考點01 彈性碰撞
1. （2024年高考廣西卷）如圖，在光滑平臺上有兩個相同的彈性小球M和N。M水平向右運動，速度大小為v。M與靜置于平臺邊緣的N發(fā)生正碰，碰撞過程中總機械能守恒。若不計空氣阻力，則碰撞后，N在（ ）
A. 豎直墻面上的垂直投影的運動是勻速運動
B. 豎直增面上的垂直投影的運動是勻加速運動
C. 水平地面上的垂直投影的運動速度大小等于v
D. 水平地面上的垂直投影的運動速度大小大于v
【答案】BC
【解析】
由于兩小球碰撞過程中機械能守恒，可知兩小球碰撞過程是彈性碰撞，由于兩小球質(zhì)量相等，故碰撞后兩小球交換速度，即
，
碰后小球N做平拋運動，在水平方向做勻速直線運動，即水平地面上的垂直投影的運動速度大小等于v；在豎直方向上做自由落體運動，即豎直地面上的垂直投影的運動是勻加速運動。故選BC。
2. （2024年高考廣東卷）如圖所示，光滑斜坡上，可視為質(zhì)點的甲、乙兩個相同滑塊，分別從、高度同時由靜止開始下滑。斜坡與水平面在O處平滑相接，滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為，乙在水平面上追上甲時發(fā)生彈性碰撞。忽略空氣阻力。下列說法正確的有（ ）
A. 甲斜坡上運動時與乙相對靜止
B. 碰撞后瞬間甲速度等于碰撞前瞬間乙的速度
C. 乙的運動時間與無關(guān)
D. 甲最終停止位置與O處相距
【參考答案】ABD
【名師解析】兩滑塊在同一斜坡上同時由靜止開始下滑，加速度相同，則相對速度為零，即甲斜坡上運動時與乙相對靜止，A正確；兩物塊滑到水平面后均做勻減速直線運動，由于兩物塊質(zhì)量相同，且發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)彈性碰撞規(guī)律可知碰撞后兩滑塊交換速度，即 碰撞后瞬間甲速度等于碰撞前瞬間乙的速度，B正確；設(shè)斜面傾角為θ，對乙沿斜面下滑，有，在水平面上運動一段時間t2后與甲碰撞，碰撞后以甲碰撞前的速度做勻減速運動，運動時間為t3，乙運動的時間 ，由于t1與H乙有關(guān)，則總時間與H乙有關(guān)，C錯誤；一下滑過程，有，由于甲和乙發(fā)生彈性碰撞，交換速度，則可知甲最終停止位置與不發(fā)生碰撞時乙最終停止位置相同；如果不發(fā)生碰撞，乙在水平面上運動最終停止位置，由
聯(lián)立解得 x=
即發(fā)生碰撞后甲最終停止位置與O處相距，D正確。
3.（20分）（2023年高考全國乙卷）. 如圖，一豎直固定的長直圓管內(nèi)有一質(zhì)量為M的靜止薄圓盤，圓盤與管的上端口距離為l，圓管長度為。一質(zhì)量為的小球從管的上端口由靜止下落，并撞在圓盤中心，圓盤向下滑動，所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等。小球在管內(nèi)運動時與管壁不接觸，圓盤始終水平，小球與圓盤發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短。不計空氣阻力，重力加速度大小為g。求
（1）第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大??；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離；
（3）圓盤在管內(nèi)運動過程中，小球與圓盤碰撞的次數(shù)。

【命題意圖】本題考查彈性碰撞及其相關(guān)知識點。
【解題思路】（1）小球第一次與圓盤碰撞前的速度為v0=
小球與圓盤彈性碰撞，設(shè)第一次碰撞后小球的速度大小為v1，圓盤的速度大小為v2，
由動量守恒定律mv0=-mv1+Mv2，
由系統(tǒng)動能不變，=+
聯(lián)立解得：v1=，v2= 。
（2）第一次碰撞后，小球向上做豎直上拋運動，由于圓盤向下滑動所受摩擦力與重力相等，所以圓盤向下做勻速運動。
當(dāng)小球豎直上拋運動向下速度增大到等于圓盤速度時，小球和圓盤之間距離最大。
當(dāng)小球豎直上拋運動向下速度增大到等于圓盤速度的時間
t= v1/g+ v2/g =
小球回到第一次與圓盤碰撞前的位置，
在這段時間內(nèi)圓盤下落位移x1= v2 t= =l。
即第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離為l。
