一、單選題：本題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A. 相交B. 相離C. 內(nèi)切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】
求出兩圓圓心以及半徑，再由圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定位置關(guān)系.
【詳解】由題意圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑
，即兩圓外切
故選：D
2. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得傾斜角．
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，
因為該直線的斜率為，所以，所以，
故選：A
3. 從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.
【詳解】記2名男生為，2名女生為，
任意選出兩人的樣本空間，共6個樣本點，
恰好一男一女生的事件，共4個樣本點，
所以選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是.
故選：A
4. 橢圓的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，求出，根據(jù)，解出的值即可.
【詳解】橢圓的焦點在y軸上，∴，可得，.∵長軸長是短軸長的2倍，∴，解得
故選：D.
5. 已知直線，雙曲線，則（ ）
A. 直線與雙曲線有且只有一個公共點
B. 直線與雙曲線的左支有兩個公共點
C. 直線與雙曲線的右支有兩個公共點
D. 直線與雙曲線的左右兩支各有一個公共點
【答案】C
【解析】
【分析】發(fā)現(xiàn)點在雙曲線右頂點的右邊，聯(lián)立直線與雙曲線方程并畫出圖形即可得到答案.
【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖象如圖所示：
由圖可知直線過點，它在雙曲線的右頂點的右邊，
聯(lián)立直線與雙曲線方程得，解得或，
則直線與雙曲線的右支有兩個公共點.
故選：C.
6. 已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.
【詳解】
，而，
故直線的取值范圍為，
故選：A.
7. 傾斜角為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線于兩點，線段的垂直平分線過右焦點，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由垂直平分線性質(zhì)定理可得，運用解直角三角形知識和雙曲線的定義，求得，結(jié)合勾股定理，可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到a，b的關(guān)系，即可得到所求雙曲線的漸近線方程．
【詳解】解：如圖為線段AB的垂直平分線，
可得，
且，
可得，，
由雙曲線的定義可得，，
即有，
即有，，
，
由，可得，
可得，即，
，則漸近線方程為．
故選A．
【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，漸近線方程的求法，考查垂直平分線的性質(zhì)和解直角三角形，注意運用雙曲線的定義，考查運算能力，屬于中檔題．
8. 已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直線過定點及兩直線位置關(guān)系先確定的軌跡，令，可求出點坐標(biāo)，根據(jù)兩點之間線段最短可求解.
【詳解】直線過定點，
直線過定點，
且直線與直線垂直，所以點的軌跡是以為直徑的圓，
故圓心是，半徑為則點的方程是
令，因為，
所以，
則
所以，可得點
則.

二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用空間基底的定義以及空間向量共面定理依次判斷可得結(jié)論.
【詳解】由于是空間的一個基底，所以不共面，
對于A，向量分別與共線，所以不共面，能構(gòu)成空間一個基底；
對于B，不存在實數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個基底；
對于C，由于，因此這三個向量是共面的，不能構(gòu)成基底.
對于D，不存在實數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個基底.
故選：ABD
10. 如圖，已知點，是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧，是以BC為直徑的圓上的一段圓弧，是以O(shè)A為直徑的圓上的一段圓弧，三段圓弧構(gòu)成曲線，則（ ）

A. 曲線與軸圍成的面積等于
B. 與的公切線的方程為
C. 所在圓與所在圓的相交弦所在直線的方程為
D. 所在圓截直線所得弦的弦長為
【答案】BC
【解析】
【分析】由題知曲線與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個四分之一圓，故此可寫出各段圓弧所在圓的方程，然后根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)判斷各選項即可.
【詳解】對于A，，，所在圓的方程分別為，，，曲線與軸圍成的圖形為一個半圓、一個矩形和兩個圓，
其面積為，故A錯誤；
對于B，設(shè)與的公切線方程為（，），則，
所以，，所以與的公切線的方程為，
即，故B正確；
對于C，由及兩式相減得，
即公共弦所在直線方程，故C正確；
對于D，所在圓的方程為，圓心為，
圓心到直線的距離為，
則所求弦長為，故D錯誤.
故選：BC.
11. 已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點，橢圓的離心率為，點在橢圓上，點在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（ ）
A. 離心率的取值范圍為
B. 不存在點，使得
C. 當(dāng)時，的最大值為
D. 的最小值為1
【答案】ABC
【解析】
【分析】A：根據(jù)點在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.
【詳解】對于A，由已知可得，，所以，
則，故A正確；
對于B，由可知，點為原點，顯然原點不在橢圓上，故B正確；
對于C，由已知，，所以，．
又，則．
根據(jù)橢圓定義可得，
所以，
由圖可知，，

