1.已知直線l的一個(gè)方向向量為p=(sinπ6,csπ6)，則直線l的傾斜角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 4π3
2.M，N分別為直線3x?4y?12=0與6x?8y+5=0上任意一點(diǎn)，則|MN|最小值為( )
A. 2910B. 295C. 175D. 1710
3.已知A(?1,0)、B(3,6)，則以AB為直徑的圓的一般方程為( )
A. x2+y2?2x?6y+3=0B. x2+y2?2x?6y?3=0
C. x2+y2+2x?6y+3=0D. x2+y2+2x?6y?3=0
4.圓C1：(x?2)2+(y?4)2=9與圓C2：x2+y2?10x+9=0的公切條數(shù)為( )
A. 2條B. 1條C. 3條D. 4條
5.已知雙曲線x2?y2=2的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右半支上，點(diǎn)Q(0,2)，則|PQ|+|PF1|的最小值為( )
A. 2 2B. 4C. 6D. 4 2
6.若直線l：y=kx+3?k與曲線C：y= 1?x2恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. (43,+∞)B. (43,32]C. (0,43)D. (43,32)
7.若圓C1：(x+1)2+(y?2)2=r2(r>0)上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線l：4x?3y?10=0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為( )
A. (3,5)B. (4,6)C. [225,325]D. [225,6]
8.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為 2的圓，圓心到傘柄底端距離為 2，陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子(春分時(shí)，北京的陽光與地面夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為( )
A. 2? 3B. 2?1C. 3?1D. 22
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知拋物線C1：y2=mx與雙曲線C2：x2?y23=1有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P(2,y0)在拋物線C1上，則下列結(jié)論正確的有( )
A. 雙曲線C2的離心率為2B. 雙曲線C2的漸近線為y=± 33x
C. m=8D. 點(diǎn)P到拋物線C1的焦點(diǎn)的距離為4
10.已知直線l：kx?y+k=0，圓C：x2+y2?6x+5=0，P(x0,y0)為圓C上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A. x02+y02的最大值為5B. y0x0的最大值為2 55
C. 直線l與圓C相切時(shí)，k=± 33D. 圓心C到直線l的距離最大為4
11.已知橢圓C：x24+y2b2=1(2>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為B，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，則下列描述正確的有( )
A. 若△PF1F2的周長為6，則b= 3
B. 若當(dāng)∠F1PF2=π3時(shí)，△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為 33，則b= 3
C. 若存在P點(diǎn)，使得PF1⊥PF2，則b∈[ 2,2)
D. 若|PB|的最大值為2b，則b∈[ 2,2)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(?4,0)、B(4,0)距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程為______．
13.設(shè)F為拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為______．
14.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：過圓E：x2+y2=a2?b2(a>b>0)上任意一點(diǎn)作雙曲線C：x2a2?y2b2=1的兩條切線，這兩條切線互相垂直，我們通常把這個(gè)圓E稱作雙曲線C的蒙日圓.過雙曲線W：x23?y2=1的蒙日圓上一點(diǎn)P作W的兩條切線，與該蒙日圓分別交于A，B兩點(diǎn)，若∠PAB=30°，則△PAB的周長為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
光線自點(diǎn)P(?3,4)射到點(diǎn)(2,0)后被x軸反射．
(1)求反射光線所在的直線的方程；
(2)求過點(diǎn)(4,2)且與入射光線垂直的直線方程.(請用直線的一般方程表達(dá)解題結(jié)果)
16.(本小題15分)
市體育館的屋蓋網(wǎng)殼由兩個(gè)大小不同的雙層橢球殼相貫而成，其屋蓋網(wǎng)殼長軸總尺寸約97米，短軸總尺寸約77米，短軸長與長軸長的平方比接近黃金比0.618.我們把短軸長與長軸長的平方比為 5?12的橢圓稱為黃金橢圓.現(xiàn)有一黃金橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)其中A，F(xiàn)分別為其左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)．
(1)求黃金橢圓C的離心率；
(2)某同學(xué)在研究黃金橢圓的性質(zhì)時(shí)猜測△ABF可能為直角三角形，試判斷該同學(xué)的猜測是否正確，并說明理由．
17.(本小題15分)
已知圓C1：x2+y2+6x?10y+25=0與圓C2：x2+y2?8y+7=0交于A，B兩點(diǎn)，圓C經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且圓心在直線4x?3y?3=0上．
(1)求|AB|；
(2)求圓C的方程．
18.(本小題17分)
已知雙曲線C：x24?y2=1，M(m,2)，斜率為k的直線l過點(diǎn)M．
(1)若m=0，且直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；
(2)雙曲線C上有一點(diǎn)P，∠F1PF2的夾角為120°，求三角形PF1F2的面積．
19.(本小題17分)
