2023-2024學(xué)年河南省鄭州八中八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份2023-2024學(xué)年河南省鄭州八中八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析），共23頁。

A．河南大學(xué)B．鄭州大學(xué)
C．河南農(nóng)業(yè)大學(xué)D．河南工業(yè)學(xué)校
2．（3分）滿足下列條件的三角形中，不能判斷三角形為直角三角形的是（ ）
A．三角形三邊長為7，24，25
B．三角形的三內(nèi)角度數(shù)之比為3：4：5
C．在△ABC中，∠A＝∠B+∠C
D．三角形的三邊之比為1：：
3．（3分）下列不等式中不成立的是（ ）
A．若x＞y，則﹣2x＜﹣2yB．若x＞y＞0，則x2＞y2
C．若x＞y，則D．若x+1＜y+1，則x＜y
4．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+b的位置如圖所示，則不等式kx+b＞1的解集為（ ）
A．x＜1B．x＜﹣2C．x＞0D．x＞﹣2
6．（3分）如圖，△ABC沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距離為7，則陰影部分的面積為（ ）
A．12B．16C．28D．24
7．（3分）如圖，兔子的三個洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在（ ）
A．三個角的角平分線的交點(diǎn)
B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C．三角形三條高的交點(diǎn)
D．三角形三條中線的交點(diǎn)
8．（3分）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
9．（3分）如圖，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下結(jié)論：
①AD∥BC；
②∠ACB＝2∠ADB；
③∠BDC＝∠BAC；
④△ABD和△ACD都是等腰三角形．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
10．（3分）如圖，邊長為2的正方形AOBC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A1OB1C1，兩圖疊成一個“蝶形風(fēng)箏”（如圖所示的陰影部分），則這個風(fēng)箏的面積為（ ）
A．B．C．D．8
二.填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）點(diǎn)A（4，2）先向右平移4個單位，再向下平移1個單位后的坐標(biāo)為 ．
12．（3分）若一個三角形的三邊長分別為5，12，13，則此三角形的最長邊上的高為 ．
13．（3分）某次知識競賽共有20道題，每答對一道題得10分，答錯或不答都扣6分．如果得分要超過95分，設(shè)小新答對了x道題，依題意可列不等式為 ．
14．（3分）如果關(guān)于x的不等式組有且僅有5個整數(shù)解，則a的取值范圍是 ．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，連接DE．將△ADE繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°），點(diǎn)A，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，GF與AC交于點(diǎn)P．當(dāng)直線GF與△ABC的一邊平行時，CP的長為 ．
三.解答題（8小題，共75分）
16．（8分）解不等式或者不等式組：
（1）3x﹣2≥1；
（2）．
17．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D；
②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點(diǎn)E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．
18．（10分）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)A（3，1），B（4，3），C（2，4），按要求回答問題：
（1）將△ABC向左平移7個單位，得到△A1B1C1．
①畫出△A1B1C1圖形；
②求線段AB平移中掃過的面積；
（2）將△ABC以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB2C2．
①畫出△AB2C2圖形；
②寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．
19．（10分）（1）如圖1，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．
求證：AB＝AC．
證明：
（2）如圖2，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AB＝AC．
求證：AD∥BC．
證明：
20．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．
（1）若∠A＝35°，求∠CBE的度數(shù)；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面積．
21．（10分）某文具商店購買了兩種類型文具A和文具B銷售，若購A文具5個，B文具3個，需要105元：若購進(jìn)A文具8個，B文具6個，需要186元．
（1）求文具A，文具B的進(jìn)價分別是多少元？
（2）若每個文具A的售價為20元，每個文具B的售價為21元．結(jié)合市場需求，該商店決定購進(jìn)文具A和文具B共80個，且購進(jìn)文具B的數(shù)量不少于文具A的數(shù)量的．且文具A和文具B全部銷售完時，求銷售的最大利潤及相應(yīng)的進(jìn)貨方案．
22．（6分）歐幾里得在《原本》中證明勾股定理的大致過程如下：
上面證明中，沒有給出“a2＝S長方形MNIB”的證明過程，只用兩個字“同理”一筆帶過，請你將這個證明過程補(bǔ)充上．
23．（13分）如圖1，△ABC、△DCE均為等邊三角形，當(dāng)B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上時，連接BD、AE交于點(diǎn)F，易證：△ACE≌△BCD．聰明的小明將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)了一些不變的結(jié)論，讓我們一起開啟小明的探索之旅！
【探究一】如圖2，當(dāng)B、C、E三點(diǎn)不在同一條直線上時，小明發(fā)現(xiàn)∠BFE的大小沒有發(fā)生變化，請你幫他求出∠BFE的度數(shù)．
【探究二】閱讀材料：在平時的練習(xí)中，我們曾探究得到這樣一個正確的結(jié)論：兩個全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等．例如：如圖3，如果△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC、△A′B′C′的邊BC、B′C′上的高，那么容易證明AD＝A′D′．小明帶著這樣的思考又有了新的發(fā)現(xiàn)：如圖4，若連接CF，則CF平分∠BFE，請你幫他說明理由．
