1．已知集合，，，（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“不等式成立”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．若，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．經(jīng)過點作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A．B．C．D．
6．三棱錐中，平面，三角形為直角三角形，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
7．函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
8．函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)圖象關于點對稱
C．函數(shù)圖象向右移個單位后，圖象關于軸對稱，則的最小值為
D．若，則函數(shù)的最大值為
9．如圖，在六面體中，平面平面，四邊形與四邊形是兩個全等的矩形，，，平面，，，，則六面體的體積為（ ）
A．376B．600C．448D．288
二、填空題（共6個小題，每小題5分，共30分）
10．已知是虛數(shù)單位，________．（用數(shù)字作答）
11．已知，且，則________．
12．展開式中項的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
13．已知直線與圓相交于，兩點，且，則實數(shù)________．
14．某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學生對勞動教育重要性的認識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學校開展的勞動技能學習，恰有2名男生參加勞動學習的概率為________；在至少有一名女生參加勞動學習的條件下，恰有一名女生參加勞動學習的概率________．
15．在三角形中，是邊的中點，是線段的中點．設，，試用，表示，________；若，的面積為，則的最小值為________．
三、解答題（共5小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本題滿分14分）在三角形中，內角，，的對邊分別為、、，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求邊；
（3）求的值．
17．（本題滿分15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點，是的中點．
（1）求證平面；
（2）求平面與平面的夾角余弦值；
（3）求點到平面的距離．
18．（本題滿分15分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點，且，橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點作直線與橢圓交于，兩點，若，求直線的方程．
19．（本題滿分15分）已知為等差數(shù)列，前項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．
（1）求和的通項公式；
（2）若；
①求數(shù)列的前項和．
②若對任意，均有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
20．（本題滿分16分）已知函數(shù)．
（1）求的圖象在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）證明：對任意的，有；
塘沽十三中2024-2025學年度第一學期高三年級第二次月考數(shù)學學科答案
一、選擇題
1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A
二、填空題
10． 11． 12． 13．4 14．
15． 6
16．，
因為，所以，所以
又，所以；
（2）在中，由余弦定理及，，，
可得，
解得．
（3）由正弦定理，可得．
因為，故．
因此，．
（3）
17．（1）證明見解析 （2） （3）
【詳解】（1）取中點，連接，，
由是的中點，故，且，
由是的中點，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
有、、、、、，
則有、、，
設平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，
即點到平面的距離為．
18．（1）；（2）或．
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)所給的條件，用橢圓的基本量，，表示，解得方程；
（2）分直線斜率不存在和存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設直線為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示和，并且根據(jù)條件，表示坐標的關系，代入根與系數(shù)的關系后，消去或，得到關于斜率的方程，解得斜率，求得直線方程．
試題解析：（1）依題意，，因為，故．
因為，故，故，
故橢圓的標準方程為．
（2）若與軸垂直，則的方程為，，為橢圓短軸上兩點，不符合題意．
若與軸不垂直，設的方程，由，得
，．
設，，則，，
由，得，，
，，，
解得，直線的方程為，即或．
考點：1．橢圓的標準方程；2．直線與橢圓的位置關系．
19．（1），
（2）①；②
【分析】（1）設數(shù)列的首項為，公差為，數(shù)列的公比為，根據(jù)條件直接求出首項為，公差為及公比為，即可求出結果；
（2）由（1）得到，①利用錯位相減法即可求出結果；
②由①得到，再利用數(shù)列的增減性，求出的最大值，即可求出結果．
【詳解】（1）設數(shù)列的首項為，公差為，數(shù)列的公比為，
因為，且，所以，解得或（舍去）
所以，
又，，得到，，
聯(lián)立解得，，所以．
（2）由（1）知，
①③，
所以④，
由③-④得到
，
整理得到；
②因為，由①得到，
又因為，所以，得到，
令，則，
易知，當時，，
當時，，由，得到，
所以當時，遞增，時，遞減，故的最大值為，所以實數(shù)的取值范圍為．
20．（1）
（2）因為，
令，，
又因為，，單調遞減；
，，單調遞增；
所以的極小值為，無極大值．
（2）令，
可得，令，
，，單調遞增，，
，，單調遞減；
，，單調遞增；
所以，
所以，
所以，即得，
所以．

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