一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因為，，
所以，
所以，
故選：B．
2. 已知復數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，則，
因此，.
故選：C.
3. 雙曲線的另一種定義：動點與定點的距離和它與定直線：的距離的比是常數(shù)，則點的軌跡是一個雙曲線.動點與定點的距離和它與定直線：的距離的比是，則點的軌跡方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)，依題意，，化簡整理得，
所以點的軌跡方程為.
故選：B
4. 為研究光照時長（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了9組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并對，進行線性回歸分析.若在此圖中加上點后，再次對，進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（ ）
A. ，不具有線性相關(guān)性B. 決定系數(shù)變大
C. 相關(guān)系數(shù)變小D. 殘差平方和變小
【答案】C
【解析】對于A，加入點后，變量與預報變量相關(guān)性變?nèi)酰?br>但不能說，不具有線性相關(guān)性，所以A不正確
對于B，決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，所以加上點后，決定系數(shù)變小，故B不正確；
對于C，從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，所以加上點后，回歸效果變差.
所以相關(guān)系數(shù)的絕對值越趨于0，故C正確；
對于D，殘差平方和變大，擬合效果越差，所以加上點后，殘差平方和變大，故D不正確；
故選：C.
5. 已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)中點為，則，即，故邊為圓的直徑，
則，又，則為正三角形，
則有，
向量在向量上的投影向量，
故選：A
6. 古代農(nóng)耕常用水車作為灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類改造自然的成果之一.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標為，其縱坐標滿足，當秒時，（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】由已知，，
經(jīng)過45秒后，即旋轉(zhuǎn)了個周期，因此，如圖，
所以，
故選：A．

7. 已知長方體，是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小部分與體積較大部分的體積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取的中點為，連接，如下圖所示：
由長方體性質(zhì)可得，因此平面即為平面，
根據(jù)長方體性質(zhì)，由相似比可知交于同一點，
所以長方體被平面割成的體積較小部分為三棱臺，
設(shè)長方體各棱長為，因此長方體的體積為；
再由棱臺體積公式可得
，
可得較大部分的體積為；
因此體積較小部分與體積較大部分的體積之比為.
故選：D
8. 已知函數(shù)，，若有兩個零點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，而，則，，
，因此，解得，
由，得或，于是，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】，當且僅當時取等號，A選項正確；
當且僅當時取等號，B選項錯誤；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項正確；
∵，∴，∴，D選項正確.
故選：ACD.
10. 現(xiàn)有一個抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號箱子，但暫時未打開箱子，主持人此時打開了另一個箱子（主持人知道獎品在哪個箱子，他只打開甲選擇之外的一個空箱子）.記表示第號箱子有獎品，表示主持人打開第號箱子.則下列說法正確的是（ ）
A.
B.
C. 若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率增大
D. 若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率不變
【答案】BC
【解析】對于A，甲選擇1號箱，獎品在2號箱里，主持人打開3號箱的概率為1，即，A錯誤；
對于B，，，，，
則，
因此，B正確；
對于CD，若繼續(xù)選擇1號箱，獲得獎品的概率為，主持人打開了無獎品的箱子，
若換號，選擇剩下的那個箱子，獲得獎品的概率為，甲換號后中獎概率增大，C正確，D錯誤.
故選：BC.
11. 如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點，是線段上的動點（含端點），則下列命題正確的是（ ）

A. 三棱錐的體積為定值
B. 在直三棱柱內(nèi)部能夠放入一個表面積為的球
C. 直線與所成角的正切值的最小值是
D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】對于A選項，如下圖所示，連接交于點，連接，

因為四邊形為平行四邊形，則為的中點，
又因為為的中點，則，
因為平面，平面，則平面，
因為，則點到平面的距離等于點到平面的距離，為定值，
又因為的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，A對；
對于B選項，因為，，則，
且表面積為的球的半徑為，
的內(nèi)切圓半徑為，
所以，直三棱柱內(nèi)部不能放入一個表面積為的球，B錯；
對于C選項，因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則A2,0,0、、、、，
設(shè)，其中，
則，
設(shè)直線與所成角為，
所以，，
當時，取最大值，此時，取最小值，取最大值，
此時，，，
所以，直線與所成角的正切值的最小值是，C對；
對于D選項，點關(guān)于平面的對稱點為，則，

