1．（3分）下列圖形，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）將方程5x2﹣x＝7x化為一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．5，7，﹣1B．﹣5，7，1C．5，﹣7，﹣1D．5，﹣8，0
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可化為（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝8C．（x+3）2＝3D．（x﹣3）2＝3
4．（3分）若x＝2關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0的一個(gè)根，則a的值為（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
5．（3分）將拋物線y＝2x2+1向右平移3個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（ ）
A．y＝2x2+4B．y＝2x2﹣2
C．y＝2（x+3）2+1D．y＝2（x﹣3）2+1
6．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+4，則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是（ ）
A．圖象的開(kāi)口向上
B．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3）
C．當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大
D．圖象與x軸有唯一交點(diǎn)
7．（3分）已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和7，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣17x+66＝0的根，則第三邊的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．11C．6或11D．7
8．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BCD＝110°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
9．（3分）如圖，⊙O的半徑為9，AB是弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D，若OD＝DC，則弦AB的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△ADE，AB，CE相交于點(diǎn)F，若AD∥CE時(shí)，則∠BAE的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
11．（3分）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入統(tǒng)計(jì)表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份與3月份的增長(zhǎng)率相同，設(shè)它們的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)表中的信息，可列方程為（ ）
A．10（1+x）2＝12﹣10B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12D．10（1+x）3＝14
12．（3分）如圖，小程的爸爸用一段10m長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長(zhǎng)5.5m）的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)1m寬的門（由其它材料制成），則BC長(zhǎng)為（ ）
A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）把答案直接寫在題中的橫線上。
13．（3分）一元二次方程3x＝2x2的根為 ．
14．（3分）已知，如圖⊙O的半徑OA＝5cm，弦CD＝5cm，則弦CD所對(duì)圓心角為 ．
15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+3與x軸正半軸交于點(diǎn)A、B，若AB＝2，則m的值為 ．
16．（3分）已知正方形OBCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示M為邊OB上一點(diǎn)，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b）．將正方形OBCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則旋轉(zhuǎn)2022秒后，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ．
三、解答題（本題共8個(gè)大題，滿分72分）解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、解答過(guò)程。
17．（8分）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）（x﹣3）2＝4；
（2）x2﹣5x+1＝0．
18．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
（1）試證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x1，x2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．
19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）畫出以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C'；
（2）求點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)．
20．（8分）某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品，如果以單價(jià)30元銷售，那么一個(gè)月內(nèi)可以售出400件．根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件．售價(jià)為多少元時(shí)，才能在一個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)？
21．（8分）如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為16m，寬為6m，拋物線的最高點(diǎn)C離地面AA1的距離為8m．
（1）按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）一大型汽車裝載某大型設(shè)備后，高為7m，寬為4m，如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過(guò)？
22．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接AF交CD于點(diǎn)G，連接AC，CF，且CG＝AG．
（1）求證：AC＝CF；
（2）若，求GD的長(zhǎng)．
23．（10分）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：FB＝FD；
（2）如圖2，連接CD，點(diǎn)H在線段BE上（不含端點(diǎn)），且BH＝CE，連接AH交BF于點(diǎn)N，判斷AH與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)﹣1≤x≤t時(shí)，y的取值范圍是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
