1.直線x+y+1=0的傾斜角是( )
A. ?π4B. π4C. π2D. 3π4
2.已知雙曲線x2a2?y2=1(a>0)的漸近線與圓(x?2)2+y2=1相切，則a的值是( )
A. 3B. 33C. 1D. 5
3.在四面體OABC中記OA=a，OB=b，OC=c，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則MN=( )
A. 12a+12b+12c
B. ?12a+12b+12c
C. 12a?12b+12c
D. 12a+12b?12c
4.已知直線l的一個方向向量是a=(?1,2,1)，平面α的一個法向量是n=(1,1,?1)，則l與α的位置關(guān)系是( )
A. l⊥αB. l//αC. l與α相交但不垂直D. l//α或l?α
5.若直線l與圓C1：x2+y2?4y+3=0相切，且點(diǎn)(3,?2)到直線l的距離為3，則這樣的直線的條數(shù)為( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6.設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，A為其右頂點(diǎn)，直線y=1與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若∠MAN=90°，則雙曲線C的離心率為( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 2
7.已知圓C過點(diǎn)A(3,2)，B(0,?1)，設(shè)圓心C(a,b)，則a2+b2的最小值為( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
8.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別F1，F(xiàn)2，M是橢圓上一點(diǎn)，直線MF2與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N，若MF1?NF1=0，且|MF2|：|NF2|=2：3，則橢圓的離心率為( )
A. 33B. 12C. 55D. 66
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x29+y25=1的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. △PF1F2的周長為10B. △PF1F2面積的最大值為2 5
C. 橢圓C的焦距為6D. 橢圓C的離心率為49
10.在三棱錐P?ABC中，△PAC為邊長為2的正三角形，AB=2，∠BAC=90°，設(shè)二面角P?AC?B的大小為α，∠PAB=β，G為△PBC的重心，則下列說法正確的是( )
A. 若α=30°，則PB= 2
B. 若PB= 14，則a=150°
C. 若α=90°，則PB與AC所成的角為60°
D. 若β=90°，則AG=43
11.已知曲線C：x2+y2m?2x=0(m∈N?)，則下列說法正確的是( )
A. 0≤x≤2
B. 曲線C關(guān)于直線x=1對稱
C. 曲線C圍成的封閉圖形的面積不大于π
D. 曲線C圍成的封閉圖形的面積隨m的增大而增大
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若圓C：(x?2)2+(y+3)2=4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax+y?1=0對稱，則a的值為______．
13.已知點(diǎn)A(0,1,1)，B(0,0,1)，C(1,1,0)，則點(diǎn)A到直線BC的距離是______．
14.過橢圓x27+y2=1上一點(diǎn)P作圓C：x2+(y?3)2=1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|AB|?|PC|最大時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知直線l：2x?y+2=0，圓C：(x?3)2+y2=5．
(1)求與直線l平行且與圓C相切的直線方程；
(2)設(shè)直線l1⊥l，且l1與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4 305，求直線l1的方程．
16.(本小題15分)
設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2，分別是C的左、右焦點(diǎn)，A是C左支上一點(diǎn)，且AF1與x軸垂直，直線AF2與C的另一個交點(diǎn)為B．
(1)若直線AB的傾斜角為3π4，求C的離心率；
(2)若直線AB在y軸上的截距為2，且|AB|=3|F2B|，求a，b．
17.(本小題15分)
如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AA1上，且AG=12GA1．
(1)證明：D1，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
(2)設(shè)平面D1GEF與棱CC1的交點(diǎn)為H，求D1H與平面D1ABC1所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
