2024~2025學(xué)年黑龍江省龍東聯(lián)盟高一(上)期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份2024~2025學(xué)年黑龍江省龍東聯(lián)盟高一(上)期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共12頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意，，
所以.
故選：D.
2. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題知，解得，所以定義域?yàn)?
故選：A.
3. 若，，則的值是（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】由，得，又，
所以.
故選：C.
4. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，D，令，得，排除A，故B正確.
故選：B.
5. 若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)有，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意均有
，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，對(duì)有，不滿足條件，
所以的取值范圍是.
故選：C.
6. 若“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若“，”為真命題，則，
又函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
所以時(shí)，，所以.
故選：B.
7. 已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題知，解得.
故選：A.
8. 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有成立，則（ ）
A. 4B. 2C. D. 0
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，所以.
又對(duì)任意，都有成立，
令，得，即，
所以，則，
所以，則，
故，
所以.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】因?yàn)?，所以，所以，A正確；
因?yàn)?，所以，，所以，即?br>B正確；
取，，此時(shí)，C錯(cuò)誤；
取，，，此時(shí)，，，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B. 在上單調(diào)遞減
C. 在上單調(diào)遞增D. 的最小值為9
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，由題知，的定義域?yàn)椋?br>且，所以為偶函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，C，D，令，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值2，
易證當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，
又函數(shù)為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最小值為，
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，最小值為9，
故B錯(cuò)誤，C，D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，，則（ ）
A.
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. 若，則有8個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】AC
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，
即，所以，故A正確；
當(dāng)x∈0,2時(shí)，，
則，故B錯(cuò)誤；
將函數(shù)y=fx在上的圖象每次向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍即可得函數(shù)在0,2，2,4，……上的圖象，
同理將函數(shù)y=fx在上的圖象每次向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
再將縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍即可得函數(shù)在，……上的圖象，
作出函數(shù)y=fx的圖象，如圖所示，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，，
則，
則，
令，即，解得，，
又因?yàn)閷?duì)任意的，都有，
結(jié)合圖象可得，C正確；
因?yàn)?，易知在，上單調(diào)遞減，
作出函數(shù)y=fx和y=gx的圖象，由此可得兩函數(shù)有7個(gè)交點(diǎn)，
所以有有7個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 命題“”的否定是____________.
【答案】
【解析】因?yàn)槿Q命題的否定為特稱命題，
故命題“”的否定為：“”.
13. 已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】12
【解析】函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)，所以，，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.
14. 已知函數(shù)，若時(shí)，方程的解分別為，，方程的解分別為，（），則的最小值為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】由，得或，
所以，，所以.
由，或，
所以，，所以，
所以.
令，易知在上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
（1）求的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增，
所以解得.
（2）由（1）知函數(shù)，為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，
由，得，
即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 已知集合或，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）當(dāng)時(shí)，或，
所以或.
（2）由“”是“”的充分不必要條件可得是的真子集，
令，解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以集合或，
因?yàn)槭堑恼孀蛹缘忍?hào)不同時(shí)取得，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，集合，滿足是的真子集；
當(dāng)時(shí)，，所以集合或，
因?yàn)槭钦孀蛹?，等?hào)不同時(shí)取得，解得，所以，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17. 已知函數(shù).
（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)，若對(duì)任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）證明：設(shè)，
則，
因?yàn)?，所以，，?br>所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，恒成立
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 某企業(yè)投資生產(chǎn)一批新型機(jī)器，其中年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入生產(chǎn)成本萬(wàn)元，且，當(dāng)生產(chǎn)5臺(tái)時(shí)需另投入生產(chǎn)成本75萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)70萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的這批機(jī)器能全部銷售完.
（1）求的值；
（2）求該企業(yè)投資生產(chǎn)這批新型機(jī)器年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)銷售額成本）；
（3）這批新型機(jī)器年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).
解：（1）將，代入，
得，解得.
（2）由題意得，，.
當(dāng)時(shí)，由（1）知，，
則；
當(dāng)時(shí)，.
則，
所以年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為：
.
（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，
，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，.
又，故時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是500萬(wàn)元.
綜上所述，年產(chǎn)量為22臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是500萬(wàn)元.
19. 若函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.
（1）函數(shù)；；中，哪個(gè)函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù).
①函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值.
解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，，
所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，
所以，故不是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，
所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.
（2）①有題知.
因?yàn)?，所?
令，則，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時(shí)，，所以有；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，，所以有，
綜上所述，；
②由題可知，函數(shù).
因?yàn)?，所?
令，則，.
可知此時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸為且開(kāi)口向上，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)是在區(qū)間上“美好函數(shù)”，
所以有，整理得，無(wú)解；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，故此時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，
所以有，解得（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)是在上的“美好函數(shù)”，
所以有，解得.
綜上所述：.