一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解不等式，得，
即，
又，故，
故選：A
2. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因為，所以，
故選：B.
3. 已知，，則（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】,
,
兩式相減得,
兩式相加得,所以,
即,
故選：B.
4. 已知向量，，則在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，則，，
則在方向上的投影向量為：.
故選：C.
5. 如圖，圓柱的底面直徑為3，母線長為4，，分別為該圓柱的上、下底面的直徑，且，則三棱錐的體積是（ ）
A. 24B. 18C. 12D. 6
【答案】D
【解析】如圖：過上底面中心，作與下底面直徑平行的直線，連接，，
則且，
因為，所以，
根據(jù)圓柱的性質(zhì)可知，平面，
則有，
則，，又，，平面，
所以平面，
所以．
故選：D．
6. 已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè),依題意：,
所以直線AB的方程為：,即,
聯(lián)立,得
所以,因為,所以,
即,解得,
故選：C.
7. 已知函數(shù)，且是的極小值點(diǎn)，則可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】對于A，，
，當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，，所以，
所以不是的極值點(diǎn)，故A錯誤；
對于B，，，
，當(dāng)時，，，所以；
當(dāng)時，，，所以，
所以不是的極值點(diǎn)，故B錯誤；
對于C，，，
，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，所以是的極小值點(diǎn)，故C正確；
對于D，，，
，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以是的極大值點(diǎn)，故D錯誤.
故選：C.
8. 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里可從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，均勻設(shè)置有48個座艙（按順時針依次編號為1至48號），開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30min.甲、乙兩戶家庭去坐摩天輪，甲家庭先坐上了1號座艙，乙家庭坐上了號座艙，若從乙家庭坐進(jìn)座艙開始計時，10min內(nèi)（含10min）出現(xiàn)了兩戶家庭的座艙離地面高度一樣的情況，則的最小值是（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】B
【解析】設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動出現(xiàn)了兩戶家庭的座艙離地面高度一樣，，只需考查旋轉(zhuǎn)的第一周內(nèi)即可，
而摩天輪的座艙每分鐘轉(zhuǎn)動，則乙家庭的座艙轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，
摩天輪的兩個相鄰座艙中點(diǎn)間的圓弧所對圓心角為，甲家庭的座艙轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，
依題意，甲乙兩戶家庭的座艙關(guān)于摩天輪垂直于地面的軸對稱，
則，
整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值是17.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 隨著農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的持續(xù)推進(jìn)，中國農(nóng)業(yè)連年豐收，農(nóng)民收入持續(xù)增加，農(nóng)村活力不斷增強(qiáng)，鄉(xiāng)村全面振興的美好藍(lán)圖變成現(xiàn)實.某地農(nóng)科院為研究新品種大豆，在面積相等的塊試驗田上種植一種新品種大豆，得到各塊試驗田的畝產(chǎn)量（單位：），并整理得下表：
則塊試驗田的畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)中（ ）
A. 中位數(shù)低于B. 極差不高于
C. 不低于的比例超過D. 第百分位數(shù)介于至之間
【答案】BC
【解析】由題知，共塊，所以其中位數(shù)為第和第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
由表格知，這兩個數(shù)據(jù)均在內(nèi)，故A錯；
由表格知，極差最大為，故B正確；
由表格知，不低于的比例為，C正確；
因為，
所以第百分位數(shù)為排序后第個和第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
由表格知，這兩個數(shù)據(jù)均在內(nèi)，
所以第百分位數(shù)介于至之間，D錯.
故選：BC
10. 下列各組函數(shù)的圖象，通過平移后能重合的是（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【答案】ACD
【解析】對于A，將的圖象向左平移個單位后得到的圖象，故A正確；
對于B，易知在上單調(diào)遞增；
對于，，令，得，
所以當(dāng)或時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以不能通過平移由得到，故B錯誤；
對于C，將的圖象向左平移個單位后得到的圖象，故C正確；
對于D，將的圖象向上平移個單位后得到的圖象，故D正確.
故選：ACD.
