專題15 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的零點問題5題型分類練習(xí)-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍.
求解步驟：
第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).
2、函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接求零點：令f（x）＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點．
（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
3、求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).
4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：
（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.
一、單選題
1．（2024·天津）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【詳解】恒成立，所以單調(diào)遞增，
故函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)1個.
2．（2024·全國）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.
【詳解】，則，
若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當(dāng)時，，
當(dāng)，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個零點，則，即，解得，
故選：B.
3．（2024·全國）已知函數(shù)有唯一零點，則
A．B．C．D．1
【答案】C
【詳解】因為，設(shè)，則
，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點，則函數(shù)有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當(dāng)時，才滿足題意，即是函數(shù)的唯一零點，所以，解得.故選：C.
【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：
（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
4．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：①定義域為；②；③有且僅有兩個不同的零點，，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個不同的零點，，對求導(dǎo)，結(jié)合的單調(diào)性可知，由此可知另一根為，由的范圍可求出的范圍，即可求出的取值范圍.
【詳解】函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，，
因為，令，即有且僅有兩個不同的零點，，
得或，
若，令，可得或；令，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
同理若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，
要使有且僅有兩個不同的零點，，則，
而，則，因為，
則，則，
則有一根是確定的為，又因為，
所以的另一根為，
所以，因為，，
.
故選：B.
5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有3個不同的解，，且，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】對函數(shù)變形，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及圖象，把原函數(shù)有3個不同的解轉(zhuǎn)化為有兩個解，從而利用根的分布求解即可.
【詳解】，
令，則，
令得，令得且，
所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
如圖：

則，
所以有3個不同的解等價于有兩個解，，
整理可得，且，，
根據(jù)根的分布得，解得，又，
所以.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：復(fù)合方程解的個數(shù)問題的解題策略為：首先要能觀察出復(fù)合的形式，分清內(nèi)外層；其次要能根據(jù)復(fù)合的特點進(jìn)行分析，將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點問題；最后通過數(shù)形結(jié)合的方式解決問題.
二、多選題
6．（2024高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．當(dāng)時，有兩個極值點
B．當(dāng)時，的圖象關(guān)于中心對稱
C．當(dāng)，且時，可能有三個零點
D．當(dāng)在上單調(diào)時，
【答案】BC
【分析】
特殊值法可排除A項，利用函數(shù)的對稱性可判定B，取特殊值結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值可判定C，利用導(dǎo)函數(shù)非負(fù)結(jié)合判別式可判定D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，，
若時，，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值點，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故B正確；
對于C項，當(dāng)時，，
，
取，即時，此時，
所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，
即，所以在有一個零點，
又因為，，
所以在有一個零點，在有一個零點，
即當(dāng)時，有三個零點，故C正確；
對于D項，若在定義域上是單調(diào)函數(shù)，
則恒成立，所以，解得，所以D錯誤，
故選：BC．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題C項，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)，結(jié)合極大小值的正負(fù)及取特殊點判斷函數(shù)值符合是關(guān)鍵.
7．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）對于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的值可以是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)零點的定義求函數(shù)的零點，由定義可得函數(shù)的零點的范圍，結(jié)合函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為含參方程有解問題，求導(dǎo)，可得答案.
【詳解】由題意，可得，，
易知，則，，
則在有解，
求導(dǎo)得：，令，解得，可得下表：
則當(dāng)時，取得最大值為，
，
則的取值范圍為，
設(shè)，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以的值可以是，，.
故選：BCD.
【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
三、填空題
8．（2024·北京）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①若，恰有2個零點；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點；
④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．
其中所有正確結(jié)論的序號是．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.
【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；
對于②，考查直線與曲線相切于點，
對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個零點，②正確；
對于③，當(dāng)直線過點時，，解得，
所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，
若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，
直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；
對于④，考查直線與曲線相切于點，
對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，④正確.
故答案為：①②④.
【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
9．（2024高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)同時滿足下列三個條件：
①為奇函數(shù)；②當(dāng)時，，③當(dāng)時，.
則函數(shù)的零點的個數(shù)為 .
【答案】5
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性及分段函數(shù)解析式畫圖象數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】，則，，
在上為負(fù)，遞減；
在為正，遞增，
，，，作出在的圖象.

時，，向上平移2個單位；
時，，再向上平移2個單位，，.
縱軸右邊圖象與左邊圖形關(guān)于原點對稱，由圖可知
函數(shù)的圖象在縱軸右邊上有4個交點，
在縱軸左邊上有1個交點點，
∴共有5個零點.
故答案為：5.
10．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程有個不相等的實數(shù)解．
【答案】6
【分析】令，首先分析的根的情況，進(jìn)一步結(jié)合的根的情況即可得解.
【詳解】首先分以下兩種情形來研究函數(shù)的性態(tài)：
情形一：當(dāng)時，，求導(dǎo)得，
令，由此可以列出以下表格：
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
且有極大值，極小值.
情形二：當(dāng)時，，求導(dǎo)得，
令，由此可以列出以下表格：
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且有極小值.
綜合以上兩種情況，且注意到當(dāng)趨于負(fù)無窮時，也趨于負(fù)無窮，
當(dāng)在1的左邊趨于1時，趨于，且，
當(dāng)趨于正無窮時，也趨于正無窮，
由此即可在同一直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下圖：

其中、、為方程的三個根，
、為方程的兩個根，
由圖可知，；
所以由以上分析可知方程有三個根、、，
現(xiàn)在只需把回代到方程中即可，
且注意到，
，
，
所以方程、、分別有個根.
綜上所述方程一共有個不同的實數(shù)根.
故答案為：6.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵在于首先利用換元法令，將問題轉(zhuǎn)換為的根的情況，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)去分析這個函數(shù)的性態(tài)，由此得出方程的根的個數(shù)，最終回代即可.
11．（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為只有一個根，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與最小值，求得，再求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合，求得函數(shù)的最值，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，
即方程在內(nèi)只有一個根，
即在內(nèi)只有一個根，
令，可得，再令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)增，
所以當(dāng)時，有最小值，即，
所以函數(shù)，則，
令時，解得.
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
又由，
故函數(shù)在上的最大值為，最小值為，最大值與最小值的和為.
故答案為：.
四、解答題
12．（2024·全國）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點；當(dāng)時，首先可判斷出在上無零點，再利用零點存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點；當(dāng)時，利用零點存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個零點；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知：定義域為：且
令，
，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞減
又，
，使得
當(dāng)時，；時，
即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
則為唯一的極大值點
即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點.
（2）由（1）知：，
①當(dāng)時，由（1）可知在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減
又
為在上的唯一零點
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又
在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點
又
，使得
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，
在上恒成立，此時不存在零點
③當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞減
又，
即，又在上單調(diào)遞減
在上存在唯一零點
④當(dāng)時，，
即在上不存在零點
綜上所述：有且僅有個零點
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題.解決零點問題的關(guān)鍵一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點的唯一性，二者缺一不可.
13．（2024·全國）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：只有一個零點．
【答案】（1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；
（2）證明見解析.
