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湘豫名校聯(lián)考
2024年11月高三一輪復(fù)習(xí)診斷考試
數(shù)學(xué)
注意事項：
1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷指定位置，并將姓名?考場號?座位號?準考證號填寫在答題卡上，然后認真核對條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知命題，使得成立，則下列說法正確的是（ ）
A.，為假命題
B.，為假命題
C.，為真命題
D.，為真命題
2.已知集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
3.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.設(shè)非零向量的夾角為，若，則“為鈍角”是“”的（ ）
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
6.當(dāng)時，若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A.6 B.10 C.12 D.16
7.已知數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)，總滿足，若，則的前項和（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知為實數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
10.已知中，點是邊的中點，點是所在平面內(nèi)一點且滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.點是中線的中點
B.點在中線上但不是的中點
C.與的面積之比為1
D.與的面積之比為
11.已知是函數(shù)的圖象上的兩點，對坐標平面內(nèi)的任一點圖象上的點都滿足，若，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.在上單調(diào)遞減
B.的圖象關(guān)于點中心對稱
C.若，則實數(shù)的取值范圍為
D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在中，角的對邊分別為，若0，則的最長邊是__________.（用題中字母表示）
13.已知不等式的解集為.若不存在整數(shù)滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍是__________.
14.已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，且恒成立.若當(dāng)時，，且，則不等式的解集為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為是坐標原點，點是復(fù)平面內(nèi)一點，且.
（1）若，求與的關(guān)系；
（2）若不共線，三點共線，求的值.
16.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的最高點與最低點間的距離為.
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，其內(nèi)角的對邊分別為，已知2，且，求的面積.
17.（本小題滿分15分）
在等差數(shù)列中，已知，其前項和為，且對任意正整數(shù)都成立.
（1）求的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和.
18.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在其定義域內(nèi)不存在極值，求實數(shù)的值.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，當(dāng)?shù)闹的苁乖趨^(qū)間上取得最大值時，我們就稱函數(shù)為“關(guān)于的界函數(shù)”.
（1）若為“關(guān)于的界函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）在數(shù)列中，已知，且，判斷時，是不是“關(guān)于的界函數(shù)”？若是，請證明：當(dāng)時，的值不小于“關(guān)于的界函數(shù)”；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，求證：.
湘豫名校聯(lián)考
2024年11月高三一輪復(fù)習(xí)診斷考試
數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.B 【試題分析】本題主要考查實數(shù)的基本知識及含有量詞的命題的否定.
【解析】易知命題是真命題，則，顯然是假命題.故選B.
2.D 【試題分析】本題主要考查函數(shù)的定義域及集合間的基本關(guān)系.
【解析】，且，結(jié)合數(shù)軸可得.故選D.
3.C 【試題分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算?有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的幾何意義.
【解析】因為，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為，位于第三象限.故選C.
4.C 【試題分析】本題主要考查向量的夾角?數(shù)量積?模的計算及充分必要條件的判斷.
【解析】因為，若為鈍角，則，充分性成立，反之，若，則為鈍角或平角，必要性不成立.故選C.
5.B 【試題分析】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及三角恒等變換.
【解析】因為，所以.所以.故選B.
6.D 【試題分析】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系?利用基本不等式求最值及學(xué)生分析問題?解決問題的能力.
【解析】因為，所以.由，得.所以16，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以實數(shù)的最小值為16.故選D.
7.A 【試題分析】本題主要考查等差數(shù)列的概念?通項公式?數(shù)列求和及學(xué)生處理綜合問題的能力.
【解析】令，依題意得，即，所以數(shù)列是以1為首項?1為公差的等差數(shù)列.所以.所以.故選A.
8.A 【試題分析】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)零點的分布等基礎(chǔ)知識，并以此為載體著重考查學(xué)生分析問題?解決問題的能力.
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值.令，則可化為有兩個零點，，且.所以當(dāng)時，即時，則需，即，解得；當(dāng)時，，滿足題意當(dāng)時，，即當(dāng)4時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意，綜上所述，的取值范圍為.故選A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.BD 【試題分析】本題主要考查指數(shù)?對數(shù)及不等式的性質(zhì).
【解析】A選項，當(dāng)時結(jié)論不成立，A錯誤；B選項，由不等式的性質(zhì)可知B正確；C選項，由，得，當(dāng)時，結(jié)論不成立，C錯誤；D選項，由，得，由不等式的性質(zhì)可知正確.故選BD.
10.ACD 【試題分析】本題主要考查平面向量的線性運算?三角形中線的性質(zhì)等知識及學(xué)生的運算能力和分析問題?解決問題的能力.
【解析】因為的中點為，所以.又，所以，所以，即為的中點，A正確，B錯誤.由A正確可知，，所以C，D正確.故選ACD.
11.BCD 【試題分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性?對稱性及項求和，并以此為載體，著重考查學(xué)生的計算能力和分析問題?解決問題的能力.