11. 在正三棱錐中，，，是底面內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)到該三棱錐三個側(cè)面的距離之和為定值
B. 頂點(diǎn)，，到直線的距離的平方和為定值
C. 直線與該三棱錐三個側(cè)面所成角的正弦值的和有最大值
D. 直線與該三棱錐四個面所成角的正弦值的平方和有最大值
【答案】ABC
【解析】由題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

有，
設(shè)，平面的一個法向量，
顯然，
所以有，令，得，
所以，
所以有，顯然
所以，
點(diǎn)到面的距離為；點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到面的距離為
因，故選項A正確；
由題可知，
易知點(diǎn)A到的距離 ，
同理，，，
所以，
故選項B正確；
到平面的夾角的正弦值為 ；到平面的夾角的正弦值為；到平面的夾角的正弦值為
顯然三個線面角的正弦值的平方和等于，可以垂直平面,
所以與三棱錐的四個面的線面角的平方和最大值為2，故選項D錯誤；
與三個側(cè)面的線面角之和為，
因為，
所以有，
其中表示,為到平面的距離，
所以，
所以的最大值為，故選項C正確；
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中常數(shù)項為______ ．
【答案】60
【解析】 的展開式中的通項公式：.
令-6=0，解得r=4．∴的展開式中常數(shù)項為:=60．
13. 若曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，則________.
【答案】
【解析】由，求導(dǎo)得，則，
因此曲線在點(diǎn)處切線方程為，即，
由直線與圓相切，得，
所以.
14. 已知數(shù)列中，等可能取，0或1，數(shù)列滿足，，則的概率是________.
【答案】
【解析】由題意可得：，
，
，
，
若，則，
各隨機(jī)從，0或1選一個，共有種情況；
若，
可分：都取0，一種情況；
，兩個取0，一個取1，一個取，共有,
，兩個取1，兩個取，共有,
共計19種情況，
所以的概率是.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）設(shè)是的中線，若，，求.
解：（1）因為，所以由正弦定理得，
又因為，即，整理得，
又因為，所以，所以，即.
（2）在中，由余弦定理，
可得，解得或（舍），即
在中，由余弦定理可知，解得.
16. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的值域；
（2）若存在，當(dāng)時，，求的取值范圍.
解：（1）因為，所以，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞減，在上遞增.
因為，，，且，
所以的值域是.
（2）因為.
①若，當(dāng)時，，所以在上遞增，
所以，不符合題意.
②若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上遞減，在上遞增，
要存在，當(dāng)，，
則只需，所以.
17. 在四棱錐中，底面為菱形，，，，.
（1）證明：；
（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.
解：（1）取中點(diǎn)，連接，
因為，所以是正三角形，
因為為中點(diǎn)，所以.
又因為，所以.
因為，所以，又，平面
所以面.
所以，又因為為中點(diǎn)，所以.
（2）解法1：因為，
所以是二面角的平面角，即.
在中，，解得.
如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面PAB的一個法向量為，
則，即，
令，則.所以，
所以，
所以直線BC與平面PAB所成角的正弦值為.
解法2：因為，
所以是二面角的平面角，即.
在中，，解得.
所以，所以，且，
取PB中點(diǎn)F，連接,
在等腰直角三角形中，，同理，
所以，所以，又，
所以平面，所以即為直線AD與平面所成角，
又，而，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18. 已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)和長軸端點(diǎn)間的距離為.
（1）求的方程；
（2）過左焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上.
（i）若的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程；
（ii）若的重心在軸上，求的橫坐標(biāo)的取值范圍.
解：（1）由題意知，即，又，
解得，，，
所以的方程；
（2）因為左焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，則，，
因為的重心為原點(diǎn)，所以，
所以，
又，
代入，
可得，
解得，所以直線方程是.
（ii）設(shè)，由（i）可知，，
代入，可得，
解得，所以.
所以，且，所以.
19. 維向量是平面向量和空間向量的推廣，對維向量，記，設(shè)集合.
（1）求，；
（2）（i）求中元素的個數(shù)；
（ii）記，求使得成立的最大正整數(shù).
解：（1），
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，；
，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，.
（2）（i）設(shè)中元素的個數(shù)為，
，，
偶數(shù)時，，且，
，
中的元素個數(shù)為.
（ii）①當(dāng)時，
；
②當(dāng)時，
；
③當(dāng)時，
；
；
要使得成立，其必要條件是當(dāng)時，，
令，則，
數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，
的解為；
當(dāng)時，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整數(shù).畝產(chǎn)量
頻數(shù)

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