一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2023·重慶質(zhì)檢]從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第三四分位數(shù)為( )
A.3 B.eq \f(3＋x,2)C.8 D.eq \f(8＋y,2)
2.[2023·寶雞質(zhì)檢]設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.1，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為( )
A.0.1 B.0.2C.0.4 D.2
3.[2024·菏澤調(diào)研]某市為了了解該市的“全民健身運(yùn)動(dòng)”的開(kāi)展情況，從全體市民中隨機(jī)調(diào)查了100位市民每天的健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間(健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間是考查“全民健身運(yùn)動(dòng)”情況的重要指標(biāo))，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5，40](單位：分鐘)中，其頻率直方圖如圖所示，估計(jì)市民健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是( )
A.29分鐘 B.27分鐘C.29.5分鐘 D.30.5分鐘
4.[2024·南昌模擬]經(jīng)過(guò)計(jì)算，某統(tǒng)計(jì)小組得到三組數(shù)據(jù)(每組數(shù)據(jù)均由10個(gè)數(shù)組成，每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)員一次百米短跑的時(shí)間，單位：s)對(duì)應(yīng)的平均數(shù)與方差：第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為12，8，第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為15，10，第三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為14，16.下列結(jié)論正確的是( )
A.從數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況看，第三組數(shù)據(jù)的波動(dòng)最小
B.從數(shù)據(jù)的平均水平看，第二組數(shù)據(jù)的成績(jī)最好
C.從數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況看，第一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)最大
D.從數(shù)據(jù)的平均水平看，第一組數(shù)據(jù)的成績(jī)最好
5.[2023·廣州質(zhì)檢]已知總體劃分為若干層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，其中某一層抽取的樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，其平均數(shù)和方差分別為eq \(x,\s\up6(－))，s2.記總的樣本平均數(shù)為eq \(ω,\s\up6(－))，則eq \(∑,\s\up6(n),\s\d8(i＝1))(xi－eq \(ω,\s\up6(－)))2＝( )
A.s2＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2 B.ns2＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2
C.s2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2 D.ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2
6.[2024·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢]在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：
則兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為( )
A.6.5 B.13 C.30.8 D.31.8
7.[2023·海口模擬]氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天，每天的日均氣溫都不低于22 ℃”.已知甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)某連續(xù)5天日均氣溫的數(shù)據(jù)特征如下：
則可以肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)是( )
A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地
8.[2023·太原質(zhì)檢]現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)滿足如下條件時(shí)，若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則關(guān)于新的一組數(shù)據(jù)說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為3
B.若乙組數(shù)據(jù)的方差為5，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5
C.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5
D.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.[2024·南通模擬]某班共有48人，小明在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)是第5名，則小明的成績(jī)可能是( )
A.第9百分位數(shù) B.第10百分位數(shù)
C.第90百分位數(shù) D.第91百分位數(shù)
10.[2023·德州質(zhì)檢]PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo).如圖是某地4月1日到10日的PM2.5日均值(單位：μg/m3)的折線圖，則關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說(shuō)法正確的是( )
A.眾數(shù)為33 B.第70百分位數(shù)是33
C.中位數(shù)小于平均數(shù) D.前4天的方差小于后4天的方差
11.[2023·南通模擬]某學(xué)校高三年級(jí)有男生640人，女生360人.為獲取該校高三學(xué)生的身高信息，采用抽樣調(diào)查的方法統(tǒng)計(jì)樣本的指標(biāo)值(單位：cm)，并計(jì)算得到男生樣本的平均值為175，方差為36，女生樣本的平均值為165，方差為36，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若男、女樣本量分別為64，36，則總樣本的平均值為171.4
B.若男、女樣本量分別為64，36，則總樣本的方差為36
C.若男、女的樣本量都是50，則總樣本的平均值為170
D.若男、女的樣本量都是50，則總樣本的方差為61
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.[2023·淮南質(zhì)檢]近年來(lái)，我國(guó)肥胖人群的規(guī)模急速增長(zhǎng)，肥胖人群有很大的心血管安全隱患.目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)(BMI)來(lái)衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是BMI＝eq \f(體重（單位：千克）,身高2（單位：米）).我國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI＜18.5為偏瘦，18.5≤BMI＜24為正常，24≤BMI＜28為偏胖，BMI≥28為肥胖.為了解某公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，利用分層隨機(jī)抽樣得到15名員工的BMI數(shù)據(jù)如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1，則該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為_(kāi)_____________.
13.[2024·嘉興模擬]從某地抽取1 000戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～650 kW·h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示.若根據(jù)圖示估計(jì)得該樣本的平均數(shù)為322，則可以估計(jì)該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為_(kāi)_____.
14.[2024·周口聯(lián)考]現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，eq \(n，n，…，n，,\s\up6(,n個(gè)n))…，共200項(xiàng)，S(x)＝eq \(∑,\s\up6(200),\s\d4(i＝1)) (x－xi)2(xi是這一組數(shù)據(jù)的第i項(xiàng))，有以下結(jié)論：
①這組數(shù)據(jù)的極差為19；
②這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為14；
③這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13.5；
④S(13)＜S(14).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(參考公式：12＋22＋…＋n2＝eq \f(1,6)n(n＋1)(2n＋1))
百分位數(shù)及分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)、方差
1.D [∵12×75%＝9，∴該組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為eq \f(8＋y,2).故選D.]