【分析】（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；
（2）令，即，則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點問題，研究函數(shù)單調(diào)性可得.
【詳解】（1）當(dāng)a=3時，，．
令解得x=或x=．
由解得：；
由解得：．
故函數(shù)的增區(qū)間是，，減區(qū)間是．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】【通性通法】等價轉(zhuǎn)化＋零點存在性定理
由于，所以等價于．
設(shè),則,僅當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增.故至多有一個零點,從而至多有一個零點.又,故有一個零點.綜上,只有一個零點.
［方法二］：函數(shù)零點與圖象交點個數(shù)的關(guān)系
因為，所以等價于，令，則．因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以直線與的圖像只有一個交點，即只有一個零點．
［方法三］：【通性通法】含參分類討論＋零點存在性定理
．
①當(dāng)時，單調(diào)遞增，只有一個零點．
②當(dāng)與時，，再令或，則有．當(dāng)與時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減．
因為，
，
所以．
極大值與極小值同正同負(fù)，故只有一個零點．
［方法四］：等價轉(zhuǎn)化＋零點存在性定理
由于，所以，等價于．
設(shè)，則，僅當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故至多有一個零點，從而至多有一個零點．
結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，根據(jù)零點存在性定理，取，則有，取，則有，所以在內(nèi)有一個零點，故有一個零點．
綜上，只有一個零點．
【整體點評】（2）方法一：通過分離參數(shù)將原函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為易求單調(diào)性的函數(shù)零點問題，該法既是該類型題的通性通法，也是該題的最優(yōu)解；
方法二：將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，是常見的解題思路，對于證明題，這種方式顯得不是特別嚴(yán)謹(jǐn)；
方法三：直接對參數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，也是該類型問題的通性通法，但對于該題，顯得有些復(fù)雜；
方法四：該法同方法一，只是在零點存在性定理的運(yùn)用過程中取點不一樣．
14．（2024·全國）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當(dāng)時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
15．（2024·全國）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域為
當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
（2）
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng),
令則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，
又，
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為
方法點睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
16．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.
(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)已知有兩個不同的零點，
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）證明見解析
【分析】（1）求得，令，得到，得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，求得的取值范圍.
（2）（i）由，轉(zhuǎn)化為，令，得到，令，求得，進(jìn)而得到得到單調(diào)性，得到，進(jìn)而求得的取值范圍；（ii）由（i）不妨設(shè)，得到，進(jìn)而證得.
【詳解】（1）解：由，可得，
令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
要使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則滿足，
即，解得，即實數(shù)的取值范圍是.
（2）證明：（i）由，即，即，
令，可得，
令，可得，
所以在上單調(diào)遞增，又由，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
又由當(dāng)時，，，則，
當(dāng)時，，，則，
所以，即的取值范圍；
（ii）由（i）不妨設(shè)，則，
因為是的2個零點，所以，，
當(dāng)時，，則時，單調(diào)遞減，
要證：，可得，其中，可得，
由
，
所以.
【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或.
17．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù)有三個零點（）.
(1)求a的取值范圍；
(2)過點與分別作的切線，兩切線交于M點，求M點到y(tǒng)軸的距離.
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用二次方程根的分布列不等式即可求解；
（2）先求出，然后求出兩條切線方程，聯(lián)立方程即可求解交點的橫坐標(biāo)，得解.
【詳解】（1）由得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點，不符合題意；
當(dāng)時，由題意只需使在有兩個異號根即可，
所以，解得；
綜上，.
（2）當(dāng)時，.又，故，.
又知當(dāng)時，有，
所以，即，故.
又，所以在處的切線方程為，
所以在處的切線方程為，
聯(lián)立整理得兩直線交點橫坐標(biāo).故M點到y(tǒng)軸的距離0.
18．（2024·全國）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
【答案】(1)
(2)證明見的解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域為，則
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因為,即證
又因為,故只需證
即證
即證
下面證明時，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解
又因為有兩個零點，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因為，故，即
下證
因為
不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
19．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若有兩個不同的零點，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題設(shè)在上有解，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究零點分布，再轉(zhuǎn)化證明結(jié)論為，分析法轉(zhuǎn)化結(jié)論，并構(gòu)造中間函數(shù)研究恒成立證明結(jié)論.
【詳解】（1）由，即在上有解，
所以在上有解，令，只需，
由，當(dāng)，則，遞增，當(dāng)，則，遞減，
所以最大值為，故.
（2）由題意，有兩個零點，則有兩個解，
令與有兩個交點，而，且，
當(dāng)，則，故在上遞增，且值域為；
當(dāng)，則，故在上遞減，且值域為；
所以最大值為，故，且，圖象如下，

不妨令，
要證，即證，需證，
先證：
又，則，
所以，故，
令，則，故，可得，，
所以，
要證，即證，即證，
令且，則，
令，則，即在上遞增，
所以，即在上恒成立，故，
所以在上遞增，故，即成立，
綜上，；
再證：
由，故上，遞減，上，遞增，
所以，則零點在兩側(cè)，所以，
要證，即，又，需證，而，
所以，只需，即，
即證，，且，
即證，且，只需，，
令，且，則，
令，則，在時，即遞增，
所以，故，即在上遞減，
由，故，即恒有，
綜上，成立；
所以，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的零點分布得，將結(jié)論化為證，構(gòu)造中間函數(shù)研究恒成立求證結(jié)論即可.
20．（2024·陜西）設(shè)
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，詳見解析.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)，所以，此式等價于數(shù)列的前項和，由錯位相減法求得；
（Ⅱ）因為，，所以在內(nèi)至少存在一個零點，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個零點，由于，所以，由此可得，故，繼而得.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，
所以 ①
由 ②
①②得
，
所以
（Ⅱ）因為
，
所以在內(nèi)至少存在一個零點，
又
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
因此，在內(nèi)有且只有一個零點，
由于，
所以
由此可得
故
所以
考點：1.錯位相減法；2.零點存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.
21．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）（1）證明不等式：（第一問必須用隱零點解決，否則不給分）；
（2）已知函數(shù)有兩個零點.求a的取值范圍.（第二問必須用分段討論解決，否則不給分）
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最小值為正即可推理作答.
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性、零點情況作答.
【詳解】（1）令函數(shù)，，求導(dǎo)得：，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，，則存在，使得，即，有，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
所以.
（2）函數(shù)定義域R，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，由得，，由得，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，而，即存在，使得，則函數(shù)在上有唯一零點，
取且，則，
即存在，使得，則函數(shù)在上有唯一零點，
因此當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，
當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點2，
當(dāng)時，若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
即有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，
因此函數(shù)在上沒有零點，在上最多一個零點，即函數(shù)最多一個零點，
若，恒有，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)最多一個零點，
若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
即有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上沒有零點，在上最多一個零點，即函數(shù)最多一個零點，
綜上得，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，當(dāng)時，函數(shù)最多一個零點，
所以a的取值范圍是.
