本科試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，全卷共6頁(yè)，選擇題部分1至3頁(yè)，非選擇題部分3至6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
考生注意：
1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫(xiě)在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。
2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知，則（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
4.已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6.已知為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值是（ ）公眾號(hào)：全元高考
A. B. C. D.
7.已知數(shù)列滿足，且，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A.若，則是等差數(shù)列
B.若，則是等差數(shù)列
C.若，則是等比數(shù)列
D.若，則是等比數(shù)列
8.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則對(duì)所有這樣的函數(shù)，由下列條件一定能得到的是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.已知圓：和圓：，則（ ）
A.圓的半徑為4
B.軸為圓與的公切線
C.圓與公共弦所在的直線方程為
D.圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1
10.由變量和變量組成的10個(gè)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，設(shè)過(guò)點(diǎn)，的直線方程為，記，，則（ ）
A.變量，正相關(guān)
B.若，則
C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過(guò)中的一個(gè)點(diǎn)
D. 公眾號(hào)：全元高考
11.已知函數(shù)，則（ ）
A. B. 恰有5個(gè)零點(diǎn)
C. 必有極值點(diǎn)D. 在上單調(diào)遞減
12.已知橢圓的左項(xiàng)點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)，在橢圓上（點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第四象限），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為1，則（ ）
A. 為定值B. 公眾號(hào)：全元高考
C. 與的面積相等D. 與的面積和為定值
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）.
14.人類(lèi)已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從TB（1TB=1024GB）級(jí)別躍升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）級(jí)別.國(guó)際數(shù)據(jù)公司（IDC）的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.500ZB，2010年增長(zhǎng)到1.125ZB.若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量P與年份的關(guān)系為，其中，均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的___________倍.
15.過(guò)正三棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若三棱錐，與三棱臺(tái)的表面積之比為，則直線與底面所成角的正切值為_(kāi)__________.
16.已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.（10分）
記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）求B的大?。?br>（2）若，，求.
18.（12分）
已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記為數(shù)列前項(xiàng)的乘積，若，求的最大值.
19.（12分）
如圖，為正三角形，平面，平面，，，點(diǎn)F，P分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.
（1）證明：直線與直線相交；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
20.（12分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）若，都有，求的取值范圍.
21.（12分）
機(jī)器人甲、乙分別在A，B兩個(gè)不透明的箱子中取球，甲先從A箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放入B箱子，然后乙再?gòu)腂箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放回A箱子，這樣稱為一個(gè)回合.已知甲從A箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為，乙從B箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為.現(xiàn)A，B兩個(gè)箱子各有除顏色外其它都相同的6個(gè)小球，其中A箱子中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球；B箱子中有2個(gè)紅球，4個(gè)白球.
（1）求第一個(gè)回合甲從A箱子取出的球中有2個(gè)紅球的概率；
（2）求第一個(gè)回合后A箱子和B箱子中小球個(gè)數(shù)相同的概率；
（3）兩個(gè)回合后，用X表示A箱子中小球個(gè)數(shù)，用Y表示B箱子中小球個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
22.（12分）
已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與該雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B.
（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求；
（2）是否存在定點(diǎn)，使得?若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2023年11月紹興市選考科目診斷性考試
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
9.BD 10.ABD 11.BCD 12.ABC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.-8 14.1.5 15. 16.
四、解答題：本題共6小題，共70分。
17.（本題滿分10分）
解：（1）因?yàn)椋裕?br>即，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>又，所以.
（2）因?yàn)椋?
因?yàn)椋?br>所以.
18.（本題滿分12分）
解：（1）設(shè)的公差為，由得；
由，，成等比數(shù)列，得，即，
整理得.
由解得或
所以，的通項(xiàng)公式為或.
（2）因?yàn)椋?
所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
從而，，，，，
又因?yàn)椋?br>所以，的最大值為.
19.（本題滿分12分）
（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，，，則，，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，?br>所以，，則四邊形為平行四邊形，
所以，.
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且，所以是的中點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以，，
所以，，
即，共面，且，長(zhǎng)度不等，
所以直線與直線相交.
（2）解法1：
由（1）知，平面即為平面.
因?yàn)槠矫?，且平面，所以?br>因?yàn)闉檎切危c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，
又，平面，平面，所以平面.
又，所以平面，
所以為平面與平面的夾角，
不妨設(shè)，則，，，
所以，
即平面與平面夾角的余弦值為.
解法2：
因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉檎切?，所以?br>所以平面，又，所以平面.
以F為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)，則，，，，，
所以，，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則即
取.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則即
取.
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以，平面與平面夾角的余弦值為.
20.（本題滿分12分）
解：（1）當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)?，?br>所以，曲線在處的切線方程是，即.
（2）因?yàn)?，都有，所以?br>設(shè)，則.
記，設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，.
21.（本題滿分12分）
解：（1）在第一個(gè)回合中，記事件表示“甲從箱子中取出2個(gè)球”，事件表示“甲從箱子中取出3個(gè)球”，事件C表示“甲從箱子取出的球中有2個(gè)紅球”，則
.
（2）第一個(gè)回合后，A箱子和B箱子中小球個(gè)數(shù)相同，即甲從A箱子中取出小球的個(gè)數(shù)與乙從B箱子中取出小球的個(gè)數(shù)一樣，所以，.
（3）每個(gè)回合后
A，B兩個(gè)箱子小球個(gè)數(shù)不變的概率，
A箱子比B箱子小球個(gè)數(shù)少2個(gè)的概率，
A箱子比B箱子小球個(gè)數(shù)多2個(gè)的概率.
兩個(gè)回合后，的所有可能值為-4，-2，0，2，4.
，
，
，
，
.
所以隨機(jī)變量的分布列為公眾號(hào)：全元高考
所以，.
22.（本題滿分12分）
解：（1）直線的方程為，
設(shè)，，
由得，所以 ，，
所以，.
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
又由得，所以.
設(shè)，，直線的方程為，其中，
由得，
所以，.
因?yàn)?，，?br>所以，
，
所以，
整理得，
將，代入上式，整理得，
所以.
經(jīng)檢驗(yàn)，存在，使得.-4
-2
0
2
4

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