最長(zhǎng)放至4米，則小狗能否將小球撿回來？請(qǐng)說明理由．（假設(shè)小狗碰到球就能將球撿回來）
【答案】（1）2.6米．
（2）小狗能將小球撿回來．理由見解析
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解并掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，再根據(jù)勾股定理求解即可；
（2）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，根據(jù)勾股定理求出，再與4米進(jìn)行比較即可．
【小問1詳解】
解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，，
∴，
在中，（米）．
所以此時(shí)牽狗繩的長(zhǎng)為2.6米．
【小問2詳解】
解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，
由題意得，，
在中，（米）．
∵，
∴小狗能將小球撿回來．
20. 我們規(guī)定用表示一個(gè)數(shù)對(duì)，給出如下定義：記：，，將和稱為數(shù)對(duì)的一對(duì)“開方對(duì)稱數(shù)對(duì)”．
例：數(shù)對(duì)的開方對(duì)稱數(shù)對(duì)為和
（1）數(shù)對(duì)的開方對(duì)稱數(shù)對(duì)為________和________；
（2）若數(shù)對(duì)的一個(gè)開方對(duì)稱數(shù)對(duì)是，則________；
（3）若數(shù)對(duì)的一個(gè)開方對(duì)稱數(shù)對(duì)是，求的值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）根據(jù)新定義運(yùn)算解答即可求解；
（）根據(jù)新定義即可求解；
（）根據(jù)新定義，分兩種情況解答即可求解；
本題考查了新定義運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
小問1詳解】
解：由題意得，，，
∴數(shù)對(duì)開方對(duì)稱數(shù)對(duì)為和，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：由題意得，，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：若，，
則，，
∴；
若，，
則，，
∴；
的值為或．
21. 四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形和四邊形都是正方形．
（1）請(qǐng)利用圖1推導(dǎo)勾股定理．
已知：中，，，，．
求證：．
證明：（請(qǐng)補(bǔ)充證明過程）
（2）將圖1中的四個(gè)直角三角形中較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．若，，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓（圖中實(shí)線部分）的總長(zhǎng)度為108，求這個(gè)風(fēng)車圖案的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證和運(yùn)用，理解勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
（1）依據(jù)題意得， ，再結(jié)合，，正方形邊長(zhǎng)為，即可解題；
（2）依據(jù)題意，結(jié)合圖形，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓 (圖中實(shí)線部分)的總長(zhǎng)度為108，可得又設(shè) 故又在 中，則，求出后可列式計(jì)算得解．
【小問1詳解】
證明：由圖可知，
∵，，正方形邊長(zhǎng)為，
∴，
即．
【小問2詳解】
解：由題意，如圖，
∵“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓 (圖中實(shí)線部分)的總長(zhǎng)度為108，
，
設(shè)則，
在中，
，
將代入可得，
，
，
∴小正方形的邊長(zhǎng)等于
∴風(fēng)車的面積為：．
22. 【觀察發(fā)現(xiàn)】
∵．
∴；
∵，
∴．
【初步探索】
（1）化簡(jiǎn)：________；
（2）形如可以化簡(jiǎn)為，即，且，，，均為正整數(shù)，用含，的式子分別表示，，得________，________；
（3）若，且，均為正整數(shù)，求的值；
【解決問題】
（4）某飾品店鋪要將甲、乙兩個(gè)飾品盒放在一個(gè)包裝紙箱中寄出．甲、乙兩個(gè)飾品盒都是正方體，底面積分別為和．快遞公司現(xiàn)有三款包裝紙箱，紙箱內(nèi)部規(guī)格如下表（紙箱厚度不計(jì)）：
請(qǐng)你通過計(jì)算說明符合條件的包裝紙箱型號(hào)有幾種？若從節(jié)約空間的角度考慮，應(yīng)選擇哪種型號(hào)的紙箱？
【答案】（1）；（2），；（3）；（4），兩種型號(hào)的包裝紙箱符合條件．應(yīng)選擇型號(hào)包裝紙箱．
【解析】
【分析】本題主要考查二次計(jì)算與化簡(jiǎn)與應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次根式的運(yùn)算法則．
（1）根據(jù)題目所給的方法將根號(hào)下的數(shù)變成完全平方的形式進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)題目給出的a，b與m，n的關(guān)系式，列式算出結(jié)果即可；
（3）將所給式子兩邊平方求解即可；
（4）先判斷，兩種型號(hào)的包裝紙箱符合條件，再求出體積進(jìn)行比較即可
【詳解】解：（1），
故答案為：；
（2）∵，
∴，
∵，，，均為正整數(shù)，
∴，
故答案為：，；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）底面積的飾品盒底面邊長(zhǎng)為，
底面積的飾品盒底面邊長(zhǎng)為，
∵，，
∴，C兩種型號(hào)的包裝紙箱符合條件．
B型號(hào)的包裝紙箱的體積為：，
C型號(hào)的包裝紙箱的體積為：，
∵，
所以應(yīng)選擇C型號(hào)包裝紙箱．
23. 【問題背景】
在中，，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直平分交，于點(diǎn)，，連接，．延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)．

【問題探究】
（1）如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)．
①求的度數(shù)；
②求證：．
【問題拓展】
（2）如圖2，點(diǎn)與點(diǎn)不重合．
①若，，求的值；
②若，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】（1）①；②見解析；（2）①；②20．
【解析】
【分析】（1）①證明，可得，再利用三角形外角的性質(zhì)可得答案；
②如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于，而，可得，證明，可得，再證明，結(jié)合勾股定理可得結(jié)論；
（2）①證明，如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于， 證明，可得，，過作于，而，，由平行線間的距離處處相等可得：，可得，，過作交的延長(zhǎng)線與，求解，再進(jìn)一步作答即可；
②結(jié)合①設(shè)，，可得，，，由勾股定理可得，，，結(jié)合，可得答案．
【詳解】解：①∵垂直平分交，于點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于，而，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，，
∴；
（2）①∵，垂直平分，
∴，
如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
過作于，而，，
∴，
由平行線間的距離處處相等可得：，
∴，
∴，
過作交的延長(zhǎng)線與，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②結(jié)合①設(shè)，，
∴，，
，
由勾股定理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
型號(hào)
長(zhǎng)
寬
高
型
型
型