2024-2025學(xué)年河北省保定市定州市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題（本大題共12小題，每題3分，共36分）
1．【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形．
【解答】解：A．不是中心對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；
B．是中心對(duì)稱圖形，故B正確；
C．不是中心對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤；
D．不是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
2．【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式；合并同類項(xiàng)．
【解答】解：∵方程5x2﹣x＝7x化成一般形式是5x2﹣8x＝0，
∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為5、﹣8、0，
故選：D．
3．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．
【解答】解：x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故選：A．
4．【考點(diǎn)】一元二次方程的解．
【解答】解：把x＝2代入x2﹣ax+2＝0，得
22﹣2a+2＝0，
解得a＝3．
故選：A．
5．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【解答】解：二次函數(shù)y＝2x2+1的圖象右平移3個(gè)單位后所得函數(shù)的解析式是 y＝2（x﹣3）2+1
故選：D．
6．【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴拋物線的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，
令y＝0，則﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選：C．
7．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三邊關(guān)系．
【解答】解：方程x2﹣17x+66＝0，
分解因式得：（x﹣6）（x﹣11）＝0，
解得：x＝6或x＝11，
當(dāng)x＝6時(shí)，三邊長(zhǎng)為4，6，7，符合題意；
當(dāng)x＝11時(shí)，三邊長(zhǎng)為4，7，11，不合題意舍去，
則第三邊長(zhǎng)為6．
故選：A．
8．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圓周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故選：D．
9．【考點(diǎn)】圓周角定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理；垂徑定理．
【解答】解：∵⊙O的半徑為9，將劣弧AB沿弦AB折疊交于OC的中點(diǎn)D，
∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，
∵OC⊥AB，OC過(guò)圓心O，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，
連接OA，
由勾股定理得：AC＝，
即AC＝BC＝3，
∴AB＝AC+BC＝6．
故選：B．
10．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
【解答】解：∵將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEC＝50°，
∴∠ACE＝∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAE＝∠EAC﹣∠BAC＝80°﹣50°＝30°．
故選：C．
11．【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程；統(tǒng)計(jì)表．
【解答】解：依題意得：10（1+x）2＝12．
故選：B．
12．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【解答】解：設(shè)BC長(zhǎng)為x m，則AB的長(zhǎng)為（10+1﹣x）m，
根據(jù)題意得，（10+1﹣x）x＝15，
解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去），
答：BC長(zhǎng)為5m，
故選：C．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）把答案直接寫在題中的橫線上。
13．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．
【解答】解：∵3x＝2x2，
∴2x2﹣3x＝0，
∴x（2x﹣3）＝0，
解得x1＝0，，
故答案為：x1＝0，．
14．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
【解答】解：連接OC，OD，
∵⊙O的半徑OC＝OD＝OA＝5cm，弦CD＝5cm，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠COD＝60°，
即弦CD所對(duì)圓心角為60°．
故答案為：60°．
15．【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【解答】解：設(shè)A（a，0），B（b，0），則a，b是方程x2﹣2mx+3＝0的兩個(gè)根，
∴a+b＝2m，ab＝3．
∵拋物線y＝x2﹣2mx+3與x軸正半軸交于點(diǎn)A、B，
∴a＞0，b＞0，
∴2m＞0，
∴m＞0．
∵AB＝2，
∴b﹣a＝2．
∴（b﹣a）2＝4．
∴（a+b）2﹣4ab＝4，
∴（2m）2﹣12＝4．
解得：m＝±2（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴m＝2．
故答案為：2．
16．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：∵正方形OBCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，
∴旋轉(zhuǎn)8秒恰好旋轉(zhuǎn)360°．
∵2022÷8＝252……6，
∴旋轉(zhuǎn)2022秒，即點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)了252圈后，又旋轉(zhuǎn)了6次．
∵6×45°＝270°，
∴此時(shí)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置即點(diǎn)M′所在的位置，
如圖，過(guò)點(diǎn)M，M′分別作ME⊥x軸于點(diǎn)E，M′F⊥x軸于點(diǎn)F，
∴∠M′FO＝∠OEM＝90°，
∴∠EOM+∠EMO＝90°，
∵四邊形OBCD是正方形，
∴∠BOD＝90°，
∴∠FOM′+∠MOE＝90°，
∴∠M′OF＝∠OME，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OM＝OM′，
∴△M′OF≌△OME（AAS），
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），
∴M′F＝OE＝a，OF＝ME＝b，
又點(diǎn)M′在第二象限，
