2025屆天津市第四十一中學(xué)高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份2025屆天津市第四十一中學(xué)高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共13頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題：（每小題5分，共45分）
1. 已知集合，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，，?br>所以，
所以，
故選：C
2. 已知，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】解不等式可得或，解得或，
解不等式，可得或.
或或x>2，
因此，“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知命題：“”，則為（ ）
A. B.
C. 不存在D.
【答案】B
【解析】命題：“”，
則為
故選:B
4. 函數(shù)的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可知是偶函數(shù)，排除A，B；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
故選：D.
5. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
因，
所以，
所以，
所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
故選：C
6. 有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（ ）
A. 120B. 60C. 40D. 30
【答案】B
【解析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有種方法，
同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有種方法，
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種.
故選：B.
7. 有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為（ ）
A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1
【答案】A
【解析】由題意知報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)為，
記“某人報(bào)足球俱樂(lè)部”為事件A，記“某人報(bào)乒乓球俱樂(lè)部”為事件，
則，所以,
故選：A
8. 已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間-∞,0上遞減.若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)在區(qū)間-∞,0上遞減，所以在(0,+∞)上遞增，
，，，
因?yàn)?，?0,+∞)上遞增，
所以，即，
故選:B.9. 已知，函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立,
所以當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立；
所以當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立，
即當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立；
所以當(dāng)時(shí)，令，函數(shù)g(x)是開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故原不等式恒成立等價(jià)于，解得；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，故原不等式恒成立等價(jià)于，解得；
當(dāng)時(shí)，令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以原不等式恒成立等價(jià)于，即.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
二、填空題：（每小題5分，共30分）
10. 已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_________．
【答案】
【解析】由題意可得.
11. 在的展開式中，的系數(shù)為_________．
【答案】
【解析】展開式的通項(xiàng)公式，
令可得，，
則項(xiàng)的系數(shù)為.
12. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以?br>因此．
13. 甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_________．
【答案】
【解析】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，
所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件A，
所以，；
記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，
黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，
所以，．
14. 已知，則的最小值為_______.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所?
∴,
所以
=，
當(dāng) ，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為 .
故答案為：.
15. 下列命題正確的是______．
①對(duì)于事件，若，且，則
②若隨機(jī)變量，則
③相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
④在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬表示回歸效果越差
【答案】①③④
【解析】對(duì)于①，對(duì)于事件，，即A發(fā)生必定有B發(fā)生，則，①正確；
對(duì)于②，若隨機(jī)變量，
則，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，正確；
對(duì)于④，在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬表示回歸效果越差，正確，
故答案為：①③④.
三、解答題：（本大題共5小題，共75分），
16. 已知定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
（1）求的解析式.
（2）若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解：（1）當(dāng)時(shí), ，
，又函數(shù)是奇函數(shù)，
，，
故，
又．綜上所述 ；
（2）為R上的單調(diào)函數(shù)，且，
∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減．
，
，
函數(shù)是奇函數(shù)，
．
又在R上單調(diào)遞減，
對(duì)任意恒成立，
對(duì)任意恒成立，
，解得：．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
17. 在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：；
乙：；
丙：.
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立
（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
（2）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解：（1）設(shè)事件A為“甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，
其概率為；
（2）記事件B為：“乙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，則，
事件C為：“丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率”，則，
依題意可知的可能取值為，
則，
，
，
，
所以的分布列為
期望.
18. 已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若，求在上的最大值．
解：（1）；
當(dāng)時(shí)，, 在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，,在上，，單調(diào)遞減，
在上，，單調(diào)遞增，有極小值；
綜上：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值.
（2）由（1）知，時(shí)，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，
若，則，
Ⅰ：當(dāng)時(shí)，，；
Ⅱ：當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上得：.
19. 甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：
（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？
附：，
解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，
設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則；
B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，
設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則.
A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；
B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.
（2）列聯(lián)表
=，
根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).
20. 已知函數(shù)．
（1）若，求a的取值范圍；
（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
（1）解：[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域?yàn)?，則
令f'(x)=0,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）證明：[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,f(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
又因?yàn)?故只需證
即證
即證
下面證明時(shí)，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解
又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故
兩邊取對(duì)數(shù)得：，即
又因?yàn)?，故，?br>下證
因?yàn)?br>不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故上單調(diào)遞減
故，即得證．準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
合計(jì)
A
240
20
260
B
210
30
240
合計(jì)
450
50
500