直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x=ty+1表示過點(diǎn)(1,0)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．
(1)若圓C1：x2+y2=1是直線族mx+ny=1(m,n∈R)的包絡(luò)曲線，求m，n滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)P(x0,y0)不在直線族Ω：(2a?4)x+4y+(a?2)2=0(a∈R)的任意一條直線上，求y0的取值范圍和直線族Ω的包絡(luò)曲線E；
(3)在(2)的條件下，過曲線E上A，B兩點(diǎn)作曲線E的切線l1，l2，其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)C(0,1)，若A，B，C三點(diǎn)不共線，探究∠PCA=∠PCB是否成立？請說明理由．
參考答案
1.B
2.A
3.B
4.A
5.D
6.B
7.A
8.A
9.ACD
10.BCD
11.ABD
12.x225+y29=1
13.16 33
14.3 2+ 6
15.解：(1)設(shè)入射點(diǎn)為Q，由P(?3,4)、Q(2,0)，可得kPQ=0?42+3=?45，
所以反射光線所在的直線的斜率k=?kPQ=45，
可得反射光線所在的直線為y=45(x?2)，即4x?5y?8=0．
(2)與入射光線垂直的直線，其斜率k1=?1kPQ=54，
結(jié)合點(diǎn)(4,2)在垂線上，
可知所求垂線的方程為y?2=54(x?4)，即5x?4y?12=0．
16.解：(1)由題意，設(shè)橢圓C的焦距為2c，則b2a2= 5?12，
又b2=a2?c2，得a2?c2a2= 5?12，即1?e2= 5?12，e2=3? 52=( 5?12)2，所以e= 5?12．
(2)正確．理由如下；
設(shè)橢圓中心為O，由kAB?kBF=ba??bc=?b2ac=?b2a a2?b2=?1 a4?a2b2b4=?1 (a2b2)2?a2b2=?1 (2 5?1)2?2 5?1=?1
所以kAB?kBF=?1，即∠ABF=π2，
所以△ABF是直角三角形．
17.解：(1)因?yàn)閳AC1：x2+y2+6x?10y+25=0與C2：x2+y2?8y+7=0交于A，B兩點(diǎn)，
所以兩圓方程作差得直線AB的方程為3x?y+9=0，
又圓C2：x2+(y?4)2=9，
所以點(diǎn)C2到直線AB的距離d=|?4+9| 9+1= 102，
所以|AB|=2 9?( 102)2= 26；
(2)C1：(x+3)2+(y?5)2=9，圓C2：x2+(y?4)2=9，
則C1(?3,5)，C2(0,4)，
則kC1C2=?13，
則直線C1C2的方程為y=?13x+4，
即x+3y?12=0，
由x+3y?12=04x?3y?3=0，
解得x=3，y=3，
所以C(3,3)，
所以點(diǎn)C到直線AB的距離d1=|3×3?3+9| 9+1=3 102，
設(shè)圓C的半徑為r，
所以r= d12+(|AB|2)2= 29，
所以圓C的方程為(x?3)2+(y?3)2=29．
18.解：(1)當(dāng)m=0時(shí)，M(0,2)，
則直線l的方程為y=kx+2，
當(dāng)k≠±12時(shí)，聯(lián)立方程組x24?y2=1y=kx+2，
得(1?4k2)x2?16kx?20=0，
由直線和雙曲線相切的條件，可得Δ=(?16k)2?4?(1?4k2)?(?20)=0，
解得k=± 52；
雙曲線C：x24?y2=1的漸近線為y=±12x，
所以當(dāng)k=±12時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k=±12或k=± 52；
(2)由雙曲線C：x24?y2=1，
則F1(? 5,0)，F(xiàn)2( 5,0)，|F1F2|=2 5，
又點(diǎn)P在雙曲線上，即|PF1|?|PF2|=4，即(|PF1|?|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2?2|PF1|?|PF2|=16，
在△PF1F2中，由余弦定理cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2?|F1F2|22|PF1|?|PF2|，
即?12=16+2|PF1|?|PF2|?202|PF1|?|PF2|，
解得|PF1|?|PF2|=43，
所以△PF1F2的面積S△PF1F2=12|PF1|?|PF2|?sin∠F1PF2=12?43? 32= 33．
19.解：(1)由定義可知，mx+ny=1與x2+y2=1相切，
則圓的圓心C1(0,0)到直線mx+ny=1的距離等于1，
則d=1 m2+n2=1，即m2+n2=1；
(2)點(diǎn)P(x0,y0)不在直線族Ω：(2a?4)x+4y+(a?2)2=0(a∈R)的任意一條直線上，
所以無論a取何值時(shí)，(2a?4)x0+4y0+(a?2)2=0無解，
將(2a?4)x0+4y0+(a?2)2=0整理成關(guān)于a的一元二次方程：a2+(2x0?4)a+(4+4y0?4x0)=0，
若該方程無解，則Δ=(2x0?4)2?4(4+4y0?4x0)x024，
猜測直線族Ω的包絡(luò)曲線E為y=x24，理由如下：
在y=x24上任取一點(diǎn)Q(x1,x124),y=x24在該點(diǎn)處的切線斜率為k=x12，
于是可以得到y(tǒng)=x24在Q(x1,x124)點(diǎn)處的切線方程為y=x12x?x124，即?2x1x+4y+x12=0，
令直線族Ω：(2a?4)x+4y+(a?2)2=0中2a?4=?2x1，則直線為?2x1x+4y+x12=0，
所以該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對任意a∈R，(2a?4)x+4y+(a?2)2=0都是拋物線在點(diǎn)(2?a,(2?a)24)處的切線，
所以直線族Ω的包絡(luò)曲線E為y=x24；
(3)如圖，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AA′，BB′，連接A′P，B′P，

因?yàn)閗PA=y′|x=xA=12xA，又A′(xA,?1)，C(0,1)，
所以kCA′=?2xA，顯然kPA?kCA′=?1，
所以AP⊥A′C，又由拋物線定義得AA′=AC，
故PA為線段A′C的中垂線，得到PA′=PC，
即∠PA′A=∠PCA，同理可知∠PB′B=∠PCB,PB′=PC，
所以PA′=PC=PB′，即∠PA′B′=∠PB′A′，
則∠PA′A=∠PA′B′+90°=∠PB′A′+90°=∠PB′B，
所以∠PCA=∠PCB成立．

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