注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所對(duì)應(yīng)的直線的斜率為（ ）
A.B.C.D.
2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，點(diǎn)在橢圓上，則的周長(zhǎng)為（ ）
A.16B.18C.D.20
3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，定點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A.6B.7C.8D.9
4.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（ ）
A.9B.1C.1或9D.11或9
5.在正方體中，，，則（ ）
A.B.
C.D.
6.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作圓的切線，該切線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A.B.14C.15D.16
7.如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，，，三棱錐的外接球?yàn)榍?，則平面截球所得截面圓的面積為（ ）
A.B.C.D.
8.圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差.在平面上任給兩個(gè)不同圓心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線被稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓，是這兩個(gè)圓根軸上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知直線，直線，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若與圓相交于，兩點(diǎn)，則
D.過(guò)上一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則
10.在菱形中，，，E為AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則（ ）
A.平面
B.
C.異面直線，所成的角為
D.與平面所成角的余弦值為
11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為
B.若存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為
C.若存在點(diǎn)，使得，且，則橢圓的離心率為
D.若存在點(diǎn)，使得，且，則橢圓的離心率為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的模為___________.
13.雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
___________，漸近線方程為___________.
14.已知圓，直線，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
已知橢圓上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最大值為16，最小值為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.
16.（15分）
已知的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)滿足，記頂點(diǎn)的軌跡為.
（1）求曲線的方程.
（2）過(guò)點(diǎn)的直線（斜率不為0）與曲線交于不同的兩點(diǎn)P，Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP，OQ的斜率之積是否為定值.若為定值，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.
17.（15分）
如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.
（1）求該幾何體的體積；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
18.（17分）
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
（1）求軌跡的方程.
（2）已知直線與軌跡交于A，B兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)作兩條切線，分別為，，且，相交于點(diǎn).若，求.
19.（17分）
在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，且多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”.已知雙曲線與雙曲線有相同的離心率，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點(diǎn)（A在B上方），當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；
（3）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與雙曲線的右支交于點(diǎn)，試判斷雙曲線在點(diǎn)處的切線是否為的等線，請(qǐng)說(shuō)明理由.
[注]雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.
2024—2025年度高二上學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)參考答案
1.D直線的斜率為，傾斜角為120°，所以繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所對(duì)應(yīng)的直線的傾斜角為30°，斜率為.
2.B因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，故的周長(zhǎng)為.
3.C因?yàn)榈扔邳c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以當(dāng)PQ垂直于準(zhǔn)線時(shí)，有最小值，最小值為.
4.A因?yàn)?，所以，?
5.D因?yàn)?，，所?
因?yàn)?，所?
6.D記拋物線的焦點(diǎn)為，則.記切點(diǎn)為，因?yàn)閳A的圓心為，所以，，所以，所以直線AB的方程為.設(shè)，，聯(lián)立方程組得，所以，所以.
7.A如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.易知三棱錐的外接球球心為PD的中點(diǎn)，所以.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，?
因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離.
設(shè)截面圓的半徑為，則，所以截面圓的面積為.
8.A由題知，圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.
設(shè)點(diǎn)為圓與圓的根軸上的任意一點(diǎn)，
則，所以，
整理得，即圓與圓的根軸為直線.
取關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則.因?yàn)?，所以在上?br>所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值.
因?yàn)榈降木嚯x為，到的距離為，所以，即的最大值為.
9.ABD若，則，得，故A正確.若，則，得，故B正確.因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)，所以，故C不正確.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，故D正確.
10.AC如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.
對(duì)于A，因?yàn)椋矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以平面，故A正確.
對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.
對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，?
設(shè)與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，，故D錯(cuò)誤.
11.BCD對(duì)于A，只需，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，若存在，則只需，所以，故B正確.
對(duì)于C，因?yàn)?，，所以?
因?yàn)?，所以，，所以，故C正確.
對(duì)于D，因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)椋?br>所以，所以.
由，得，所以D正確.
12. 向量在向量上的投影向量的模為.
13.； 設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為，所以，，所以.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為.
14.11 設(shè)圓心關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得即，連接，（圖略），所以，故的最小值為.
15.解：（1）由題意，可知解得
因?yàn)椋?br>所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，，則
兩式相減得，
整理可得.
因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，.
所以直線的斜率，
故直線的方程為，即.
16.解：（1）設(shè)，因?yàn)?，所以?br>所以，所以的方程為.
（2）設(shè)，，.
聯(lián)立方程組得，
所以，.
因?yàn)椋?br>所以，故直線OP，OQ的斜率之積為定值，且定值為.
17.解：取AC的中點(diǎn)，連接，，則，.
因?yàn)槠矫嫫矫?，且交于AC，所以平面.
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.
（1）連接BC.因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)?，，所以?br>則，所以.
設(shè)平面的法向量為，則令，得，
因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離，
所以，所以該幾何體的體積.
（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，?br>所以令，則.
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?br>所以所以.
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18.解：（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以軌跡的方程為.
（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組得，
則，.
易知，的斜率存在，設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程組得.
由，解得，所以的方程為.
同理可得，的方程為.
由解得即點(diǎn).
因?yàn)?，，，且，所以，即?br>化簡(jiǎn)得，因此或故.
因?yàn)橹本€為的等線，所以點(diǎn)在軸的上方，即.
由，得.
因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以雙曲線的離心率為，
又因?yàn)?，所以?br>所以，，所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，則雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程為.
雙曲線的漸近線方程為，可得，，
所以，所以是線段AB的中點(diǎn).
因?yàn)辄c(diǎn)，到過(guò)原點(diǎn)的直線的距離相等，
所以過(guò)原點(diǎn)的等線必定滿足點(diǎn)A，B到該等線的距離相等，且分別位于兩側(cè)，
所以該等線必過(guò)點(diǎn)，即直線OP的方程為.
方程組解得或所以.
所以，，
所以，故.
（3）設(shè)，則雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程為.
易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，
因?yàn)?，?br>所以點(diǎn)到的距離.
由得.
因?yàn)椋?，所以，?br>所以.
因?yàn)辄c(diǎn)到的距離，點(diǎn)到的距離，
所以，即為的等線.

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