【探究三】在探究二的基礎(chǔ)上，小明又進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，線段AF、BF、CF之間還存在一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．
【探究四】在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點(diǎn)F．靈活應(yīng)用小明的探究結(jié)果，請直接寫出圖5中線段AF、BF、CF之間存在的數(shù)量關(guān)系．
2023-2024學(xué)年河南省鄭州八中八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（每小題3分，共30分）
1．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．
【解答】解：選項A、B、C中的圖形均不能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項D能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵是找出對稱中心．
2．【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理逐個判斷得結(jié)論．
【解答】解：A．∵72+242＝49+576＝625＝252，根據(jù)勾股定理的逆定理，
可判斷該三角形為直角三角形；
B．∵三個角的度數(shù)比為3：4：5，所以這個三角形三個角的度數(shù)為：45°、60°、75°，
∴該三角形不是直角三角形；
C．∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，該三角形為直角三角形；
D．∵三角形三邊的比為1：：，則三角形的三邊長分別為a、a、a，
由于a2+（a）2＝3a2＝（a）2，
∴該三角形為直角三角形．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的判斷，掌握三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
3．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對各選項進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、若x＞y，則﹣2x＜﹣2y，成立，不符合題意；
B、若x＞y＞0，則x2＞y2，成立，不符合題意；
C、若x＞y，則＞，原變形錯誤，符合題意；
D、若x+1＜y+1，則x＜y，成立，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是不等式的性質(zhì)，熟知不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變是解題的關(guān)鍵．
4．【分析】根據(jù)解不等式的方法，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集的公共部分是不等式組的解集，可得答案．
【解答】解：，
解得，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集的公共部分是不等式組的解集．
5．【分析】從圖象上得到函數(shù)的增減性及與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即能求得不等式kx+b＞1的解集．
【解答】解：直線y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且函數(shù)值y隨x的增大而增大，
∴不等式kx+b＞1的解集是x＞0．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)真體會一次函數(shù)與一元一次方程及一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系．
6．【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四邊形ABEH＝S陰即可解決問題．
【解答】解：∵平移距離為7，
∴BE＝7，
∵AB＝6，DH＝4，
∴EH＝6﹣4＝2，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四邊形ABEH＝S陰，
∴陰影部分的面積為＝×（6+2）×7＝28．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等，要熟練掌握．
7．【分析】用線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：獵狗到△ABC三個頂點(diǎn)的距離相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC的三條邊垂直平分線的交點(diǎn)．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，以及三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握以上性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
8．【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延長AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．
9．【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正確；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②正確；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∠BDC＝∠BAC，故③正確；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB，
∴AD＝CD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠ABC＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形．
故④正確．
綜上所述，正確的有4個．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線定義，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定的難度．
10．【分析】用兩個正方形面積和減去重疊部分面積即可，重疊部分可看作兩個全等的直角三角形．
【解答】解：設(shè)CD，C′B′交于E點(diǎn)，連接AE，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AOE≌△AB′E，
∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′＝30°，
∴∠B′AO＝90°﹣∠BAB′＝60°，
∴∠OAE＝30°，
在Rt△AOE中，OE＝AO?tan30°＝，
∴S四邊形AOEB′＝2×S△AOE＝2××2×＝，
∴S風(fēng)箏面積＝2S正方形ABCO﹣S四邊形AOEB′＝8﹣．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，解直角三角形，四邊形面積計算等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求陰影部分面積′，屬于中考?？碱}型．