所以
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時，取得等號．
故的最大值為，故C正確；
對于D，因，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
所以，的最小值為，故D錯誤．
故選：ABC
【點睛】本題考查點和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計算最值問題里面的應(yīng)用.
三、填空題: 本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】,
則，
故答案為：
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點點的軌跡為.則的方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義待定系數(shù)法求解即可，由于是雙曲線的一支，注意橫坐標(biāo)的范圍.
【詳解】由題，點M的軌跡是為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，
故可設(shè)C的方程為，
由題：，解得：,
故C的方程為.
故答案為：．
14. 已知橢圓：，，為其左、右焦點，為橢圓上任一點，的重心為G，I是內(nèi)心，且有（其中為實數(shù)），橢圓的離心率_____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】設(shè)，求出重心的坐標(biāo)，利用中面積等積法可求出的關(guān)系，即可得橢圓離心率.
【詳解】設(shè)為重心，點坐標(biāo)為，
∵，∴IG∥x軸或 IG兩點重合， ∴I的縱坐標(biāo)為，
在中，，
，
又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo) 即知內(nèi)切圓半徑，
內(nèi)心I把分為三個底分別為的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，
，
即，，
∴橢圓C的離心率
故答案為:
【點睛】
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切.
（1）求圓的方程；
（2）經(jīng)過點的直線與圓交于兩點，且，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)圓心，結(jié)合所過點、與直線相切列方程求參數(shù)，即可得圓心和半徑，進(jìn)而寫出圓的方程；
（2）由題意直線l與圓C的距離，討論直線斜率，并設(shè)直線方程，應(yīng)用點到直線的距離公式求參數(shù)，可得直線方程．
【小問1詳解】
由題意，設(shè)圓心，半徑，
∵圓M經(jīng)過點，∴，
∵圓M與直線相切，
∴圓心到直線的距離，
∴，化簡，解得，
則圓心，半徑，
所以圓M的方程為．
【小問2詳解】
由題意，圓心到直線的距離，
若直線的斜率不存在，其方程為，顯然符合題意；
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離由，解得，
則直線的方程為，即，
綜上，直線的方程為或．
16. 某學(xué)校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一次“兩會知識知多少”的問卷測試．已知所有學(xué)生的測試成績均位于區(qū)間，從中隨機抽取了40名學(xué)生的測試成績，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中a的值，并估算這40名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
（2）現(xiàn)學(xué)校準(zhǔn)備利用比例分配的分層隨機抽樣方法，從和的學(xué)生中抽取7人組成兩會知識宣講團(tuán)．
①求應(yīng)從和學(xué)生中分別抽取的學(xué)生人數(shù)；
②從選定的7人中隨機抽取2人對高一同學(xué)進(jìn)行宣講，設(shè)事件“至少有1人測試成績位于區(qū)間”，求事件A的概率．
【答案】（1），
（2）①5人，2人；②.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和等于1列方程，可得實數(shù)的值，進(jìn)而求平均數(shù)；
（2）①根據(jù)頻率分布直方圖得和的面積之比，進(jìn)而根據(jù)比例抽樣即可；
②列出7人中隨機抽取2人的21種情況，確定至少有1人測試成績位于區(qū)間有11種，即可得解.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖，得，解得；
所以估算這40名學(xué)生測試成績的平均數(shù)為
；
【小問2詳解】
①由圖可得和90,100這兩組的頻率之比為，
故應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人），
應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人）；
②設(shè)從中抽取的5人為，從學(xué)生中抽取的2人為1，2，
則這個試驗的樣本空間
，則；
又，則，
故.
17. 已知雙曲線的焦點到一條漸近線的距離為.
（1）求的方程；
（2）若直線交雙曲線于兩點，是坐標(biāo)原點，若是弦的中點，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用焦點到漸近線的距離求出，結(jié)合漸近線方程即可求出雙曲線方程；
（2）利用點差法求出直線的斜率，然后聯(lián)立直線與雙曲線的方程，求出弦長AB和點到直線的距離，即可求出的面積.
【小問1詳解】
由雙曲線的一條漸近線方程為，所以，
故到漸近線的距離，
所以，又，所以，
故的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)點Ax1,y1,Bx2,y2，因為是弦的中點，則
由于，所以兩式相減得，
所以，即直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
聯(lián)立消去并整理，得，
所以，且，
所以.
點到直線的距離為，
所以的面積為.

18. 如圖，在四棱錐中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且.
（1）求證:CD平面PAD;
（2）求二面角的余弦值;
（3）設(shè)點G在線段PB上，且直線AG在平面AEF內(nèi)，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）證明PACD，ADCD，證明CD平面PAD；
（2）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出平面AEF的法向量，計算二面角的余弦；
（3）設(shè)，用表示，由與垂直，建立方程，解出.
【小問1詳解】
因為PA平面ABCD，CD平面ABCD，
所以PACD，又因為ADCD，PAAD=A，PA，AD平面PAD，
所以CD平面PAD；
【小問2詳解】
過點A作AD的垂線交BC于點M，
因為PA平面ABCD，AM，AD平面ABCD，
所以PAAM，PAAD，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
因為E為PD的中點，所以，
所以，，，
所以，，
設(shè)平面AEF的法向量為，則
，即，取，
又因為平面PAD的一個法向量為，
所以，
由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
【小問3詳解】
因為點G在PB上，設(shè)，，，，
由得，
即，所以，
由（2）知，平面AEF的法向量為，
因為直線AG在平面AEF內(nèi)，，得，
綜上，的值為.
19. 已知橢圓的兩個焦點分別為，其離心率為，過點且平行于的直線與橢圓交于，且.
（1）求橢圓方程；
（2）過點且相互垂直的兩條直線分別與橢圓交于.
①若直線斜率存在，過點向直線引垂線，垂足為，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；
②求四邊形面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）①證明見解析，；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計算，即可得到橢圓方程；
（2）①聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，先表示出直線的斜率，然后表示出直線的方程，即可得到定點坐標(biāo)；②由橢圓的弦長公式代入計算，結(jié)合基本不等式，即可得到四邊形面積的取值范圍.
【小問1詳解】
由已知得：，
在方程中，令，則，故
所以，故橢圓的方程為：.
【小問2詳解】
設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)
由得：，故，
①由已知，所以直線的斜率為
則直線的方程為：，即：
注意到：由韋達(dá)定理有：
，
所以:
故直線的方程為：，所以直線過定點，
②當(dāng)斜率存在且斜率，
則
同理以替代得:
，
因為：，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，

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