22．（2024高三上·河北·期中）已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)記函數(shù)，若恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）由題意得，令求出零點，即可得的單調(diào)區(qū)間；
（2）恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求導(dǎo)后，轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題討論函數(shù)單調(diào)性，即可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)的定義域為，
若，則，
令，則，
而，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）解：若恒成立，
則，
整理得，則，
設(shè)，則，
令，則，
整理得，
設(shè)，，可知兩個函數(shù)均過定點，
若，即時，
為的切線，切點為，
①當(dāng)，即時，，，不在定義域，不合題意；
②當(dāng)，即時，
在區(qū)間，恒有，，
所以在單調(diào)遞增，，
則，符合題意；
③當(dāng)，即時，
設(shè)零點為，則
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，
因為，
則，
又因為，所以且，與矛盾；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為
【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
23．（2024高三上·云南·階段練習(xí)）已知．
(1)當(dāng)時，求在上的單調(diào)性；
(2)若，令，討論方程的解的個數(shù)．
【答案】(1)在上遞增
(2)答案見解析
【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，并判斷在的正負(fù)，可得在上的單調(diào)性；
（2）方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與直線的交點個數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的手段即可解決.
【詳解】（1）因為
所以當(dāng)時，，
所以，
則當(dāng)時，，，可得，
所以在上遞增．
（2）因為，，
所以，，
令，解得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，有極小值．
令，解得．令，可得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以，的圖像經(jīng)過特殊點，，．
當(dāng)時，，從而；
當(dāng)時，，，從而．
根據(jù)以上信息，我們畫出的大致圖像如圖所示．

方程的解的個數(shù)為函數(shù)的圖像與直線的交點個數(shù)．
所以，關(guān)于方程的解的個數(shù)有如下結(jié)論：
當(dāng)時，解為0個；
當(dāng)或時，解為1個；
當(dāng)時，解為2個．
【點睛】方法點睛：解決方程的解的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的個數(shù)問題，畫出兩函數(shù)的圖像，采取數(shù)形結(jié)合的手段解決.
24．（2024高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．
(1)求a，b的值；
(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
(3)求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1).
(2)證明見解析
(3)零點個數(shù)為0，證明見解析.
【分析】（1）直接求導(dǎo)得，根據(jù)即可得到答案；
（2），轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可；
（3）通過求導(dǎo)得到的最小值，利用隱零點法證明即可.
【詳解】（1），則有，解得，，則.
（2）由（1）知，，
設(shè)，因為在上單調(diào)遞增，
則，所以在上恒成立，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（3）因為，令，
令，得，設(shè)，
由（2）知在上單調(diào)遞增，且，，
故存在唯一零點使得，
即存在唯一零點滿足，即得，則，
且當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，
所以
，
當(dāng)時，，，
則，
則函數(shù)的零點個數(shù)為0.
25．（2024高三上·河北保定·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，證明：在上恒成立；
(2)當(dāng)時，求在內(nèi)的零點個數(shù)..
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）當(dāng)時，通過導(dǎo)數(shù)求在上的最小值，證明；
（2）當(dāng)時，求在內(nèi)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)的零點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求在內(nèi)的單調(diào)性，由零點的存在定理判斷零點的個數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，，
則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，
在上，，即在上恒成立；
（2）當(dāng)時，函數(shù)，
，等價于，
令，，
在內(nèi)，，
在內(nèi)單調(diào)遞減，
在內(nèi)，，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，
，是的零點，
，，在上有一個零點，
所以在內(nèi)的有兩個零點.
26．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)，求關(guān)于的方程的解的個數(shù).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性；
（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點個數(shù)即可，注意分類討論參數(shù).
【詳解】（1）令，則，
當(dāng)時，，則在上遞減；
當(dāng)時，，則在上遞增；
所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
（2）由題設(shè)，即求解的個數(shù)，
令，則，
當(dāng)時，恒成立，即遞增，又，即此時僅有一個零點；
當(dāng)時，
當(dāng)時，，則在上遞減；
當(dāng)時，，則在上遞增；
則，
令，則，
所以，，故遞增；，，故遞減；
則，即，而趨向于或時都趨向，
所以，當(dāng)時，，此時僅有一個零點；
當(dāng)且時，，此時有兩個零點；
綜上，或，僅有一個解；且，有兩個解.
27．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).
(1)證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點；
(2)求函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）二次求導(dǎo)，結(jié)合零點存在性定理得到在區(qū)間上存在唯一極大值點；
（2）結(jié)合第一問，分三種情況進(jìn)行討論，求得的零點個數(shù).
【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為，且，
令，，所以，，
令，，則，
當(dāng)時，，所以，
即在上單調(diào)遞減，
又，，
，
則存在，使得，即存在，使得，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以為的唯一極大值點，
故在區(qū)間上存在唯一極大值點；
（2）由（1）知，，，
①當(dāng)時，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以存在，使得，
所以當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
又，，
所以當(dāng)時，有唯一的零點；
②當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
又，所以存在，使得；
③當(dāng)時，，所以，則在沒有零點；
綜上所述，有且僅有2個零點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷函數(shù)的零點個數(shù)，要結(jié)合函數(shù)特征，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)性及極值和最值情況，結(jié)合零點存在性定理求出零點個數(shù).
28．（2024高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)若關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由極值定義可確定極值點并求得極值；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有一個交點，作出的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）的定義域為，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的極小值為，無極大值.
（2）當(dāng)時，恒成立，，
由（1）可得圖象如下圖所示，

只有一個實數(shù)解等價于與有且僅有一個交點，
由圖象可知：當(dāng)或時，與有且僅有一個交點，
實數(shù)的取值范圍為.
29．（2024高三上·四川廣安·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合分類討論思想，可得答案；
（2）由（1）所得到函數(shù)單調(diào)性，求得極值，利用零點存在性定理，可得答案.
【詳解】（1）∵，∴，
①當(dāng)時，在上，，∴在遞增，
②時，由，解得：或.
在上，，在上，，在上，，
∴在，遞增，在遞減，
綜上，時，在遞增；
時，在，遞增，在遞減.
（2）由（1）知，當(dāng)時，在遞增.又，，
由零點存在性定理知，存在唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，在，遞增，在遞減.
∴，，
若只有一個零點，則，解得：，
綜上，的取值范圍是.
30．（2024高三上·江西南昌·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若方程有兩個不同的正根，求的取值范圍.
【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，設(shè)，求得，得到在單調(diào)遞增，結(jié)合，得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值；
（2）化簡方程為，令，轉(zhuǎn)化為有兩個零點，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和，令，得到，設(shè)，得到，求得，結(jié)合，，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
則，
設(shè)，則，
故在單調(diào)遞增，
又因為，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
則的極小值為，無極大值.
（2）解：因為，所以，可得，
令，可得，所以在單調(diào)遞減，
故有兩個正根，等價于有兩個零點，
可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在遞減，遞增，
可得，
令，所以，則，
設(shè)，則，.
所以，則，則，
因為，，
此時存在兩零點，其中，，且，
故.
【點睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)或不等式的恒成立（有解）問題的求解策略:
形如的恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
形如的有解的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.
