一、選擇題
1．拋物線的焦點坐標是( )
A.B.C.D.
2．雙曲線的漸近線方程為( )
A.B.
C.D.
3．已知直線與.若，則( )
A.B.1C.D.2
4．已知橢圓的長軸長為8，且離心率為，則C的標準方程為( )
A.B.
C.D.
5．一束光線從點射出，經(jīng)y軸反射后經(jīng)過點，則該束光線從點P到點M的路徑長為( )
A.4B.5C.6D.
6．阿基米德在其著作《關于圓錐體和球體》中給出了一個計算橢圓面積的方法：橢圓長半軸的長度、短半軸的長度和圓周率三者的乘積為該橢圓的面積.已知橢圓的面積為，，為橢圓C的兩個焦點，P為橢圓C上任意一點.若，則橢圓C的焦距為( )
A.B.2C.D.
7．已知拋物線的焦點為F.點，P是C上一個動點，則的最小值為( )
A.4B.5C.6D.8
8．金秋十月，某校舉行運動會，甲、乙兩名同學均從跳高、跳遠、100米跑和200米跑這四個項目中選擇兩個項目參加.設事件“甲、乙兩人所選項目恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選項目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項目”，則( )
A.A與C是對立事件B.C與D相互獨立
C.A與D相互獨立D.B與D不互斥
二、多項選擇題
9．若直線l與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則l的方程可以是( )
A.B.
C.D.
10．已知圓的半徑為2，則下列命題是真命題的是( )
A.
B.點在圓C的外部
C.若直線平分圓C的周長，則
D.圓與圓C外切
11．在空間直角坐標系中，已知，，，，，，則( )
A.為質(zhì)數(shù)
B.為直角三角形
C.與所成角的正弦值為
D.幾何體的體積為
三、填空題
12．直線與直線之間的距離為________.
13．甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點游玩，已知甲、乙兩人選擇三個景點游玩的概率分別是，，和，，，則甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為________.
14．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過點且斜率為2的直線與C的一條漸近線在第四象限相交于點M，四邊形為平行四邊形.若直線的斜率，則C的離心率的取值范圍為________.
四、解答題
15．如圖，平面，平面，四邊形為正方形，E，F(xiàn)位于平面的兩側.
(1)若，試用，，表示；
(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值.
16．已知不過原點的直線l在兩坐標軸上的截距相等.
(1)求直線l的傾斜角；
(2)若直線l過點，求直線l的方程；
(3)若直線m與直線l垂直，且直線m被圓截得的弦長為2，求直線m在y軸上的截距.
17．已知在中，，，.
(1)求的外接圓的標準方程；
(2)過點B作的外接圓的切線，求該切線方程.
18．動點與定點的距離和M到定直線的距離的比為.記點M的軌跡為C.
(1)求C的方程.
(2)已知直線.
①若直線l與C相交.求m的取值范圍；
②當直線l與C相交時，證明：直線l被C截得的線段的中點在同一條直線上.
19．已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，漸近線方程為，，直線與C的左、右支分別交于點M，N（異于點A，B）.
(1)求C的方程；
(2)若直線與直線的斜率之積為，求m的值.
參考答案
1．答案：D
解析：得到，則焦點坐標為.
故選：D.
2．答案：C
解析：由，得，，
所以漸近線方程為，即
故選：C
3．答案：B
解析：由于，所以，，
此時兩直線方程分別為，，
不重合，符合題意，所以.
故選：B
4．答案：A
解析：由題意易得，則，
因為橢圓C的離心率為，所以，
則，
故C的標準方程為，
故選：A.
5．答案：B
解析：點P關于y軸對稱的點為，
則該光線從點P到點M的路徑長為.
故選：B.
6．答案：D
解析：根據(jù)題意可得，則，
因為，所以，則，
所以橢圓C的焦距為：
故選：D.
7．答案：C
解析：
由題意得，準線為，點A在拋物線C的內(nèi)部，
過點A作垂直于準線，垂足為B，過點P作垂直于準線，垂足為D，
則有，
當且僅當，P為與拋物線的交點時，等號成立，
所以的最小值為6.