二.填空題（每小題3分，共15分）
11．【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)是（4+4，2﹣1），進(jìn)而得到答案．
【解答】解：點(diǎn)A（4，2）先向右平移4個單位，再向下平移1個單位后的坐標(biāo)為（4+4，2﹣1），
即：（8，1）．
故答案為：（8，1）．
【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化，關(guān)鍵是掌握橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．
12．【分析】利用勾股定理的逆定理，證明三角形是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出三角形的最長邊上的高．
【解答】解：∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴該三角形是直角三角形，
∴此三角形的最長邊上的高＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形面積公式，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．
13．【分析】根據(jù)題意表示出小新的得分，進(jìn)而得出不等式即可．
【解答】解：設(shè)小新答對了x道題，依題意可列不等式為：10x﹣6（20﹣x）＞95．
故答案為：10x﹣6（20﹣x）＞95．
【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，正確得出不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．
14．【分析】根據(jù)該不等式組僅有5個整數(shù)解，可得答案．
【解答】解：解不等式組，
得，
∵關(guān)于x的不等式組有且僅有5個整數(shù)解，即6，5，4，3，2，
∴
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組，利用不等式的解得出關(guān)于a的不等式是解題關(guān)鍵．
15．【分析】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合直線GF與△ABC的一邊平行，分兩類：當(dāng)GF∥AB時；當(dāng)GF∥BC時；兩種情況討論求解即可得到答案，
【解答】解：根據(jù)題意，將△ADE繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）得到△GDF，即△GDF≌△ADE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5．
∵點(diǎn)D，E分別是邊AB．AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴AD＝AB＝，AE＝AC＝2．DE＝BC＝，
當(dāng)GF∥AB時，如圖所示：
∴∠ADG＝∠DGP，∠A＝∠GPA，
∵△GDF≌△ADE，
∴∠A＝∠DGP，
∴△MDA和△MPG均為等腰三角形，且MD＝MA．MP＝MG，
∴AP＝AM+MP＝MD+MG＝DG，
由△GDF≌△ADE得到DG＝AD＝，則CP＝AC﹣AP＝4﹣＝，
當(dāng)GF∥BC時，如圖所示：
∵DE∥BC，
∴GF∥DE，
∵∠C＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴EP∥DF，
∴四邊形DFPE是平行四邊形，
∵DE＝DF，∠DFP＝90°，
∴?DFPE是正方形，
∴EP＝DF＝DE＝，
∵EC＝AC＝2，
∴PC＝EC﹣EP＝＝，
解得PC＝，
綜上所述，CP的長為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評】本題考查求旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)、勾股定理、中點(diǎn)定義、中位線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
三.解答題（8小題，共75分）
16．【分析】（1）先移項，再合并同類項，系數(shù)化1，即可作答．
（2）分別算出每個不等式，再取它們的公共解集，即可作答．
【解答】解：（1）3x﹣2≥1，
3x≥1+2，
3x≥3，
x≥1；
（2），
去括號，去分母，得，
解得，
即6＜x≤9．
【點(diǎn)評】本題考查了解不等式或者不等式組，掌握解不等式是關(guān)鍵．
17．【分析】（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線DF，交CB于D，交AB于F，連接AD；作∠CAD的角平分線交BC于E，點(diǎn)D，射線AE即為所求．
（2）首先證明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D，射線AE即為所求．
（2）∵DF垂直平分線段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
18．【分析】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．
②直接求出平行四邊形ABB1A1的面積即可．
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．
②由圖可得答案．
【解答】解：（1）①如圖，△A1B1C1即為所求．
②∵平行四邊形ABB1A1的面積為7×2＝14，
∴線段AB平移中掃過的面積為14．
（2）①如圖，△AB2C2即為所求．
②由圖可得，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（0，0）．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、平移變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
19．【分析】（1）根據(jù)AD∥BC得出∠1＝∠B，∠2＝∠C，再由∠1＝∠2可知∠B＝∠C，據(jù)此得出結(jié)論；
（2）根據(jù)AB＝AC得出∠B＝∠C，由三角形外角的性質(zhì)可知∠1+∠2＝∠B+∠C，再由∠1＝∠2得出∠B＝∠1，故可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CAE是△ABC的外角，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠1，
∴AD∥BC．
【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．
20．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝BE，求出∠EBA＝∠A＝35°，再求出答案即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出BC，求出AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出△ABC的面積即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠EBA＝55°﹣35°＝20°；
