一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知命題，使得成立，則下列說法正確的是（ ）
A. ，為假命題
B. ，為假命題
C. ，為真命題
D. ，為真命題
【答案】B
【解析】命題是真命題，，是假命題.
故選：B
2. 已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由得：且，即；
由得：，即；
，，AB錯誤；
，，C錯誤，D正確.
故選：D.
3. 若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】因為，
所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為，
位于第三象限
故選：C.
4. 設(shè)非零向量的夾角為，若，則“為鈍角”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為，
則，解得，
即等價于，
若為鈍角，則，即充分性成立；
若，則為鈍角或平角，即必要性不成立；
綜上所述：“為鈍角”是“”的充分不必要條件.
故選：C.
5. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，所以.
所以.
故選：B.
6. 當時，若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 16
【答案】D
【解析】因為，所以.
由，得.
所以
，
當且僅當，即時等號成立，
所以實數(shù)的最小值為16.
故選：D.
7. 已知數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)，總滿足，若，則的前項和（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，依題意得，即，則
即，
所以數(shù)列an是以1為首項?1為公差的等差數(shù)列.
所以.
∴
所以.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以取得最大值；取得最小值.
令，則可化為有兩個零點，，且.
當時，即時，則需，即，解得；
當時，，滿足題意
當時，，即當4時，，滿足題意；
當時，，不滿足題意，
綜上所述，的取值范圍為.
故選：A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知為實數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BD
【解析】A選項，當時結(jié)論不成立，A錯誤；
B選項，由不等式的性質(zhì)可知B正確；
C選項，由，得，當時，結(jié)論不成立，C錯誤；
D選項，由，得，由不等式的性質(zhì)可知，D正確.
故選：BD.
10. 已知中，點是邊的中點，點是所在平面內(nèi)一點且滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 點是中線的中點
B. 點在中線上但不是的中點
C. 與的面積之比為1
D. 與的面積之比為
【答案】ACD
【解析】因為的中點為，所以.
又，所以，
所以，即為的中點，A正確，B錯誤.
由A正確可知，，所以C，D正確.
故選：ACD.
11. 已知是函數(shù)的圖象上的兩點，對坐標平面內(nèi)的任一點圖象上的點都滿足，若，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 在上單調(diào)遞減
B. 的圖象關(guān)于點中心對稱
C. 若，則實數(shù)的取值范圍為
D.
【答案】BCD
【解析】對于A，函數(shù)，由在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，A錯誤；
對于B，由，得是線段的中點，由，得，
又點在的圖象上，則，即，
設(shè)是的圖象上任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，
由，得，又，
即有，因此點在的圖象上，即的圖象上的任一點關(guān)于點的
對稱點也在的圖象上，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B正確；
對于C，當時，有，即當時，，
由，得，又在上單調(diào)遞增，
因此，解得或，C正確；
對于D，令，
則，
得
，因此，D正確.
故選：BCD
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在中，角的對邊分別為，若0，則的最長邊是__________.（用題中字母表示）
【答案】
【解析】根據(jù)正弦定理，得.
由余弦定理，得，所以角是鈍角.
所以的最長邊是.
13. 已知不等式的解集為.若不存在整數(shù)滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】不等式的解集為，
則，且分別為方程兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得即.
將代入不等式，
化簡得，即.
容易判斷或時，均不符合題意，所以.
所以原不等式即為，
依題意應(yīng)有且，所以.
14. 已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，且恒成立.若當時，，且，則不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】設(shè)，
因為恒成立，則.
因為，當時，，
可知在上單調(diào)遞增，則，
所以對都有，且，可得，
由，可得.
令，則，
可知在上單調(diào)遞減.
由，可化為，
即，可得，解得，
所以不等式的解集為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為是坐標原點，點是復(fù)平面內(nèi)一點，且.
（1）若，求與的關(guān)系；
（2）若不共線，三點共線，求的值.
解：（1）由題意，得，
則.
所以.
又，所以，
即，
.
因為，所以與的關(guān)系為.
（2）若三點共線，則有且或1.
所以有，
即.①
又由，得，
即.②
由①②知解得且或1.
所以的值為1.
16. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的最高點與最低點間的距離為.
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，其內(nèi)角的對邊分別為，已知2，且，求的面積.
解：（1），
所以由函數(shù)為偶函數(shù)，知.
又，所以，即有.
因為，所以有.
所以.
又其圖象上相鄰的最高點與最低點間的距離為，且，
所以有，解得.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由正弦定理，及，
得，
化簡可得，即.
又，所以.
由，及余弦定理，
得，解得或（舍去），所以.
又因為，所以.
所以.
17. 等差數(shù)列中，已知，其前項和為，且對任意正整數(shù)都成立.
（1）求的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和.
解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，則在中分別取，
得即
由①得或.
因為，所以.
代入②，得或.
當時，，與矛盾，舍去；
當時，.
所以an的通項公式為.
（2）方法一：由（1）知，
所以.
所以.
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以數(shù)列的前項和為
.
方法二：由（1）知，
所以
.
所以
.
所以.
18. 已知函數(shù).
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在其定義域內(nèi)不存在極值，求實數(shù)的值.
解：（1）函數(shù)的定義域為，
.
因為，所以由，
得或.
又-ln-a>0，
所以隨的變化情況如下表：
由上表可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由（1）知，
當時，，當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，存在極值，不符合題意；
當時，由（1）可得存在極值，不符合題意
當時，恒有不存在極值，符合題意；
當時，由（1）可知令時，得或.
∵，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
存在極值，不符合題意.
綜上所述，.
19. 已知函數(shù)，當?shù)闹的苁乖趨^(qū)間0,+∞上取得最大值時，我們就稱函數(shù)為“關(guān)于的界函數(shù)”.
（1）若為“關(guān)于的界函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）在數(shù)列an中，已知，且，判斷時，是不是“關(guān)于的界函數(shù)”？若是，請證明：當時，的值不小于“關(guān)于的界函數(shù)”；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，求證：.
解：（1）由ftx=gx(1+x)2+11+x=x-t(1+x)2+11+xx>0，
得ft'x=(1+x)2-x-t?21+x(1+x)4-1(1+x)2=2t-x(1+x)3x>0.
因為，所以當時，在0,+∞上單調(diào)遞減，無最值，不符合題意.
當時，時，ft'x>0；時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以當時，取得最大值.
故若為“關(guān)于的界函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是0,+∞.
（2）因為，由（1）可知，當時，為“關(guān)于的界函數(shù)”.
當x∈0,+∞時，.（*）
要證當時，值不小于“關(guān)于的界函數(shù)”，
即證.
又，得，
所以.
又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以，即有.
檢驗知時，結(jié)論也成立，故.
所以.
所以由（*）式知，.
所以當時，的值不小于“關(guān)于的界函數(shù)”.
（3）由（2）知，當時，，有成立，
所以
.
由（1）可知時，上式取得最大值，
所以.
所以b1+b2+?+bn≥n1+1n1-12n=n2n+1-12n>n2n+1.
所以原不等式成立.0
-
0
+
0
-
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
極大值
減函數(shù)

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