∴旋轉(zhuǎn)2022秒后，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣b，a）．
故答案為：（﹣b，a）．
三、解答題（本題共8個(gè)大題，滿分72分）解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、解答過(guò)程。
17．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得：x1＝5，x2＝1；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝＝，
則x1＝，x2＝．
18．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．
【解答】（1）證明：a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣2（m+3）．
Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝m2+6m+25＝（m+3）2+16．
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2+16＞0，即Δ＞0，
∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵x1，x2為方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝m﹣1，x1?x2＝﹣2（m+3），
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝16，
∴（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16，
∴m2+2m﹣3＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝1．
19．【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；軌跡．
【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'為所作；
（2）∵OC＝＝，
∴點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)＝＝π．
20．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【解答】解：設(shè)銷售單價(jià)為x元，銷售利潤(rùn)為y元．
根據(jù)題意，得：
y＝（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
＝（x﹣20）（1000﹣20x）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x＝35時(shí)，y有最大值．
所以，銷售單價(jià)為35元，才能在一個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)．
21．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入
64a+8＝6
解得：a＝﹣．
拋物線的解析式為y＝﹣x2+8．
（2）根據(jù)題意，把x＝4代入解析式，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴貨運(yùn)卡車能通過(guò)．
22．【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義；等腰三角形的性質(zhì)．
【解答】（1）證明：AB為⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，CG＝AG，
∴CE＝DE，＝，AC＝AD，CG＝AG，
∴∠ACD＝∠CAF，
∵∠ACD＝∠AFD，∠CAF＝∠CDF，
∴∠AFD＝∠CDF，
∴AD＝CF，
∴AC＝CF；
（2）解：根據(jù)題意，得AC＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠AFD＝∠CAF＝∠CDF＝∠CFA，
∴GD＝GF，
∵DF為⊙O的直徑，
∴∠DCF＝90°，
∴∠CAF＝∠CDF＝∠CFA＝30°，
∴，
∴．
23．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
【解答】（1）證明：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，
∴∠BAD＝90°，BA＝AD，
∴∠FAD＝∠FAB＝45°，
在△FAD和△FAB中，
，
∴△FAD≌△FAB（SAS），
∴BF＝DF；
（2）解：結(jié)論：AH⊥BF．理由如下：
如圖2中，
∵∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝AB＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AB＝BC，
∴四邊形ABCD是正方形，
在△ABH和△DCE中，
，
∴△ABH≌△DCE（SAS）
∴∠BAH＝∠CDE，
在△CFD和△CFB中，
，
∴△CFD≌△CFB（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAH+∠ABF＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AH⊥BF．
24．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【解答】解：（1）A（3，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則拋物線和x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為：（﹣1，0），
則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由題意得﹣1≤x≤t，
當(dāng)﹣1＜t＜1時(shí)，則﹣1≤x≤t，
x＝﹣1時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值，
則x＝t時(shí)，2t﹣1＝﹣t2+2t+3，
解得：t＝﹣2或2，均不符合題意；
當(dāng)1≤t＜3時(shí)，
則拋物線的頂點(diǎn)處取得最大值，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），
即2t﹣1＝4，
解得：t＝2.5；
（3）存在，理由：
由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)B（0，3），
①當(dāng)BC為菱形對(duì)角線時(shí)，對(duì)應(yīng)菱形為BDCE′，
則BD＝CD，
由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)C（x，﹣x2+2x+3），點(diǎn)D（x，﹣x+3），
則CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，BD＝x，BC＝，
∴﹣x2+3x＝x，
解得：x＝3﹣或x＝0（舍去），
則BD＝x＝3﹣2，
即菱形的邊長(zhǎng)為：3﹣2．
②當(dāng)BD為菱形的對(duì)角線時(shí)對(duì)應(yīng)菱形為菱形BCDE，
則CD＝BC，
∴﹣x2+3x＝，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
則CD＝﹣x2+3x＝﹣22+3×2＝2，
即菱形的邊長(zhǎng)為：2．
綜上，菱形的邊長(zhǎng)為：3﹣2或2．
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10

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