（2）在Rt△ECB中，∠C＝90°，EC＝1，BE＝AE＝3，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AE+EC＝3+1＝4，
∴△ABC的面積是＝＝4．
【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識點(diǎn)，能熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
21．【分析】（1）設(shè)文具A，文具B的進(jìn)價分別是x元，y元，根據(jù)購A文具5個，B文具3個，需要105元：若購進(jìn)A文具8個，B文具6個，需要186元，列出方程組進(jìn)行求解即可；
（2）是購買文具A的數(shù)量為a個，根據(jù)購進(jìn)文具A和文具B共80個，且購進(jìn)文具B的數(shù)量不少于文具A的數(shù)量的列出不等式求出a的取值范圍，設(shè)總利潤為w，列出一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)文具A，文具B的進(jìn)價分別是x元，y元，由題意，得：
，
解得：，
答：文具A，文具B的進(jìn)價分別是12元和15元；
（2）設(shè)購進(jìn)文具A的數(shù)量為a個，則購進(jìn)文具B（80﹣a）個，由題意，得：
，
解得：a≤48，
設(shè)總利潤為w，由題意，得：w＝（20﹣12）a+（21﹣15）（80﹣a）＝2a+480，
∴w隨a的增大而增大，
∵a≤48，
∴當(dāng)a＝48時，此時80﹣a＝32，w有最大值為576；
答：當(dāng)購進(jìn)文具A的數(shù)量為48個，文具B的數(shù)量為32個時，利潤最大為576元．
【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意是關(guān)鍵．
22．【分析】如圖，分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB，ACDE，CBFG，如圖，連接AF，CI，過點(diǎn)C作AB的垂線，分別交AB和HI于點(diǎn)M，N．可證得△FBA≌△CBI（SAS），再根據(jù)圖形的面積即可證得結(jié)論．
【解答】證明：如圖（1），在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB，ACDE，CBFG（如圖（2）），連接EB，CH過點(diǎn)C作AB的垂線，分別交AB和HI于點(diǎn)M，N．
∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°+∠CAB，AB＝AH，
∴△EAB≌△CAH（SAS），
又∵S正方形ACDE＝2S△EAB，
S長方形AHNM＝2S△CAH，
∴b2＝S長方形AHNM，
如圖，分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB，ACDE，CBFG，如圖，連接AF，CI，過點(diǎn)C作AB的垂線，分別交AB和HI于點(diǎn)M，N．
∵BF＝CB，∠FBA＝∠CBI＝90°+∠CBA，AB＝BI，
∴△FBA≌△CBI（SAS），
又∵S正方形BCGF＝2S△FBA，
S長方形BINM＝2S△CBI，
∴a2＝S長方形BINM，
∴c2＝a2+b2
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積，矩形面積，正方形面積等，證明三角形全等，已知的兩對邊對應(yīng)相等時，關(guān)鍵是找到夾角相等．
23．【分析】【探究一】先證明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠CBD＝∠CAE，再根據(jù)對頂角相等，得出∠AFB＝∠ACB＝60°，進(jìn)而可求得∠BFE的度數(shù)．
【探究二】過點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為點(diǎn)M，N，可證CM＝CN，根據(jù)CM⊥BD，CN⊥AE，可得CF平分∠BFE．
【探究三】在BD上取一點(diǎn)H，使得BH＝AF，先證明△BCH≌△ACF（SAS），推出CH＝CF，根據(jù)探究一、二得：∠BFC＝60°，推出△HCF為等邊三角形，通過等量代換即可得結(jié)論．
【探究四】過點(diǎn)C作CG⊥CF交BF于點(diǎn)G，先后證明△BCE≌△ACD（SAS），△BCG≌△ACF（AAS），推出BG＝AF，CG＝CF，推出△CFG是等腰直角三角形，通過等量代換即可得結(jié)論．
【解答】【探究一】解：如圖2，AC和BD交于點(diǎn)P．
．
∵△ABC、△DCE均為等邊三角形．
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中．
．
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠CBD＝∠CAE．
又∵∠APF＝∠BPC．
∴∠AFB＝∠ACB＝60°．
∴∠BFE＝120°．
【探究二】證明：如圖4，過點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為點(diǎn)M，N，
．
由探究一得：
△BCD≌△ACE（SAS）．
∴CM＝CN．
又∵CM⊥BD，CN⊥AE．
∴CF平分∠BFE．
【探究三】解：如圖在BD上取一點(diǎn)H，使得BH＝AF．
．
由探究一得：△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠CAE＝∠CBD．
在△BCH和△ACF中．
．
∴△BCH≌△ACF（SAS）．
∴CH＝CF．
由探究一、二得：∠BFC＝60°．
∴△HCF為等邊三角形．
∴CF＝CH＝AF．
∴BF＝BH+HF＝AF+CF．
即BF＝AF+CF．
【探究四】解：如圖5，過點(diǎn)C作CG⊥CF交BF于點(diǎn)G．
．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝∠ACD＝90°﹣∠ACE．
又BC＝AC，EC＝DC．
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠CBE＝∠CAD．
∵GC⊥CF．
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°．
又∠ACB＝∠BCG+∠ACG＝90°．
∴∠BCG＝∠ACF．
又BC＝AC．
∴△BCG≌△ACF（AAS）．
∴BG＝AF，CG＝CF．
∴△CFG是等腰直角三角形．
∴GF＝．
∵BF＝BG+GF．
∴BF＝AF+．
【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形等知識，理解題意，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
如圖（1），在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB，ACDE，CBFG（如圖（2）），連接EB，CH過點(diǎn)C作AB的垂線，分別交AB和HI于點(diǎn)M，N．
∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°+∠CAB，AB＝AH
∴△EAB≌△CAH（SAS）
又∵S正方形ACDE＝2S△EAB，
S長方形AHNM＝2S△CAH
∴b2＝S長方形AHNM
同理a2＝S長方形MNIB
∴c2＝a2+b2