故選：C.
8．答案：C
解析：設跳高、跳遠、100米跑和200米跑分別為1，2，3，4，則甲、乙兩名同學均從跳高、跳遠、100米跑和200米跑中選擇兩個項目參加的情況有：
（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），
（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），
（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），
（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36種，
其中A有24種情況，B有6種情況，C有6種情況，D有9種情況，則，，，.
由可得A與C不是對立事件，選項A錯誤.
，C與D不相互獨立，選項B錯誤.
，A與D相互獨立，選項C正確.
由B與D不可能同時發(fā)生可知B與D互斥，選項D錯誤.
故選：C.
9．答案：BD
解析：雙曲線的焦點在x軸上，且漸近線方程為，則直線與雙曲線的左支只有一個交點，A錯誤；
因為，所以直線與雙曲線無交點，C選項錯誤；
聯(lián)立，消y得，
，所以方程有兩個根，，
，所以方程有一正一負根，
聯(lián)立，消y得，
，所以方程有兩個根，，
，所以方程有一正一負根，
直線，均與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，B，D選項正確.
故選：BD.
10．答案：ABD
解析：圓的半徑為2，所以，，A選項正確.
所以圓的方程為，圓心為，半徑為2，
，所以點在圓C的外部，B選項正確.
直線平分圓C的周長，則直線過圓心，
即，，所以C選項錯誤.
圓的圓心為，半徑為8，
與的距離為，
所以圓與圓C外切，D選項正確.
故選：ABD
11．答案：BCD
解析：對于選項A：因為，，
所以，15不是質(zhì)數(shù)，A錯誤；
對于選項B：因為，，則，
所以，為直角三角形，B正確；
對于選項C：因為，
所以與所成角的正弦值為，C正確；
對于選項D：根據(jù)已知6個點的空間直角坐標可得幾何體為三棱臺，
且與該三棱臺的底面垂直，，，，，，，，
所以幾何體的體積為
，D正確.
故選：BCD.
12．答案：
解析：由于與直線平行，故距離為，
故答案為：
13．答案：/0.375
解析：由題意知甲，乙兩人選擇景點游玩相互獨立，
所以甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為
故答案為：
14．答案：
解析：由題意可得，，
由于為平行四邊形，故，
直線的方程為，漸近線方程，
聯(lián)立，，
故，
所以，
因此，化簡得，
故離心率為，
故答案為：
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）連接，由題意得，
又，所以；
（2）以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，.
設平面的法向量為，
則
令，得，
設直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成交的正弦值為.
16．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）設直線，即，
則直線l的斜率為，根據(jù)，
可求得傾斜角為；
（2）將點的坐標代入，可得，
所以直線l的方程為；
（3）因為直線m與直線l垂直，所以可設，
因為點到直線m的距離，
所以，
解得，
則直線m在y軸上的截距為.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）設的外接圓的標準方程為，
則，解得
故的外接圓的標準方程為.
（2）由（1）得外接圓的圓心為，半徑為5.
因為，所以切線的斜率為，
故所求切線方程為，即.
18．答案：(1)；
(2)①；②證明見解析
解析：（1）根據(jù)題意可得，
化簡得，即C的方程為.
（2）①由，得.
由，
解得，所以m的取值范圍為.
②證明：（方法一）由①中，得.
設直線l被C截得的線段的中點坐標為，
則，.
由，消去m可得，
所以直線l被C截得的線段的中點在直線上.
（方法二）設直線l與C交于A，B兩點.
設，，線段的中點坐標為，
則直線l的斜率為，，.
因為點A，B在C上，所以，
兩式相減得，
化簡得，
即，
所以直線l被C截得的線段的中點在直線上.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因為，漸近線方程為，
所以，解得，，
所以雙曲線C的方程為.
（2）設點，，根據(jù)題意知，
由，得，
則，
，，
而
；
由于，
；
，，
，
化簡可得，解得，或，
當時，，不符合題意，舍去，
故

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