球面距離在地理學(xué)、導(dǎo)航系統(tǒng)、信息技術(shù)等多個領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.球面距離的定義：球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，即經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓(經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓)在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度.這個弧長就被稱作兩點(diǎn)的球面距離．
(1)在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1(底面為正方形的直棱柱)中，AB=1，AA1= 2，求頂點(diǎn)A，B在該正四棱柱外接球上的球面距離．
(2)如圖1，在直角梯形ABCD中，BC//AD，∠BCD=90°，BC=12AD=1，DC= 3.現(xiàn)將△ABD沿邊BD折起到P，如圖2，使得點(diǎn)P在底面BCD的射影H在CD上．
①求點(diǎn)P到底面BCD的距離；
②設(shè)棱錐P?BCD的外接球?yàn)榍騉，求P，C兩點(diǎn)在球O上的球面距離．
參考數(shù)據(jù)：cs27π100=23，cs47π100=111．
19.(本小題17分)
在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0, 3)，C(2, 3)，D(0,? 3)，點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)Q在線段AC上，且OPOA=CQCA=t，設(shè)直線BQ與DP交于點(diǎn)M．
(1)證明：當(dāng)t變化時，點(diǎn)M始終在某個橢圓W上運(yùn)動，并求出橢圓W的方程．
(2)過點(diǎn)E(4,0)作直線與橢圓W交于S，T不同的兩點(diǎn)，再過點(diǎn)F(1,0)作直線ST的平行線與橢圓W交于G，H不同的兩點(diǎn)．
①證明：|ES|?|ET||FG|?|FH|為定值．
②求△EGH面積的取值范圍．
參考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.A
6.C
7.B
8.C
9.AB
10.ABD
11.ABC
12.2
13. 63
14.?12
15.解：(1)設(shè)直線的方程為2x?y+a=0，圓心C(3,0)，
因?yàn)橹本€與圓C相切，所以圓心C到直線的距離d1=|2×3?0+a| 22+12=r= 5，
則|a+6|=5，得a=?1或a=?11，
故直線的方程為2x?y?1=0或2x?y?11=0；
(2)設(shè)直線l1的方程為x+2y+b=0，
圓心C到直線l1的距離為d，則d= r2?(|AB|2)2= 55，
所以|3+0+b| 5= 55，得|b+3|=1，b=?2或?4，
所以直線l1的方程為x+2y?2=0或x+2y?4=0．
16.解：(1)設(shè)F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
因AF1與x軸垂直，設(shè)A(?c,y0)(y0>0)，
則c2a2?y02b2=1，可得A(?c,b2a)，又F2(c,0)，
則kAB=b2a?2c=tan3π4=?1，即b2=2ac，
即c2?a2=2ac，又e=ca，
所以e2?2e?1=0，解得：e=1+ 2或e=1? 2(舍)，
即C的離心率為1+ 2；
(2)如圖，設(shè)AB與y軸交點(diǎn)為C，則|OC|=2，

因O為F1，F(xiàn)2中點(diǎn)，AF1與x軸垂直，
則AF1//CO，C為AF2中點(diǎn)，
則由中位線定理可得|AF1|=2|OC|=4，
因|AB|=3|F2B|，設(shè)|F2B|=t，
則|AF2|=4t，|AB|=3t,|F1F2|= 16t2?16，
所以|AF2|?|AF1|=4t?4=|BF1|?|BF2|，則|BF1|=5t?4，
因A，B，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，則∠ABF1+∠F2BF1=π，
所以cs∠ABF1+cs∠F2BF1=0，
由余弦定理得：cs∠ABF1+cs∠F2BF1
=|AB|2+|BF1|2?|AF1|22|AB|?|BF1|+|BF2|2+|BF1|2?|F1F2|22|BF2|?|BF1|
=9t2+(5t?4)2?166t(5t?4)+t2+(5t?4)2?16t2+162t(5t?4)
=0，
化簡得：2t2?5t+3=0，解得：t=32或t=1，
當(dāng)t=1時，|F1F2|= 16t2?16=0不合題意，
當(dāng)t=32時，則|AF2|?|AF1|=4t?4=2=2a，解得：a=1，
所以|F1F2|= 16t2?16= 20=2 5=2c,解得：c= 5，
所以b= c2?a2= 5?1=2，
綜上，a=1，b=2．
17.(1)證明：設(shè)正方體的棱長為3，