2.C [設(shè)x1，x2，…，xn的均值為eq \(x,\s\up6(－))，
則2x1，2x2，…，2xn的均值為
eq \f(2x1＋2x2＋…＋2xn,n)＝2eq \(x,\s\up6(－))，
2x1，2x2，…，2xn的方差為
eq \f(1,n)[(2x1－2eq \(x,\s\up6(－)))2＋(2x2－2eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋
(2xn－2eq \(x,\s\up6(－)))2]
＝4×eq \f(（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2,n)
＝4×0.1＝0.4，故選C.]
3.B [健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間在30分鐘以下的比例為(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25分鐘以下的比例為85%－0.05×5＝60%，因此第70百分位數(shù)一定位于[25，30)內(nèi)，由25＋5×eq \f(0.7－0.6,0.85－0.6)＝27，可以估計(jì)健身運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是27分鐘.故選B.]
4.D [因?yàn)榘倜锥膛艿臅r(shí)間越短，成績(jī)?cè)胶?，所以從?shù)據(jù)的平均水平看，第一組數(shù)據(jù)的成績(jī)最好，故B錯(cuò)誤，D正確；方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，所以從數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況看，第三組數(shù)據(jù)的波動(dòng)最大，第一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)最小，故A和C錯(cuò)誤，故選D.]
5.D [因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，
其平均數(shù)和方差分別為eq \(x,\s\up6(－))，s2，
所以eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xi，
eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xi＝neq \(x,\s\up6(－))，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2]
＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2，eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝ns2，
所以eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(ω,\s\up6(－)))2＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))[(xi－eq \(x,\s\up6(－)))＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))]2
＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))[(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋2(xi－eq \(x,\s\up6(－)))(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))]
＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))2(xi－eq \(x,\s\up6(－)))·
(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))
＝ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))
＝ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))(eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xi－neq \(x,\s\up6(－)))＝ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2，
故選D.]
6.C [因?yàn)榧装嗥骄謹(jǐn)?shù)為eq \(x,\s\up6(－))甲＝70，乙班平均分?jǐn)?shù)為eq \(x,\s\up6(－))乙＝80，
所以兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)為
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(40×70＋60×80,40＋60)＝76，
所以兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為：
s2＝eq \f(40,40＋60)×[5＋(eq \(x,\s\up6(－))甲－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(60,40＋60)×[8＋(eq \(x,\s\up6(－))乙－eq \(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(40,40＋60)×[5＋(70－76)2]＋eq \f(60,40＋60)×[8＋(80－76)2]＝eq \f(154,5)＝30.8.
故選C.]
7.C [對(duì)于甲地，中位數(shù)為27 ℃，平均數(shù)為26 ℃，若5天氣溫的數(shù)據(jù)為21，26，27，28，28，則甲地沒(méi)有進(jìn)入夏季；
對(duì)于乙地，第60百分位數(shù)為24 ℃，眾數(shù)為22 ℃，5×60%＝3，則第60百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，若5天氣溫的數(shù)據(jù)為21，22，22，26，27，則乙地沒(méi)有進(jìn)入夏季；
對(duì)于丙地，最高氣溫為31 ℃，平均數(shù)為25 ℃，標(biāo)準(zhǔn)差為3 ℃，
設(shè)前面四個(gè)數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，x4(x1≤x2≤x3≤x4)，
則eq \f(1,5)[(x1－25)2＋(x2－25)2＋(x3－25)2＋(x4－25)2＋(31－25)2]＝32，
故(x1－25)2＋(x2－25)2＋(x3－25)2＋(x4－25)2＝9，所以(x1－25)2≤9，若x1＜22，則(x1－25)2＞9，這與(x1－25)2≤9矛盾，所以22≤x1≤x2≤x3≤x4，所以丙地肯定進(jìn)入夏季；
對(duì)于丁地，下四分位數(shù)為23 ℃，上四分位數(shù)為28 ℃，極差為7 ℃，由5×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，5×eq \f(3,4)＝eq \f(15,4)，得下四分位數(shù)為按從小到大排列的第2個(gè)數(shù)據(jù)，上四分位數(shù)為按從小到大排列的第4個(gè)數(shù)據(jù)，若5天氣溫的數(shù)據(jù)為21，23，22，28，28，則丁地沒(méi)有進(jìn)入夏季.故選C.]
8.B [設(shè)甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))1，方差為seq \\al(2,1)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))2，方差為seq \\al(2,2)，混合后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，方差為s2，則eq \(x,\s\up6(－))1＝3，seq \\al(2,1)＝5.
