第06講 解題技巧專(zhuān)題：構(gòu)造等腰三角形的解題技巧(3類(lèi)熱點(diǎn)題型講練) 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc2829" 【考點(diǎn)一 利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】  PAGEREF _Toc2829 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc24374" 【考點(diǎn)二 過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】  PAGEREF _Toc24374 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc3919" 【考點(diǎn)三 利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】  PAGEREF _Toc3919 \h 18  【考點(diǎn)一 利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】 例題：（2024上·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，，是的中點(diǎn)． ?? (1)求證：是等腰三角形 (2)若，求的度數(shù)． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) 【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵． （1）由角平分線的定義得，由得即可求證； （2）先求出，根據(jù)“三線合一”得，即可求解． 【詳解】（1）證明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴由（1）得： ∵是等腰三角形，是的中點(diǎn)． ∴ ∴． 【變式訓(xùn)練】 1．（2024下·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┮阎谥?，的平分線交于點(diǎn)，． (1)如圖1，求證：是等腰三角形； (2)如圖2，若平分交于，，在邊上取點(diǎn)使，若，求的長(zhǎng)． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)4 【分析】本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出答案； （2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出答案． 【詳解】（1）證明：是的平分線， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，，， ， 又，， ． 2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖1，在中，和的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交于E，交于F． ?? (1)當(dāng)，則___________； (2)當(dāng)時(shí)，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(1)8 (2)，見(jiàn)解析 【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵． （1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證，即可得出答案； （2）與（1）同理由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證． 【詳解】（1）解：∵， ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB， ∵和的平分線交于點(diǎn)O， ∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO， ∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC， ∴， ∴， 故答案為：8； （2），理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 3．（2023上·吉林松原·八年級(jí)?？计谀締?wèn)題背景】在學(xué)習(xí)了等腰三角形等有關(guān)知識(shí)后，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般可得等腰三角形．如圖1，為的角平分線上一點(diǎn)，常過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，易得為等腰三角形． (1)【基本運(yùn)用】如圖2，把長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重合部分的形狀是_______． (2)【類(lèi)比探究】如圖3，中，內(nèi)角與外角的角平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由； (3)【拓展提升】如圖4，四邊形中，為邊的中點(diǎn)，平分，連接，求證：． 【答案】(1)是等腰三角形 (2)，理由見(jiàn)解析 (3)見(jiàn)解析 【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)材料提示，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)即可求證； （2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知，為等腰三角形，則，且，可證，由此即可求解； （3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，為邊的中點(diǎn)，可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，得出為等腰三角關(guān)系，證明平分，再根據(jù)兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即可證明，即直角三角形，由此即可求證． 【詳解】（1）是等腰三角形； 理由：在長(zhǎng)方形中，， ， 由折疊性質(zhì)可得， ， ， 是等腰三角形； 故答案為：等腰三角形； （2）解：，理由如下， ∵平分，， ∴， ∴為等腰三角形，則， 平分，， ， 為等腰三角形，即， ， ． （3）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 為邊的中點(diǎn)， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，即， ，平分， ， 是等腰三角形，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 【考點(diǎn)二 過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】 例題：（2023上·吉林通化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且． ?? (1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖1，則線段與的數(shù)量關(guān)系是__________； (2)若點(diǎn)不是的中點(diǎn)，如圖2，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(提示：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)) (3)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，（2）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)，理由見(jiàn)解析 (2)，理由見(jiàn)解析 (3)成立，理由見(jiàn)解析 【分析】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)與判定． （1）求出，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，即可得出答案； （2）過(guò)作，交于，證明，推出，證是等邊三角形，推出，即可得出答案； （3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得到，即可得到． 【詳解】（1）解：，理由如下： 是等邊三角形， ． ∵點(diǎn)為中點(diǎn)， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案為：； （2）解：，理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)， ?? 則， ， 是等邊三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：結(jié)論仍成立，理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)， ?? 則， ， 是等邊三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【變式訓(xùn)練】 1．（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀┮阎本€，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線，上的點(diǎn)，，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿足． (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)． (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(1) (2)，理由見(jiàn)解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)； （1）證明為等邊三角形，得出，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論； （2）過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)得出，證出，得出，證出，由證明，得出，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：∵， 為等邊三角形， ∴， ∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┮阎诘冗吶切沃?，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且． (1)【感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______； (2)【類(lèi)比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)說(shuō)明理由；（提示如下：過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．） (3)【拓展】在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，則的長(zhǎng)是______． 【答案】(1) (2)，理由見(jiàn)解析 (3)5 【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，再由等邊三角形的性質(zhì)得，然后證，得，即可得出結(jié)論； （2）過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，證為等邊三角形，得，再證，得，即可得出結(jié)論； （3）過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，同（2）得是等邊三角形，，則，，即可得出答案． 