以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D1(0,0,3)，G(3,0,1)，E(3,32,0)，F(xiàn)(32,3,0)，
所以D1G=(3,0,?2)，D1E=(3,32,?3)，D1F=(32,3,?3)，
設(shè)D1G=λD1E+μD1F，則(3,0,?2)=λ(3,32,?3)+μ(32,3,?3)=(3λ+32μ,32λ+3μ,?3λ?3μ)，
所以3=3λ+32μ0=32λ+3μ?2=?3λ?3u，解得λ=43，μ=?23，
所以D1G=43D1E?23D1F，
故D ?1，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
(2)解：在棱CC1上取一點(diǎn)M，使得CM=13CC1，連接GM，AC，則GM//AC，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，
所以AC/?/EF，所以GM//EF，即G，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，
所以點(diǎn)M在平面D1GEF上，即平面D1GEF∩直線CC1=M，
所以點(diǎn)H與點(diǎn)M重合，即H(0,3,1)，
而D1(0,0,3)，A(3,0,0)，C1(0,3,3)，
所以D1H=(0,3,?2)，D1A=(3,0,?3)，D1C1=(0,3,0)，
設(shè)平面D1ABC1的法向量為n=(x,y,z)，則n?D1A=3x?3z=0n?D1C1=3y=0，
令x=1，則y=0，z=1，所以n=(1,0,1)，
設(shè)D1H與平面D1ABC1所成角為θ，
則sinθ=|cs|=|D1H?n||D1H|?|n|=2 13× 2= 2613，
故D 1H與平面D1ABC1所成角的正弦值為 2613．
18.解：(1)正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的外接球直徑AC1= 12+12+( 2)2=2，球半徑R′=1，
因此球心與點(diǎn)A，B構(gòu)成正三角形，弦AB所對球過A，B的大圓圓心角為π3，弧長為π3，
所以頂點(diǎn)A，B在該正四棱柱外接球上的球面距離為π3．
(2)①在直角梯形ABCD中，BC/?/AD，∠BCD=90°，BC=12AD=1，DC= 3，
BD= 12+( 3)2=2=AD，∠ADB=90°?∠BDC=60°，則△ABD為正三角形，
在棱錐P?BCD中，PH⊥平面BCD，而BC?平面BCD，則BC⊥PH，
又BC⊥CD，PH∩CD=H，PH，CD?平面PCD，則BC⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，因此PC⊥BC，PC= PB2?BC2= 22?12= 3，
在△PCD中，cs∠PDH=12PDCD=1 3，sin∠PDH= 2 3，PH=PDsin∠PDH=2× 2 3=2 63，
所以點(diǎn)P到底面BCD的距離為2 63．
②取BD中點(diǎn)O1，則O1為△BCD外接圓圓心，令正三角形PBD的外接圓圓心為O2，

連接BO1，O1H，OO1，OO2，OB，則O1O2=13PO1= 33，
OO2⊥平面PBD，OO1⊥平面BCD，
于是OO1/?/PH，cs∠OO1O2=sin∠PO1H=PHPO1=2 23，
在Rt△OO1O2中，OO1=O1O2cs∠OO1O2= 64，
因此棱錐P?BCD的外接球半徑R，
有R2=OB2=O1O2+O1B2=( 64)2+1=118，
球O的弦PC所對大圓的圓心角為∠COP，
cs∠COP=2R2?PC22R2=114?3114=?14114=?111，
即∠COP是鈍角，而cs47π100=111，
則∠COP=π?47π100=53π100，
∠COP在大圓中所對劣弧長為53π100R=53π100× 224=53 22π400，
所以P，C兩點(diǎn)在球O上的球面距離為53 22π400．
19.解：(1)證明：令點(diǎn)Q(x,y)，根據(jù)已知可得CQ=tCA，所以(x?2,y? 3)=t(0,? 3)，
因此x=2y= 3(1?t)，所以Q(2, 3(1?t))；
同理可得P(2t,0)．
因此BQ的斜率kBQ= 3(1?t)? 32=? 32t，
因此直線BQ的方程為y=? 32tx+ 3，
所以DP的方程為x2t+y? 3=1，所以y= 32tx? 3，
設(shè)直線DP與BQ的交點(diǎn)坐標(biāo)M為(x,y)，
根據(jù)y=? 32tx+ 3y= 32tx? 3可得(y+ 3)(y? 3)= 32t×(? 32t)x2=?34x2，
整理可得x24+y23=1，
因此當(dāng)t變化時，點(diǎn)M始終在橢圓W：x24+y23=1上運(yùn)動．
(2)①證明：令直線ET的方程為x=my+4，
聯(lián)立直線ET和橢圓方程可得x=my+4x24+y23=1，化簡得(3m2+4)y2+24my+36=0，
由于橢圓W與直線ET交于兩點(diǎn)T(x2,y2)，S(x1,y1)，
因此Δ=(24m)2?4×36×(3m2+4)>0，所以m>2或m13，
因此3m2+1(3m2+4)2=nn2+6n+9=1n+9n+6

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