31．（2024高三上·福建廈門·階段練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值為，
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若有3個解，求實數(shù)的范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由時，函數(shù)有極值為，可得，據(jù)此可得答案；
（2）由（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性與極值，即可得大致圖象，則有3個解等價于圖象與直線有3個交點，即可得答案.
【詳解】（1）由題，，時，函數(shù)有極值為，
則，經(jīng)檢驗滿足題意，
故；
（2）由（1），則，
令或在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減.
則在處取極大值，在處取極小值，據(jù)此可得大致圖象如下.
又有3個解等價于圖象與直線有3個交點，則.

32．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)，其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若，求的最小值；
(2)若函數(shù)恰有一個零點，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得0是函數(shù)的一個零點，構(gòu)造，分，以及討論，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，
記，則，
①當(dāng)時，，，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可知當(dāng)時，；
當(dāng)時，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由①②知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故有；
（2）因為函數(shù)恰有一個零點，
且，0是函數(shù)的一個零點，又，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，則，
當(dāng)時，，又，，
所以在恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
當(dāng)時，可得，且時，，
則存在，使得，此時在上，有，
在上，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故當(dāng)時，，而時，，
故在上存在一個零點，
則此時函數(shù)至少存在兩個零點，又因為0是函數(shù)的唯一零點，故不符合題意；
當(dāng)時，可得，又，
所以在區(qū)間上存在一點，使得，
故當(dāng)在上，有，在上，有，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故當(dāng)時，，而當(dāng)時，，
故此時函數(shù)在上至少存在一個零點，
又因為0是函數(shù)的唯一零點，故不符合題意；
當(dāng)時，即時，由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
最小值，
當(dāng)時，因為，符合題意.
綜上，滿足條件的值為.
【點睛】思路點睛：知道函數(shù)零點的個數(shù)，要求參數(shù)的取值范圍，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號和函數(shù)的單調(diào)性來處理，分類討論時注意利用已有的確定零點來確定一段范圍上的函數(shù)值的符號.
33．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）討論參數(shù)a，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；
（2）問題化為在上僅有一個解，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其在的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性判斷區(qū)間零點個數(shù)，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由，且，
當(dāng)，則，此時在上遞增；
當(dāng)，則時，，即在上遞增；
時，，即在上遞減；
綜上，，在上遞增；
，在上遞增，在上遞減.
（2）由題設(shè)在上僅有一個解，
所以在上僅有一個解，
令，則，
當(dāng)時，恒成立，此時遞增，且，
所以在上無解；
當(dāng)時，令，則，
令，則，即遞增，則，
i.當(dāng)時，，即恒成立，即遞增，
所以，故遞增，此時在上無解；
ii.當(dāng)時，，趨向正無窮時趨向正無窮，則使，
上，即，遞減；
上，即，遞增；
由，趨向正無窮時趨向正無窮，
所以在恒負(fù)，在上存在一個零點，
故上，遞減；
上，遞增；
由于，趨向正無窮時趨向正無窮，
所以在上恒負(fù)，上僅有一個零點，此時滿足題設(shè)；
綜上，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，問題轉(zhuǎn)化為在上僅有一個解，構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究零點.
34．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求證：曲線僅有一條過原點的切線；
(2)若時，關(guān)于的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【分析】（1）求導(dǎo)后得出切線方程，再代入原點求解即可；
（2）化簡可得有唯一解，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，再討論根的情況，數(shù)形結(jié)合分析的極值與的大小關(guān)系，結(jié)合恒成立問題求解即可.
【詳解】（1）的定義域為，，設(shè)切點，
則切線方程為，
當(dāng)切線過原點時有，即，
故，因為，所以，即切點有且只有一個，則曲線僅有一條過原點的切線，即得證.
（2）關(guān)于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，
令，則.
因為，故當(dāng)，即時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.
易知的圖象與直線有且僅有一個交點，滿足題意，此時；
當(dāng)，即時，設(shè)有兩個根，，則，，故.
①若，則當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.
故要使得有唯一解，則或恒成立.
此時，即，，.
則極大值，
令，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以，
又恒成立，故，；
同理，極小值，當(dāng)時無最小值，此時無實數(shù)使得恒成立.
②若，則，，不滿足；
③若，由①可得；
故當(dāng)時，.
綜上所述：
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【點睛】方法點睛：
本題利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）參變分離構(gòu)造函數(shù)；
（2）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，導(dǎo)數(shù)中有二次函數(shù)注意討論無根與有根的情況；
（3）導(dǎo)函數(shù)中二次函數(shù)有根時討論極值點與特殊點的大小關(guān)系并討論；
（4）數(shù)形結(jié)合列不等式求解.
35．（2024·新疆·三模）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．
【答案】(1)答案見解析
(2)；證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性即可；
（2）首先將原式化簡整理成，令得，再令，根據(jù)已知條件利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而要證即證即證，只需證，不妨設(shè)，則只需證，即，最后令，，其中，借助導(dǎo)數(shù)求解的最小值即可證明.
【詳解】（1）因為，
所以，
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，得；令，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）方程，即，等價于，
令，其中，則，顯然，
令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且由時可得在區(qū)間上，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
因為方程有兩個實根，
所以關(guān)于的方程有兩個實根，，且，，所以，
要證，即證，即證，只需證，
因為，所以，整理可得，
不妨設(shè)，則只需證，
即，
令，，其中，
因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，故．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問的關(guān)鍵點在于借助同構(gòu)思想將原始等價為，通過令，合理構(gòu)造函數(shù)來確定參數(shù)的取值范圍；第二步的關(guān)鍵點在于將等價轉(zhuǎn)換為，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步證明.
36．（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)m為實數(shù)，函數(shù).
(1)當(dāng)時，直線是曲線的切線，求的最小值；
(2)已函數(shù)有兩個不同的零點，（），若，且恒成立，求實數(shù)的范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，分類討論參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，
設(shè)切點為，則切線斜率，
∴切線方程為，∴，，
∴，
令，則，
由，可得；由，可得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，即的最小值為；
（2）∵有兩個不同的零點，（），
∴，，，
∴，∴，
設(shè)，則，
又，
∴，
將代入上式可得：恒成立，
又，則，∴恒成立，
設(shè)，，
則，，
（?。┊?dāng)時，，
∴，∴在上單調(diào)遞減，恒成立，
∴；
（ⅱ）當(dāng)時，∵，
∴時，，在上單調(diào)遞減；
時，，在上單調(diào)遞增，
∴時，，
綜上可得.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
37．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時，在區(qū)間上存在極值點；
(2)記在區(qū)間上的極值點為m，在區(qū)間上的零點的和為n，請比較2m與n的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用多次求導(dǎo)判定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在異號零點即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得，判定在區(qū)間上的零點為和0，再結(jié)合幾個常用的函數(shù)放縮多次分段構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1）由題意得，
令，
則，
令
顯然在區(qū)間上，即單調(diào)遞增，
∴，
∴即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又時，，，
由零點存在性定理可得：在區(qū)間上存在唯一零點，且在該零點左右兩側(cè)的值符號相反，
故當(dāng)時，在區(qū)間上存在極值點；
（2）由（1）得在上小于0，在上大于0，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴，
即，使，
又，∴.