（3）第一次碰撞后到第二次碰撞時，兩者位移相等，則有
即
解得
此時小球的速度
圓盤的速度仍為，這段時間內(nèi)圓盤下降的位移
之后第二次發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒
根據(jù)能量守恒
聯(lián)立解得,
同理可得當(dāng)位移相等時
解得
圓盤向下運動
此時圓盤距下端關(guān)口13l，之后二者第三次發(fā)生碰撞，碰前小球的速度
有動量守恒
機械能守恒
得碰后小球速度為
圓盤速度
當(dāng)二者即將四次碰撞時
x盤3= x球3
即
得
在這段時間內(nèi)，圓盤向下移動
此時圓盤距離下端管口長度為
20l－1l－2l－4l－6l = 7l
此時可得出圓盤每次碰后到下一次碰前，下降距離逐次增加2l，故若發(fā)生下一次碰撞，圓盤將向下移動
x盤4= 8l
則第四次碰撞后落出管口外，因此圓盤在管內(nèi)運動的過程中，小球與圓盤的碰撞次數(shù)為4次。
【思路點撥】得出遞推關(guān)系，是正確解題的關(guān)鍵。
4. （2023年學(xué)業(yè)水平等級考試上海卷）（16分）如圖，將質(zhì)量mP=0.15kg的小球P系在長度L=1.2m輕繩一端，輕繩另一端固定在天花板上O點。在O點正下方1.2m處的A點放置質(zhì)量為mQ=0.1kg的物塊Q，將小球向左拉開一段距離后釋放，運動到最低點與物塊Q彈性碰撞，P與Q碰撞前瞬間的向心加速度為1.6m/s2，碰撞前后P的速度之比為5?1,。已知重力加速度g=9.8m/s2，物塊與水平地面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.28.
（1）求碰撞后瞬間物塊Q的速度；（2）在P與Q碰撞后再次回到A點的時間內(nèi)，物塊Q運動的距離。
【參考答案】（1）1.4m/s （2）0.36m
【名師解析】
（1）由圓周運動的向心加速度公式，a=，解得v0=1.4m/s
碰撞后P的速度vP=v0=0.28m/s
碰撞過程，由動量守恒定律，mPv0= mPvP+ mQvQ，解得：vQ=1.68m/s
（2）設(shè)碰撞后P擺動到最高點的高度為h，根據(jù)機械能守恒定律，mgh=
解得h=0.004m
由sinθ==，θ小于5°，
P的擺動可以看作單擺的簡諧運動，
P與Q碰撞后再次回到A點的時間為t=T/2=π=1.1s
物塊在水平面上滑動的加速度 a=μg=2.74m/s2
Q在水平面上運動時間t’==0.6s，小于t=1.1s，即Q已經(jīng)停止。
所以Q運動的距離為s==0.504m。
5. （2023高考山東高中學(xué)業(yè)水平等級考試） 如圖所示，物塊A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形軌道末端與B的上表面所在平面相切，豎直擋板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A與B以相同速度向右做勻速直線運動。當(dāng)B的左端經(jīng)過軌道末端時，從弧形軌道某處無初速度下滑的滑塊C恰好到達最低點，并以水平速度v滑上B的上表面，同時撤掉外力，此時B右端與P板的距離為s。已知，，，，A與地面間無摩擦，B與地面間動摩擦因數(shù)，C與B間動摩擦因數(shù)，B足夠長，使得C不會從B上滑下。B與P、A的碰撞均為彈性碰撞，不計碰撞時間，取重力加速度大小。
（1）求C下滑的高度H；
（2）與P碰撞前，若B與C能達到共速，且A、B未發(fā)生碰撞，求s的范圍；
（3）若，求B與P碰撞前，摩擦力對C做的功W；
（4）若，自C滑上B開始至A、B、C三個物體都達到平衡狀態(tài)，求這三個物體總動量的變化量的大小。

【參考答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【名師解析】
（1）由題意可知滑塊C靜止滑下過程根據(jù)動能定理有
代入數(shù)據(jù)解得
（2）滑塊C剛滑上B時可知C受到水平向左的摩擦力，為
木板B受到C的摩擦力水平向右，為
B受到地面的摩擦力水平向左，為
所以滑塊C加速度為
木板B的加速度為
設(shè)經(jīng)過時間t1，B和C共速，有
代入數(shù)據(jù)解得
木板B的位移
共同的速度
此后B和C共同減速，加速度大小為
設(shè)再經(jīng)過t2時間，物塊A恰好撞上木板B，有
整理得