【詳解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵是等邊三角形， ∴， ∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案為：； （2），理由如下： 過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，則， ∵是等邊三角形， ∴， ∴， ∴為等邊三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，如圖3所示： 同（2）得：是等邊三角形，， ∴， ∵， ∴． 故答案為：5． 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵． 3．（2024上·廣東中山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中， ， ， 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長(zhǎng)線移動(dòng)，并與點(diǎn) P同時(shí)停止． 已知點(diǎn) P，Q移動(dòng)的速度相同，連接與線段 相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn) P與點(diǎn)A，B重合時(shí)的情況)． (1)求證: ； (2)求證: ； (3)如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否變化?如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 (3)為定值5，理由見(jiàn)解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，準(zhǔn)確作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵． （1）利用、的移動(dòng)速度相同，得到，利用線段間的關(guān)系即可推出； （2）過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，利用等邊對(duì)等角結(jié)合已知可證，即可得出結(jié)論； （3）過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，由（2）得，可知為等腰三角形，結(jié)合，可得出即可得出為定值． 【詳解】（1）證明：、的移動(dòng)速度相同， ， ， ； （2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 在與中， ， ， ； （3）解：為定值5，理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F， 由（2）得：， 為等腰三角形， ， ， 由（2）得， ， ， 為定值5． 4．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)齊齊哈爾市第三中學(xué)校?？计谀┚C合與實(shí)踐： 已知：等邊． 【觀察猜想】如圖①：D為線段上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)E．可知為_(kāi)_____三角形． 【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】如圖②：D為線段外一點(diǎn)，連接，以為一邊作等邊三角形．連接．猜想與數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，直線與相交所產(chǎn)生的交角中的銳角為_(kāi)_____． 【深入探究】：D為線段上一點(diǎn)，F(xiàn)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且． （1）特殊感知：當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，如圖③，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____； （2）特例啟發(fā)：當(dāng)D為上任意一點(diǎn)，其余條件不變，如圖④，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由． （3）拓展延伸：在等邊三角形中，點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)F在直線上，且．若的邊長(zhǎng)為2，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____． 【答案】觀察猜想：等邊；實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：，；（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3）5或1 【觀察猜想】利用等邊三角形的性質(zhì)和判定即可證明； 【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】利用等邊三角形的性質(zhì)證明即可得出數(shù)量關(guān)系，再用三角形內(nèi)角和定理即可得出角度； 【深入探究】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)求解即可； （2）正確作出輔助線證明三角形全等即可； （3）分點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上兩種情況討論。 【詳解】解：【觀察猜想】等邊 理由：是等邊三角形， ， ， ， 是等邊三角形． 實(shí)踐發(fā)現(xiàn) ， 理由： 都是等邊三角形， ， ， ， ， 延長(zhǎng)交于F， 中，， ， 即， ， 深入探究 （1）特殊感知∶ 理由：當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，， 是等邊三角形， ， ， ， ， ， ， ． （2）特例啟發(fā)：猜想， 證明：過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E． ， ， ． 是等邊三角形， ． ， 又， 在和中， ， ， （3）①如圖： ②如圖， 當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)， 作，交直線于點(diǎn)E， ， ， ， 的邊長(zhǎng)為2，， ， ， ， ， ， 綜上所述，的長(zhǎng)是5或1． 【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定及“直角三角形中30銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形及分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)三 利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 例題：（2023上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一長(zhǎng)邊相等，解答下列問(wèn)題：如圖1，在中，交于點(diǎn)D，平分，且． (1)為了證明結(jié)論“”，小亮在AC上截取，使得，解答了這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)按照小亮的思路寫(xiě)證明過(guò)程； (2)如圖2，在四邊形中，已知，，，，，，求的長(zhǎng)． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)16 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵． （1）在上截取，使得，連接，根據(jù)角平分線的定義可得，再利用證明，從而可得，，進(jìn)而可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)等量代換可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答； （2）在上截取，連接，先利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用證明，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答． 【詳解】（1）解：證明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一個(gè)外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，連接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的長(zhǎng)為16． 【變式訓(xùn)練】 1．在中，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上，． (1)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______； (2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，試說(shuō)明與的數(shù)量關(guān)系； (3)在（1）的情況下，試判斷，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案； （2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而證明結(jié)論； （3）在上截取，連接，證明≌，根據(jù)求等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，得到，進(jìn)而得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：在中，，， 則， ，， ， ， 故答案為：； （2）解：， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下：如圖，在上截取，連接， 則， ， 在和中， ， ≌， ， ， 是的外角， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)?？计谥校┮阎?，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)． (1)寫(xiě)出圖1中與相等的角，______； (2)如圖1，若，在圖中找出與相等的線段并證明； (3)如圖2，若，求的長(zhǎng)度． 【答案】(1) (2)，證明見(jiàn)解析 (3) 【分析】（1）運(yùn)用三角形外角性質(zhì)即可求得答案； （2）利用證明，可得，，即可得出答案； （3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，可證得則，設(shè)，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，建立方程求解即可得出答案. 【詳解】（1），， ． ， 故答案為：； （2），理由如下， ，，， ， 在和中， ， ，． ， 即； （3）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于， ， 則， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 設(shè)， ，， ，． ， ，， ． ， 解得： ， ， 故的長(zhǎng)度為． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的 性質(zhì)與判定，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級(jí)下冊(cè)電子課本

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版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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