現(xiàn)比較2m與的大小，
先判定，令，
即在上單調(diào)遞增，，
由，得，
，
令，則，
所以單調(diào)遞增，即，
∴.
令，
則，
所以單調(diào)遞增，即，
∴，即，
又在上單調(diào)遞增，
∴，即.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)的有界性及常用的幾個函數(shù)放縮，得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得證結(jié)果.
38．（2024高三上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）設(shè)函數(shù)，
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)如果且關(guān)于的方程有兩個解，證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，
（2）構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性轉(zhuǎn)化后證明．
【詳解】（1）的定義域為，
∴，
令，解得，或，
當(dāng)時，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，恒成立，即在上是增函數(shù)，
綜上可得，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，在上是增函數(shù)，
（2）證明：
當(dāng)且關(guān)于的方程有兩個解等價于當(dāng)存在
，
由（1）當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，
設(shè)，，
∴
∴在上單調(diào)遞減，∴，
即當(dāng)時，，
由于，∴，即，
∵，∴，
又，，在上為增函數(shù)，
∴，即.
【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
39．（2024高三上·遼寧大連·期中）已知函數(shù)（自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若的兩個零點分別為，，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）問題等價于有兩個零點，令，轉(zhuǎn)化為有兩個零點，利用導(dǎo)數(shù)分、討論可得答案；
（2）即證，由（1）知，，只需證，即證，設(shè)，令，則，只需證，即證，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值可得答案.
【詳解】（1）有兩個零點，等價于有兩個零點，
令，則在時恒成立，
所以在時單調(diào)遞增，
所以有兩個零點，
等價于有兩個零點，
因為，所以
①當(dāng)時，，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；
②當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞增；令，得，
單調(diào)遞減，所以.
若，得，此時恒成立，沒有零點；
若，得，此時有一個零點；
若，得，因為，且，，
所以在，上各存在一個零點，符合題意.
綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，
即若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為；
（2）要證，
只需證，即證，
由（1）知，，所以只需證，
因為，，
所以，，
所以，
只需證，
設(shè)，令，則，
所以只需證，即證，
令，，則，
，即當(dāng)時，成立，
所以，即，
即.
【點睛】方法點睛：函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：
1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；
2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.
40．（2024高三下·重慶九龍坡·開學(xué)考試）已知且.
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，若有三個零點.
①求的范圍；
②設(shè)，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）去絕對值符號，再分和兩種情況討論即可得解；
（2）①，有三個零點有三個不同的實根，，構(gòu)造函數(shù)，易得函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解；
②由①可得，則要證，只需證明：，結(jié)合整理即可得證.
【詳解】（1）注意，，則，
令，
當(dāng)時，時，，
時，，此時無解，
故當(dāng)時，在，上單點遞減，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，時，，此時無解，
時，，
故當(dāng)時，在，上單點遞減，
在上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時，在，上單點遞減，
在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單點遞減，
在上單調(diào)遞增；
（2）①，有三個零點有三個不同的實根，
，令，
因為，所以為奇函數(shù)，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，且，，
如圖，作出函數(shù)的大致圖象：

因為有三零點，且，
則；
②由①可得，則，
則要證，只需證明：，
由于，
則有，
所以.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
41．（2024高三上·廣東河源·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中.
(1)求過點且與函數(shù)的圖象相切的直線方程；
(2)①求證：當(dāng)時，；
②若函數(shù)有兩個不同的零點，，求證：.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)有，設(shè)切點坐標(biāo)，得到方程解出切點坐標(biāo)即可得到切線方程；
（2）①令，利用兩次求導(dǎo)即可證明；②通過導(dǎo)函數(shù)證明函數(shù)有兩個不同的零點，等價于，再結(jié)合（1）問和①問中的結(jié)論放縮有，再設(shè)新函數(shù)，利用韋達(dá)定理即可證明不等式.
【詳解】（1），
設(shè)切點的坐標(biāo)為，
則切線方程為，
因為切線過點，
所以，解得，
所以切線方程為.
（2）①令，，
令，則，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)時，；
②，
若，，則在上單調(diào)遞增，最多只有一個零點，不符合題意；
若，，
令，因為，，且，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
又因為當(dāng)時，；
當(dāng)時，，又因為，
所以恰有一解，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以為函數(shù)的唯一的極大值點，
因為當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)有兩個不同的零點，等價于，
即，
不妨設(shè)，當(dāng)，，所以，
由（1）得，直線與函數(shù)切于原點得：當(dāng)時，，
因為，所以當(dāng)時，結(jié)合①中有
，
令，即當(dāng)時，，
所以一定存在兩個不同的根，設(shè)為，，
因為，所以，
又因為，位于單調(diào)遞減區(qū)間，
所以，同理，
所以，所以，
因為，所以，
又因為，
所以，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的第二小問的關(guān)鍵是首先對有兩不同零點進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為，再通過放縮得，最后再利用韋達(dá)定理即可證明原不等式.
42．（全國名校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）．
(1)若在上恒成立，求a的取值范圍：
(2)設(shè)，，為函數(shù)的兩個零點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解可得；
（2）將方程化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，可知，構(gòu)造差函數(shù)可證.
【詳解】（1）若在上恒成立，即，
令，所以，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即a的取值范圍是．
（2）令，即，
令，則，
令，所以，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
不妨設(shè)，則，，
因為，
所以．
設(shè)函數(shù)（），則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即．
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以．
【點睛】難點點睛：本題屬于極值點偏移問題，本題難點主要在于構(gòu)造差函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，利用單調(diào)性可證.
43．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù),.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)，.
①求證：函數(shù)存在零點；
②設(shè)，若函數(shù)的一個零點為.問：是否存在，使得當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點，且總有恒成立？如果存在，試確定的個數(shù)；如果不存在，請說明理由.
【答案】(1)；(2) ①證明見詳解；②存在唯一的滿足題意，理由見詳解.
【分析】（1）根據(jù)題意求得的解析式和導(dǎo)函數(shù)，通過判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)單調(diào)性；
（2）①對參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可證明；
②結(jié)合①中對函數(shù)單調(diào)性的討論，求解方程的根，根據(jù)根的個數(shù)判斷參數(shù)的取值個數(shù).
【詳解】（1）由題可知，定義域為.
則，令，解得（舍）或，
故可得在單調(diào)遞減.
（2），
①由題可知.令，則其.
⒈當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減.
又因為，
故在區(qū)間上一定有一個零點；
⒉當(dāng)時，，令，
解得，
令，故可得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；
令，故可得或，故在，單調(diào)遞減.
又，故可得，
又因為，
故在區(qū)間上一定有一個零點.
⒊當(dāng)時，，令，
解得，顯然存在零點.
⒋當(dāng)時，令，解得，
故可得在區(qū)間單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.