對(duì)于A，新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(6,6＋6)×3＋eq \f(6,6＋6)×3＝3，A正確；
對(duì)于B，由于不能確定乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
故由公式s2＝eq \f(6,12)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(6,12)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]可知無(wú)法確定新的一組數(shù)據(jù)方差，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，即eq \(x,\s\up6(－))2＝3，seq \\al(2,2)＝5，
所以eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(6,6＋6)×3＋eq \f(6,6＋6)×3＝3，
所以s2＝eq \f(6,12)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(6,12)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,2)(5＋02)＋eq \f(1,2)(5＋02)＝5，C正確；
對(duì)于D，因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，即eq \(x,\s\up6(－))2＝5，seq \\al(2,2)＝3，
所以eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(6,6＋6)×3＋eq \f(6,6＋6)×5＝4，
所以s2＝eq \f(6,12)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(6,12)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,2)(5＋1)＋eq \f(1,2)(3＋1)＝5，D正確；故選B.]
9.CD [將全班數(shù)學(xué)成績(jī)由低到高排列，則小明成績(jī)排在第44位，顯然AB錯(cuò)誤；
因?yàn)?8×90%＝43.2，48×91%＝43.68，所以第90百分位數(shù)和第91百分位數(shù)均為小明成績(jī).故選CD.]
10.AC [根據(jù)折線圖可知，日均值個(gè)數(shù)最多的是33，有兩個(gè)，故眾數(shù)為33，故A正確；
將日均值按從小到大的順序排列為：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，因?yàn)閕＝10×70%＝7為整數(shù)，則第70百分位數(shù)是
eq \f(33＋36,2)＝34.5，故B不正確；
中位數(shù)為eq \f(31＋33,2)＝32，
平均數(shù)為
eq \f(17＋23＋26＋30＋31＋33＋33＋36＋42＋128,10)＝39.9，
故C正確；
前4天的平均數(shù)為eq \f(36＋26＋17＋23,4)＝25.5，
方差為
eq \f(（36－25.5）2＋（26－25.5）2＋（17－25.5）2＋（23－25.5）2,4)
＝47.25，
后4天的平均數(shù)為eq \f(42＋31＋30＋33,4)＝34，
方差為
eq \f(（42－34）2＋（31－34）2＋（30－34）2＋（33－34）2,4)＝22.5，
前4天的方差大于后4天的方差，故D不正確.故選AC.]
11.ACD [若男、女樣本量分別為64，36，則總樣本的平均值為eq \f(175×64＋165×36,64＋36)＝171.4，
總樣本的方差為eq \f(64,100)×[36＋(175－171.4)2]＋eq \f(36,100)×[36＋(165－171.4)2]＝59.04，
故A正確，B錯(cuò)誤；
若男、女的樣本量都是50，則總樣本的平均值為eq \f(175×50＋165×50,50＋50)＝170，
總樣本的方差為eq \f(50,100)×[36＋(175－170)2]＋eq \f(50,100)×[36＋(165－170)2]＝61，故C，D正確；故選ACD.]
12.23.7 [15名員工的BMI數(shù)據(jù)由小到大排列為：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8，22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，
由15×70%＝10.5，所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第11個(gè)數(shù)23.7.]
13.350 [由題意可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x＋600y＋0.36＋0.9＋0.36＝\f(322,100)，,100（2y＋x＋0.001 8＋0.003＋0.000 6）＝1，))
解得x＝0.002 2，y＝0.001 2，由0.12＋0.18＋0.3＝0.6知，估計(jì)該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為350.]
14.3 [這一組數(shù)據(jù)有1個(gè)1，2個(gè)2，3個(gè)3，…，故出現(xiàn)n以前共有數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為1＋2＋…＋n－1，而1＋2＋…＋13＝91，1＋2＋…＋14＝105，故第100個(gè)數(shù)和第101個(gè)數(shù)均為14，中位數(shù)為14，故②正確；1＋2＋3＋…＋19＝190，1＋2＋3＋…＋20＝210，故最大的數(shù)有10個(gè)，數(shù)值為20，故極差為 20－1＝19，故①正確；eq \f(1,200)×(1×1＋2×2＋…＋19×19＋10×20)＝eq \f(1,200)×(eq \f(1,6)×19×20×39＋200)＝13.35，故③錯(cuò)誤；S(x)＝eq \(∑,\s\up12(200),\s\d4(i＝1)) (x－xi)2＝
eq \(∑,\s\up12(200),\s\d4(i＝1)) (x2－2xix＋xeq \\al(2,i))＝200x2－2(x1＋x2＋…＋x200)x＋xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,200)，這是關(guān)于x的二次函數(shù)，且開(kāi)口向上，x＝eq \f(x1＋x2＋…＋x200,200)＝13.35為二次函數(shù)的對(duì)稱軸，故S(13)＜S(14)，故④正確.故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3.]
班級(jí)
人數(shù)
平均分?jǐn)?shù)
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8
甲地
中位數(shù)為27 ℃，平均數(shù)為26 ℃
乙地
第60百分位數(shù)為24 ℃，眾數(shù)為22 ℃
丙地
最高氣溫為31 ℃，平均數(shù)為25 ℃，標(biāo)準(zhǔn)差為3 ℃
丁地
下四分位數(shù)為23 ℃，上四分位數(shù)為28 ℃，極差為7 ℃

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