解得 ，（舍去）
此時B的位移
共同的速度
綜上可知滿足條件的s范圍為
（3）由于
所以可知滑塊C與木板B沒有共速，對于木板B，根據(jù)運動學(xué)公式有
整理后有
解得 ，（舍去）
滑塊C在這段時間的位移
所以摩擦力對C做的功
（4）因為木板B足夠長，最后的狀態(tài)一定會是C與B靜止，物塊A向左勻速運動。木板B向右運動0.48m時，有
此時A、B之間的距離為 △s=s-sA=0.48m-0.4m=0.08m
由于B與擋板發(fā)生碰撞不損失能量，故將原速率反彈。接著B向左做勻減速運動，可得加速度大小
物塊A和木板B相向運動，設(shè)經(jīng)過t3時間恰好相遇，則有
整理得
解得 ，（舍去）
此時有 ，方向向左；
，方向向右。
接著A、B發(fā)生彈性碰撞，碰前A的速度為v0=1m/s，方向向右，以水平向右為正方向，則有
代入數(shù)據(jù)解得
而此時
物塊A向左的速度大于木板B和C向右的速度，由于摩擦力的作用，最后B和C靜止，A向左勻速運動，系統(tǒng)的初動量
末動量
則整個過程動量的變化量
即這三個物體總動量的變化量的大小為9.02kg·m/s。
6. （2022·全國理綜乙卷·25） 如圖（a），一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接，靜止在光滑水平面上：物塊B向A運動，時與彈簧接觸，到時與彈簧分離，第一次碰撞結(jié)束，A、B的圖像如圖（b）所示。已知從到時間內(nèi)，物塊A運動的距離為。A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運動的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，達到的最高點與前一次相同。斜面傾角為，與水平面光滑連接。碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求
（1）第一次碰撞過程中，彈簧彈性勢能的最大值；
（2）第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；
（3）物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù)。
【參考答案】（1）；（2）；（3）
【名師解析】
（1）當(dāng)彈簧被壓縮最短時，彈簧彈性勢能最大，此時、速度相等，即時刻，根據(jù)動量守恒定律
根據(jù)能量守恒定律
聯(lián)立解得，
（2）同一時刻彈簧對、的彈力大小相等，根據(jù)牛頓第二定律
可知同一時刻
則同一時刻、的的瞬時速度分別為
根據(jù)位移等于速度在時間上的累積可得
又
解得
第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值
（3）物塊A第二次到達斜面的最高點與第一次相同，說明物塊A第二次與B分離后速度大小仍為，方向水平向右，設(shè)物塊A第一次滑下斜面的速度大小為，設(shè)向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律可得
根據(jù)能量守恒定律可得
聯(lián)立解得
設(shè)在斜面上滑行的長度為，上滑過程，根據(jù)動能定理可得
下滑過程，根據(jù)動能定理可得
聯(lián)立解得
考點02 非彈性碰撞
1. （2024年高考湖南卷）如圖，半徑為R的圓環(huán)水平放置并固定，圓環(huán)內(nèi)有質(zhì)量為mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始時小球A以初速度v0沿圓環(huán)切線方向運動，與靜止的小球B發(fā)生碰撞。不計小球與圓環(huán)之間的摩擦，兩小球始終在圓環(huán)內(nèi)運動。
（1）若小球A與B碰撞后結(jié)合在一起，求碰撞后小球組合體的速度大小及做圓周運動所需向心力的大??；
（2）若小球A與B之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個頂點，求小球的質(zhì)量比。
（3）若小球A與B之間為非彈性碰撞，每次碰撞后的相對速度大小為碰撞前的相對速度大小的e倍（0

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