又因為，，
故在區(qū)間上一定存在一個零點.
綜上所述，對任意的，一定存在零點.
②由①可知，當(dāng)時，
在上單調(diào)遞減.
且只在區(qū)間上存在一個零點，顯然不滿足題意.
當(dāng)時，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減.且
且在區(qū)間上一定有一個零點，不妨設(shè)零點為，則，
故要存在，使得當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點，
且總有恒成立，
只需，
即，（?。?br>整理得，.
則上述方程在區(qū)間上根的個數(shù)，即為滿足題意的的個數(shù).
不妨令,則，
故方程（ⅰ）等價于.
不妨令，
故可得在區(qū)間上恒成立.
故在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又因為，
故可得函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點.
則方程（ⅰ）存在唯一的一個根.
即當(dāng)時，有且僅有一個，使得當(dāng)時，
函數(shù)有且僅有一個零點，且總有恒成立.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，以及存在性問題，屬綜合困難題.
44．（2024高三上·山西臨汾·期中）已知函數(shù)，，在上有且僅有一個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)證明：若，則在上有且僅有一個零點，且.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分，和三種情況討論，根據(jù)零點存在性定理判斷即可.
（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可知，存在唯一，使得，且，從而可得.
【詳解】（1），設(shè)，
，
①當(dāng)時，若，則，
在上無零點，不符合題意；
②當(dāng)時，若，則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，∴在上無零點，不符合題意；
③當(dāng)時，若，則，∴在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴存在唯一，使得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵，，
故在上有且僅有一個零點，符合題意；
綜上，的取值范圍為.
（2）記，
，
由（1）知：若，當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
故存在唯一，使得，且.
注意到，可知在上有且僅有一個零點，
且，即.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
45．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.
(1)證明：函數(shù)，都恰有一個零點；
(2)設(shè)函數(shù)的零點為，的零點為，證明.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點存在原理進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，
時，，時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，
時，，，，
函數(shù)恰有一個零點.
函數(shù)的定義域為，，
時，，時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
時，，，
令（表示中最大的數(shù)），，
函數(shù)恰有一個零點；
（2）由（1）得函數(shù)的零點為，且，的零點為，且，
則有，，
，，，
在上單調(diào)遞增，由（1）可得，，，
，，
，，.原式得證.
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點存在原理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
46．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)設(shè).
（ⅰ）證明：存在兩個零點，；
（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析
【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性即可求解；
（2）（?。┣蟪龅膯握{(diào)區(qū)間，用零點存在性定理判斷每個單調(diào)區(qū)間上零點的個數(shù)；
（ⅱ）用的單調(diào)性把需證明的不等式轉(zhuǎn)化為即證，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1），
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
（2）（?。┳C明：，，，
因為，所以，所以當(dāng)時，，時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)有最小值．
由，，
下面證明，在上，對，只要足夠小，必存在，
使得：
實際上，當(dāng)時，，令，得，
所以對，取，必有，即，
所以在區(qū)間上，存在唯一的，，
又，所以在區(qū)間上，存在唯一的，，
綜上，存在兩個零點．
（ⅱ）要證，需證，由，所以，
因為在上單調(diào)遞減，因此需證：，
，，
所以，，
設(shè)，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，，即
，
結(jié)論得證，所以．
【點睛】雙變量不等式證明問題，通常結(jié)合變量間的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性等方法轉(zhuǎn)化為單變量不等式證明問題，同時注意構(gòu)造函數(shù)的技巧方法.
47．（2024高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，兩個零點互為倒數(shù)．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號從而可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出，由額單調(diào)性可判斷存在唯一使得，進(jìn)而可求得的單調(diào)性，從而可證明函數(shù)的零點問題.
【詳解】（1）的定義域為且，
若，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)，當(dāng)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2），所以，，
因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，
又，
故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，
又，所以在內(nèi)存在唯一根，
由得，又，
故是在上的唯一零點．
綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù).
【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
48．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時，，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù)．
【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析．
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知極值點可求出，從而可求出函數(shù)解析式，求出切點坐標(biāo)和切線斜率從而可求出切線的方程.
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號從而可確定函數(shù)的單調(diào)性.
(3)求出，由的單調(diào)性可判斷存在唯一使得，進(jìn)而可求出的單調(diào)性，從而可證明函數(shù)的零點問題.
【詳解】（1）求導(dǎo)：，由已知有，即，
所以，則，所以切點為，切線斜率，
故切線方程為：.
（2）的定義域為且，
若，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)，當(dāng)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3），所以，，
因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，
又，
故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，
又，所以在內(nèi)存在唯一根，
由得，又，
故是在上的唯一零點．
綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù).
【點睛】方法點睛：
求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).
49．（2024高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點．
（1）求的取值范圍；
（2）記兩個零點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)零點與方程的關(guān)系，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，并求得，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號判斷的單調(diào)性，從而求得最大值；由時的極限，即可確定函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點時的取值范圍；
（2）根據(jù)零點定義，將代入可得，.再結(jié)合不等式代入化簡并分離參數(shù)；由，，作差也可分離參數(shù)，將兩個式子合并化簡，令，再構(gòu)造函數(shù)，再求得，對分類討論，由的單調(diào)性與極值，即可確定的取值范圍．
【詳解】（1）依題意，函數(shù)在定義域上有兩個不同的零點，即方程在）上有兩個不同的解，也即在上有兩個不同的解．
令，則．
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)逆增，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
所以．
又，時，
當(dāng)時，，且，
若函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點，
則．
（2）因為為方程的兩根，
所以，．
不等式，變形可得，
代入可得．
因為，，所以原不等式等價于．
又由，，作差得，所以．
所以原不等式等價于恒成立．
令，則，不等式等價于在上恒成立．
令，則．
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞，因此，滿足條件；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上不能恒小于零．
綜上，．
【點睛】本題考查了函數(shù)零點與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，分離參數(shù)與構(gòu)造函數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的符號與單調(diào)性關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的綜合應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.
50．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知．
（1）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的前提下，設(shè)三個零點分別為且，當(dāng)時，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）易知時，．令，則時，的零點與函數(shù)的零點相同，根據(jù)函數(shù)有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為有兩個均不等于1的不同零點求解；
（2）根據(jù)，，得到，，即是的兩個根，再根據(jù)，得到有一個小于0的根求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，．令．
當(dāng)時，的零點與函數(shù)的零點相同．
當(dāng)時，，所以只有一個零點，不合題意．
因此．
又因為函數(shù)有三個不同的零點，所以有兩個均不等于1的不同零點．
令，解得（舍去負(fù)值）．
所以當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)．
因為，
所以當(dāng)，即時，有兩個不同零點．
又因為時，，
所以函數(shù)有三個不同的零點，實數(shù)a的取值范圍是
（2）因為，，
所以．所以．
所以．
所以是的兩個根．
又因為，
所以有一個小于0的根，不妨設(shè)為．
根據(jù)有三個根，可知，
所以，即．
因為，所以．
所以，即．
顯然，所以a的取值范圍是．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是由，得到有一個小于0的根，再由，所以，然后由而得解．
51．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.