【解析】，由在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，A錯誤；由，得是線段的中點.所以由，得.又點在的圖象上，所以，所以.設(shè)是的圖象上任意一點，則點關(guān)于點的對稱點為，由，得.又，即有，所以點在的圖象上，即的圖象上的任一點關(guān)于點的對稱點也在的圖象上，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，B正確；由上知，當(dāng)時，有，由此可知，當(dāng)時，.因為，所以，即.又在上單調(diào)遞增，所以，解得或1，C正確；設(shè)①，則②.①+②，得，所以，D正確.故選BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 【試題分析】本題主要考查正弦定理和余弦定理及學(xué)生的運算能力.
【解析】根據(jù)正弦定理，得.由余弦定理，得，所以角是鈍角.所以的最長邊是.
13. 【試題分析】本題以一元二次不等式及其解法為載體，主要考查學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題?解決問題的能力.
【解析】不等式的解集為，則，且分別為方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得即.將代入不等式，化簡得，即.容易判斷或時，均不符合題意，所以.所以原不等式即為，依題意應(yīng)有且，所以.
14. 【試題分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及學(xué)生洞查問題?分析問題和解決問題的能力.
【解析】設(shè)恒成立，即.因為，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時，，所以對都有.又，所以.所以由，得.令，則，所以在上單調(diào)遞減.由，可化為，所以.所以，解得.故不等式的解集為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.【試題分析】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義?平面向量的垂直與平行等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題?處理問題的能力以及計算能力.
【解析】（1）由題意，得，
則.
所以.
又，所以，
即，
.
因為，所以與的關(guān)系為.
（2）若三點共線，則有且或1.
所以有，
即.①
又由，得，
即.②
由①②知解得且或1.
所以的值為1.
16.【試題分析】本題以三角函數(shù)的性質(zhì)及解三角形為載體，主要考查了學(xué)生的邏輯推理能力和計算能力
【解析】（1），
所以由函數(shù)為偶函數(shù)，知.
又，所以，即有.
因為，所以有.
所以.
又其圖象上相鄰的最高點與最低點間的距離為，且，
所以有，解得.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由正弦定理，及，
得，
化簡可得，即.
又，所以.
由，及余弦定理，
得，解得或（舍去），所以.
又因為，所以.
所以.
17.【試題分析】本題主要考查了等差數(shù)列?等比數(shù)列的通項?性質(zhì)及求和等基礎(chǔ)知識，并以此為載體，著重考查學(xué)生的邏輯推理能力和計算能力及分析問題?解決問題的能力.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則在中分別取，
得即
由①得或.
因為，所以.
代入②，得或.
當(dāng)時，，與矛盾，舍去；
當(dāng)時，.
所以的通項公式為.
（2）方法一：由（1）知，
所以.
所以.
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以數(shù)列的前項和為
.（結(jié)果正確即可）
方法二：由（1）知，
所以
.
所以
.
所以.（結(jié)果正確即可）
18.【試題分析】本題以導(dǎo)數(shù)為載體，運用分類討論的思想，重點考查了學(xué)生分析問題?解決問題的能力，以及邏輯推理能力和計算能力.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
.
因為，所以由，
得或.
又，
所以隨的變化情況如下表：
由上表可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）方法一：函數(shù)的定義域為，
若在其定義域內(nèi)不存在極值，則在上為單調(diào)函數(shù)，
即恒成立，或恒成立.
當(dāng)時，，不符合題意；
當(dāng)時，令，當(dāng)時，或恒成立，
即為或在時恒成立.
設(shè)，
若的圖象是開口向上的拋物線，
只需使恒成立.
又，所以當(dāng)時，不可能恒成立.
所以不符合題意；
若的圖象是開口向下的拋物線，
只需使恒成立.
又對稱軸為，
所以要使，恒成立，
只需使.
所以.
方法二：由（1）知，
當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，存在極值，不符合題意；
當(dāng)時，恒有不存在極值，符合題意；
當(dāng)或時，由（1）可得存在極值，不符合題意.
綜上所述，.
19.【試題分析】本題通過函數(shù)與數(shù)列知識的交匯，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?數(shù)列的遞推?等比數(shù)列及不等式的證明等有關(guān)知識，著重考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題?解決問題的能力，以及邏輯推理能力和計算能力.
【解析】（1）由，
得.
因為，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，無最值，不符合題意.
當(dāng)時，時，；時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時，取得最大值.
故若為“關(guān)于的界函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是.
（2）因為，由（1）可知，當(dāng)時，為“關(guān)于的界函數(shù)”.
當(dāng)時，.（*）
要證當(dāng)時，的值不小于“關(guān)于的界函數(shù)”，
即證.
又，得，
所以.
又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以，即有.
檢驗知時，結(jié)論也成立，故.
所以.
所以由（*）式知，.
所以當(dāng)時，的值不小于“關(guān)于的界函數(shù)”.
（3）方法一：由（2）知，當(dāng)時，，有成立，
所以
.
由（1）可知時，上式取得最大值，
所以.
所以.
所以原不等式成立.
方法二：，
若，則.
所以只需證.
當(dāng)時，.
只需證，可證.
只需證，即證.
又時，.
所以，得證.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
C
B
D
A
A
BD
ACD
BCD
0
-
0
+
0
-
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
極大值
減函數(shù)

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