，，
所以，，則，
因為平面，，則平面，
因為平面，則，
將平面和平面延展為一個平面，如下圖所示：

在中，，，，
由余弦定理可得
，
當且僅當、、三點共線時，取最小值，
故的最小值為，D對.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在的展開式中，的系數(shù)為，則______.
【答案】5
【解析】，
令，則，
∴.
13. 已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為______.
【答案】
【解析】設(shè)橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：
由圓：可知圓心，半徑；
顯然，且，
因此可得，所以，
可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由橢圓定義可得，即，
因此離心率.
14. 若，已知數(shù)列中，首項，，，則______.
【答案】158
【解析】，則，
所以，整理得，
即是常數(shù)數(shù)列，又，
所以，，
，
則，
所以，
又，所以，，
所以，
所以．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面，點是的中點，點在線段上且，為三角形的重心.
（1）求證：平面；
（2）當?shù)拈L為何值時，二面角的大小為.
解：（1）連接交于點，由重心性質(zhì)可得是的中點，
又點是的中點，點在線段上且，可知是的重心；
連接，可知點在上，如下圖所示：
由重心性質(zhì)可得，，所以；
又平面，平面，
所以平面；
（2）因為底面是邊長為2的等邊三角形，所以；
又平面，且分別為的中點，所以可得平面；即兩兩垂直；
以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
設(shè)的長為，
則可得，所以；
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，可得，
即可取，
易知平面的一個法向量為；
所以，解得或（舍）；
即當?shù)拈L為3時，二面角的大小為.
16. 在中，角對應(yīng)的的三邊分別是，，，且.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面積.
解：（1）根據(jù)題意由正弦定理可得，
整理可得，
即，
所以；
可得，
又，所以，
又，因此.
（2）由三角形內(nèi)角關(guān)系可得，
由可得，解得或；
當時，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意；
因此，；
又，可得，同理；
由正弦定理可得，可得，
同理
因此的面積為.
17. 已知數(shù)列的首項是1，其前項和是，且，.
（1）求，的值及數(shù)列的通項公式；
（2）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式，有解，求實數(shù)取到最大值時的值.
解：（1）∵，∴
當時，，
即，
當時，
也滿足，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知，
∴，
∴
令，
，當時，，當時，
∵
∴的最大值為70，即當或時，取得最大值70，
∴取得最大值時，取4或5.
18. 已知函數(shù).
（1）當時，求曲線y=fx在點處切線方程；
（2）若，，證明：；
（3）若，恒有，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）時，，
，
，又，
所以切線方程為，即；
（2），
時，是遞增函數(shù)，
因此，，
又，所以，在上遞減，
，
因為，所以，
從而；
（3），，
當時，，在上是減函數(shù)，
當時，，因此不可能恒成立，
時，由得，
記，，
則有兩個實根，一根小于1，一根大于1，
大于1的根為，易知它是關(guān)于的減函數(shù)，
注意到在上是增函數(shù)，且，
即時，，時，，
所以時，，遞減，時，，遞增，
所以，
時，，此時，
記，在上遞減，在上遞增，且，
因此
當時，，，
當時，，，
綜上，時，恒成立，所以的取值范圍是．
19. 直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點0,1的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1）圓：是直線族的包絡(luò)曲線，求，滿足的關(guān)系式；
（2）若點不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族的包絡(luò)曲線的方程；
（3）在（1）（2）的條件下，過曲線上動點向圓做兩條切線，，交曲線于點，，求面積的最小值.
解：（1）由題可得，直線族為圓M的切線，
故滿足，，所以滿足．
（2）將點代入，可得關(guān)于的方程，
因為點不在直線族上，故方程無實數(shù)解，
所以，那么，故，因為區(qū)域的邊界為拋物線，
下證：是的包絡(luò)曲線．
證明：聯(lián)立直線與，
可得，所以，
故直線族：為拋物線的切線.
因此直線族的包絡(luò)曲線的方程為.
（3）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，
則，故
由直線與相切，所以，
整理得，①
同理可得，，②
由①②可得直線．
直線與聯(lián)立得，（顯然）
可得，由韋達定理可得．
因此，
由于點到直線的距離，
所以面積為，
令，則，
由，解得，
當，，當，，
所以在0,4上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
那么（當且僅當時取到），
所以面積的最小值是.

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