（1）若，且在內(nèi)有且只有一個零點，求的值；
（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數(shù)使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）求得，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可容易求得參數(shù)的值；
（2）根據(jù)題意，可設(shè)，故可比照系數(shù)，結(jié)合已知條件，即可求得參數(shù).
【詳解】（1）若，則，.
若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
故在無零點；
若，令，得，.
在上，，單調(diào)遞減，
在上，，單調(diào)遞增.
又在內(nèi)有且只有一個零點，則，
得，得，得.
（2）因為，則，
若有三個不同零點，且成等差數(shù)列，
可設(shè)
，
故，則，
故，，.
此時，，，
故存在三個不同的零點，故符合題意的的值為.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合中檔題.
52．（2024·浙江·二模）設(shè)，已知函數(shù)有個不同零點.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值：
(2)求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)函數(shù)的三個零點分別為、、，且，證明：存在唯一的實數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；
（3）分析出，，對的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，可得，結(jié)合零點存在定理以及已知條件可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，.
（2）解：因為，
則，
①當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
此時函數(shù)至多兩個零點，不合乎題意；
②當(dāng)時，由可得或，列表如下：
由題意可知，有個不同的零點，則，
又因為，
令，記，
則，其中，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，
故不等式組的解集為.
因為，，
故當(dāng)時，函數(shù)有個不同的零點，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
（3）解：因為，，結(jié)合（2）中的結(jié)論可知，
①當(dāng)時，若存在符合題意的實數(shù)，則由于，
因此，，，
因此，、、成等差數(shù)列可得出，考慮，
即，這等價于，
令，
所以，，
令，則，
當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，故函數(shù)單調(diào)遞增，
因為，，
所以，在上存在唯一零點，記為，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由于，，，
因此，在上無零點，在上存在唯一的零點，
所以，存在唯一的實數(shù)，使得、、成等差數(shù)列;
②當(dāng)時，，不合乎題意.
綜上所述，存在唯一的實數(shù)使得、、成等差數(shù)列.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
53．（2024高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù)和有相同的最大值.
(1)求，并說明函數(shù)在（1，e）上有且僅有一個零點；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.
【答案】(1)，說明答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)分析的單調(diào)性，并討論與0的大小關(guān)系可得，，從而可得，故，再求導(dǎo)根據(jù)零點存在性定理證明即可；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合分析，代入各零點滿足的關(guān)系式，結(jié)合指對數(shù)的運(yùn)算分析即可.
【詳解】（1），令可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
∴時，取得最大值.即.
，
當(dāng)時，
時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減，
∴.
當(dāng)時，，不合題意；
當(dāng)時，可知，不合題意.
故，即.
∴.
∵，
當(dāng)時，，，
∴，∴在上單調(diào)遞增，
又，，
∴在上有且僅有一個零點.
（2）由（1）知，，的圖象大致如下圖：
直線與曲線，三個交點的橫坐標(biāo)從左至右依次為，，，
且，
∴且
由即，，，∴
即.①
由即，
∴.②
由①，②，，又，即，
∴.
【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的最值確定參數(shù)的問題.同時也考查了函數(shù)零點問題，需要數(shù)形結(jié)合確定零點滿足的關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合指對數(shù)運(yùn)算求解.屬于難題.
54．（2024·湖北黃岡·三模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．
【答案】(1)極大值為，極小值
(2)答案見解析
【分析】
（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值情況；
（2）分，和，結(jié)合，對進(jìn)行分類討論，求出零點個數(shù).
【詳解】（1）
當(dāng)時，，
由，得或，則和隨的變化如下表所示：
∴在上有2個極大值：在上有1個極小值．
（2）
由，知．
（ⅰ）當(dāng)時，，
∴，故在上無零點．
（ⅱ）當(dāng)時，．
故當(dāng)時，即時，是的零點；
當(dāng)時，即時，不是的零點．
（ⅲ）當(dāng)時，．故在的零點就是在的零點，
．
①當(dāng)時，，故時，在是減函數(shù)，
結(jié)合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點．
②當(dāng)時，，故時，在是增函數(shù)，
結(jié)合可知，在無零點，故在上無零點．
③當(dāng)時，，使得時，在是增函數(shù)；
時，在是減函數(shù)；
由知，．
當(dāng)，即時，在上無零點，故在上無零點．
當(dāng)，即時，在上有1個零點，故在上有1個零點．
綜上所述，時，有2個零點；時，有1個零點；時，無零點
【點睛】
導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方
55．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．
【答案】(1)極大值：，極小值：1
(2)答案見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)零點，列表即可得出極值；
（2）由知，，分，，討論零點，研究時的零點，時轉(zhuǎn)化為研究零點即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
由，得或，則和隨的變化如下表所示：
在上有2個極大值：，
在上有1個極小值：.
（2）由，知.
（i）當(dāng)時，，
，故在上無零點．
（ii）當(dāng)時，，．
故當(dāng)時，即時，，是的零點；
當(dāng)時，即時，，不是的零點.
（iii）當(dāng)時，．
故在的零點就是在的零點，
，．
①當(dāng)時，，故時，，在是減函數(shù)，
結(jié)合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點.
②當(dāng)時，，故時，，在是增函數(shù)，
結(jié)合可知，在無零點，
故在上無零點．
③當(dāng)時，，使得時，，在是增函數(shù)；
時，，在是減函數(shù)；
由知，．
當(dāng)，即時，在上無零點，
故在上無零點．
當(dāng)，即時，在上有1個零點，
故在上有1個零點.
綜上所述，時，有2個零點；
時，有1個零點；
時，無零點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先要理解，將問題轉(zhuǎn)化為，其次對按照與的大小分類討論，當(dāng)討論到時，再轉(zhuǎn)化為討論的零點問題也就是的零點問題.
56．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).
【答案】(1)，,
(2)答案見解析
【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)單調(diào)性判斷出極值點，最后求出極值點對應(yīng)的函數(shù)值即為極值；
（2）對和的范圍進(jìn)行分類討論，分別判斷出和的零點，從而得出的零點個數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
由得：或；由得：
列表：
∴；；
（2）由知：
（i）當(dāng)時，
，故在上無零點.
（ii）當(dāng)時，，知：當(dāng)時，，，
是的零點；
當(dāng)時，，，不是的零點；
（iii）當(dāng)時，，故在的零點就是在的零點.
由得：，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，
又∵，，
∴當(dāng)時，即在上無零點；
當(dāng)時，即在上有1個零點；
當(dāng)時，即在上無零點；
綜上所述：時，有2個零點；
或時，有1個零點；
時，無零點.
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)0,則由（1）知f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，，取b滿足，且，
則，所以f(x)有兩個零點
（ⅱ）當(dāng)a=0,則，所以f(x)只有一個零點
（ⅲ）當(dāng)a0時，.
∴，
∴時，，于是（x2唯一），使得.
∴時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.
則函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值.
又∵，∴，∴，∴.
【點睛】本題第（2）問有難度，看似是雙變量的問題實際上是單變量問題，在探討的零點時首先要想到特值，本題含指數(shù)函數(shù)可以嘗試驗證x=0是否是零點；在判斷第二個零點時用到了放縮法，因此我們需要對課本上的常見放縮不等式進(jìn)行總結(jié)和歸納，比如常見的等等.
4-2．（2024·寧夏）已知函數(shù)
（I）如，求的單調(diào)區(qū)間；
（II）若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明
>6.
【答案】（Ⅰ）增區(qū)間，減區(qū)間
（Ⅱ）證明見解析
【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，故
當(dāng)
當(dāng)
從而單調(diào)減少.
(Ⅱ)
由條件得：從而
因為所以
將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故
又由此可得
于是
4-3．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)①當(dāng)時，試證明函數(shù)恰有三個零點；
②記①中的三個零點分別為，，，且，試證明.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）①當(dāng)時，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明函數(shù)恰有三個零點；
②記①中的三個零點分別為，，，判斷零點所在區(qū)間，利用分析法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化證明即可．
【詳解】（1）當(dāng)時，定義域為，
所以，
所以在定義域上單調(diào)遞減，其單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）①由定義域為，
所以，
令，因為，，
設(shè)方程的兩根分別為，，且，則，，
所以有兩個零點，，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以在處取得極小值，在處取得極大值，
又，故，則，
又因為，，且，
故有，由零點存在性定理可知，
在恰有一個零點，在也恰有一個零點，
易知是的零點，所以恰有三個零點；
②由①知，，則，
因為，所以，
所以要證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證．
令，則，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，故式成立，
所以．
【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
4-4．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)有三個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的三個零點由小到大依次是.證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)值的符號即可得到導(dǎo)函數(shù)的符號，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點個數(shù)；
（2）把原函數(shù)有三個零點轉(zhuǎn)化為有三個根，構(gòu)造，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的分布得，要證，等價于證，
等價于，構(gòu)造函數(shù)從而證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）因為定義域為，又，
（ⅰ）當(dāng)單調(diào)遞減；
（ⅱ）當(dāng)，記，則，
當(dāng)；當(dāng)，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
又，所以，
①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個零點，與題設(shè)矛盾；
②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個零點，
記兩零點為，且，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，令，則，
所以，
所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負(fù)無窮大，
所以函數(shù)有三零點，
綜上所述，；
（2）等價于，即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由（1）可得，則，
所以，所以，
則滿足，，
要證，等價于證，
易知，令，則，
令得，令得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
下面證明，由，即證，
即證，
即證，
即證，
令，，
令，則，所以，
所以，則，所以，
所以，所以，
所以，所以原命題得證.
【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：
（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.
4-5．（2024·江蘇泰州·一模）已知函數(shù)，，．
(1)若，求證：
（?。┰诘膯握{(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；
（ⅱ）在上恰有兩個零點；
(2)若，記的兩個零點為，求證：．
【答案】(1)（i）詳見解析
（ii）詳見解析
(2)詳見解析
【分析】（1）（i）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)的遞減區(qū)間，證出在此區(qū)間也遞減即可；
（ii）求出，構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較判斷；
（2）根據(jù)（ii）中分別求出的范圍，相加即可；
【詳解】（1）證明：(1) (ⅰ) 因為，
由
令得的遞減區(qū)間為
當(dāng)時，，
所以在的遞減區(qū)間上也遞減．
(ⅱ)
因為，由得，
令，則.
因為，且，所以必有兩個異號的零點，記正零點為，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，若在上恰有兩個零點，則
由，得，
所以，又對稱軸，
所以
所以.
又，所以在上有且僅有一個零點．
又
令，解得.
所以取，當(dāng)時，
所以在上有且僅有一個零點．
故時，在上恰有兩個零點．
（2）由（ⅱ）知，對在上恰有兩個零點，
不妨設(shè)，因為，
所以
因為，
所以
所以
4-6．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù).
（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個零點；
（2）若函數(shù)存在兩個零點，證明：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）當(dāng)時，函數(shù)，定義域為，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，使在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，進(jìn)而分別計算并判斷，，與零的大小比較，最后由零點的存在性定理即可確定零點的個數(shù)；
（2）由是函數(shù)的兩個零點，知，進(jìn)而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，構(gòu)造函數(shù)，由（1）的單調(diào)性分析，表示最小值并由雙勾函數(shù)證得，即可得證.
【詳解】（1）由題可知，定義域
當(dāng)時，函數(shù)，則，（為的導(dǎo)函數(shù)）
單調(diào)遞增
，
使.
時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增
所以
由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在遞減，，，且，
在上有且只有一個零點
又，且
所以在上有且只有一個零點
綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點
（2）由是函數(shù)的兩個零點，知
要證
需證
令
需證
令
與（1）同理得
所以
故
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)與零點的存在性定理研究函數(shù)的零點，還考查了利用分析法證明不等式，屬于難題.
4-7．（2024高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若存在極值，求的取值范圍；
(2)若，已知方程有兩個不同的實根，，證明：.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義分類討論進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、對數(shù)均值不等式進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）因為，所以，，
當(dāng)，即時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，不可能有極值，舍去；
當(dāng)，即時，令，解得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在取得極大值，符合題意；
綜上：，故實數(shù)的取值范圍為.
（2）由得:.
由得即
構(gòu)造.易知在單調(diào)遞增且.
∴.即取對數(shù)得
設(shè).則
即.
利用對數(shù)均值不等式有即證得.
要證.只要證明.
設(shè).由（*）可且
則
在單調(diào)遞減，則.即
對數(shù)均值不等式.
證明如下:不妨設(shè)，要證，即證，，
令即證，即
即證:.
令，則
所以結(jié)論得證.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)均值不等式.
（四）
導(dǎo)數(shù)與“隱零點”問題
利用“隱零點”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數(shù)的隱零點問題：已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍. ②含參函數(shù)的隱零點問題：已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0，a)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關(guān).
題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點”問題
5-1．（2024·全國）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時.
【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，存在唯一零點.（Ⅱ）見解析
【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點個數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)在的唯一零點為，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.
試題解析：（Ⅰ）的定義域為，.
當(dāng)時,，沒有零點；
當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時，,故當(dāng)時，存在唯一零點.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點為，當(dāng)時，;
當(dāng)時，.
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
由于，所以.
故當(dāng)時，.
考點：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.
5-2．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個零點，記較小零點為，求證：.
【答案】(1)答案見詳解
(2)證明見詳解
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可求解；
（2）分析要證的，利用可得代換，即證，令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）解：的定義域為，
，
當(dāng)時，有，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，可得，令，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：函數(shù)有兩個零點，由第一問可知，且較小的零點，
則要證，即證，即證，
而可得（易檢驗），代換上式中，
所以即證，即證，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，而，
所以，即，得證.
極大值
增
極大值
減
極小值
增
0
+
0
-
0
+
0
-
極大
極小
極大
0
0
0
0
極大
極小
極大
0
1
+
0

0
+
極大值
極小值

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