福建省福州市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

這是一份福建省福州市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析，共21頁。試卷主要包含了 已知空間向量，當(dāng)時(shí)，則， 圓與圓外切，則正數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 已知直線過點(diǎn)與點(diǎn)，則這條直線的傾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩點(diǎn)求出斜率，再求解傾斜角即可.
【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)與點(diǎn)，所以該直線的斜率為，
設(shè)這條直線的傾斜角為，則，所以.
故選：D
2. 已知空間向量，當(dāng)時(shí)，則（）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根據(jù)已知推得，代入列出方程，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以有，解得.
故選：B.
3. 在正方體中，是棱上一點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，根據(jù)夾角的向量公式，可得答案.
【詳解】由題意，如下圖所示建立空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，，，
設(shè)，，
由，則，由，，
則，解得，所以，
由，則，由，，
則，解得，所以，
由，，
則，，
，設(shè)異面直線與的夾角為，
則.
故選：A.
4. 兩條平行直線和間的距離為，則的值分別為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知列出關(guān)系式，求出的值.然后根據(jù)兩條平行線之間的距離公式，即可求出的值.
【詳解】由已知可得，，解得.
代入化簡(jiǎn)可得，.
根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得，
.
故選：B.
5. 圓與圓外切，則正數(shù)（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓一般方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，明確圓心與半徑，結(jié)合兩圓外切，建立方程，可得答案.
【詳解】由圓，則整理可得，
所以圓心，半徑，
由，則圓心，半徑，
由兩圓外切，則，所以，解得正數(shù).
故選：C.
6. 圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形軌跡方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先將已知圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心、半徑，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系列出方程組，求解即可得出對(duì)稱圓的圓心，進(jìn)而得出答案.
【詳解】圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形的軌跡仍為圓.
將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，
圓心，半徑.
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則有，解得，
即對(duì)稱圓的圓心為.
又半徑，
所以，軌跡方程為.
故選：D.
7. 直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為（）
A. B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圓心、半徑，得出直線的定點(diǎn).求出圓心到直線的最大距離，即可根據(jù)垂徑定理，得出答案.
【詳解】由已知可得，圓心，半徑.
將直線方程化為，
由可得，，
所以直線恒過點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi).
當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離有最大值，最大值為.
由垂徑定理可得，，可知此時(shí)弦長(zhǎng)有最小值，
最小值為.
故選：C.
8. 正方形中，邊長(zhǎng)為為正方形中心，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，將沿著對(duì)角線BD緩慢折起，當(dāng)?shù)挠嘞抑禐闀r(shí)，二面角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知求出各邊長(zhǎng)度，推得即為二面角的平面角.結(jié)合圖形，根據(jù)幾何性質(zhì)，用表示出，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式，即可得出答案.
【詳解】
由已知可得，，，，
所以，，均為直角三角形，即為二面角的平面角.
又分別是的中點(diǎn)，
所以，，，
且，
所以，，，.
由可得，.
同理可得，.
所以，
，
所以，.
故選：B.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知空間中三點(diǎn)則下列說法正確的有（）
A. B.
C. D. 在上投影向量的長(zhǎng)度為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，由，則，故A正確；
對(duì)于B，由，，因?yàn)?，所以兩向量顯然不平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，，則，故C正確；
對(duì)于D，在上投影向量的長(zhǎng)度為，故D正確.
故選：ACD.
10. 圓與軸相切，且經(jīng)過兩點(diǎn)，則圓可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】設(shè)圓的圓心為，則半徑.根據(jù)已知可得，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)得出.，整理可得，.聯(lián)立即可得出圓心以及半徑，進(jìn)而得出答案.
【詳解】設(shè)圓的圓心為，則半徑.
又點(diǎn)，在圓上，
所以有，
即，
整理可得，.
又，即，
整理可得，.
聯(lián)立可得，或，
所以，圓心坐標(biāo)為或.
當(dāng)圓心坐標(biāo)為時(shí)，，圓的方程為；
當(dāng)圓心坐標(biāo)為時(shí)，，圓的方程為.
綜上所述，圓的方程為或.
故選：BC.
11. 下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若有空間向量，，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得
B. A，B，C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C. ，，與夾角為直角，則x的取值是0.
D. 若是空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線
【答案】ACD
【解析】
【分析】考慮, 可判斷 A; 由空間向量共面定理可判斷B; 由向量的夾角為直角的等價(jià)條件可判斷C; 由空間的一組基底的定義可判斷D.
【詳解】對(duì)于A, 比如, , 則不存在實(shí)數(shù), 故 A 錯(cuò)誤;
對(duì)于B, 三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn), 若,
由于, 則四點(diǎn)共面, 故B正確;
對(duì)于C,,與的夾角為直角,
則,可得，解得; 故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D, 若是空間的一個(gè)基底, 則四點(diǎn)不共面, 且不共線, 故D 錯(cuò)誤.
故選: ACD.
12. 已知點(diǎn)是圓C：上的點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A. 到直線的距離最大值為5
B. 的最大值為
C. 的最小值為9
D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】求出圓心、半徑，根據(jù)幾何意義轉(zhuǎn)化為圓心與直線或點(diǎn)的距離以及連線的斜率求解，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，圓心，半徑.
對(duì)于A項(xiàng)，圓心到直線的距離，
所以，到直線的距離最大值為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，當(dāng)與圓相切時(shí)，斜率取得最大值或最小值.
直線方程為，即.
因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
即，整理可得，解得，
所以，的最大值為，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，圓心到的距離為，
所以，圓上點(diǎn)到的距離的最小值為，
即，
所以，，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)直線方程為，即，
當(dāng)直線與方程相切時(shí)，有最大值或最小值，
則，所以.
所以，的最小值為，
即的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
三?填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13. 已知平面，和分別是和的法向量，，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】因?yàn)槠矫妫?，所以，，求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槠矫妫裕?br>所以，即，
所以，即，，
所以.
故答案為：
14. 在邊長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)到平面的距離為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)向量法求解即可得出答案.
【詳解】
如圖，建立空間直角坐標(biāo)，則，，，，
所以，，，.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，
令，則是平面的一個(gè)法向量.
所以，點(diǎn)到平面的距離為.
故答案為：.
15. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則直線的方程為___________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)直線與直線平行，過直線過線段的中點(diǎn)進(jìn)行分類討論，從而求得的方程.
【詳解】直線的斜率為，
所以過且平行于直線的直線方程為.
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以過與線段中點(diǎn)的直線的方程為.
所以直線或符合題意.
故答案為：或
16. 阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家），證明過這樣的一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在中，，，當(dāng)面積最大時(shí)，__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)滿足的軌跡方程.根據(jù)已知，求出面積最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，即可得出答案.
【詳解】
如圖，以為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè).
由正弦定理結(jié)合已知條件可得，，即，
所以有，
整理可得，，
即.
要使的面積最大，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值取得最大值.
由可得，，
所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為或.
根據(jù)已知，不妨設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以.
故答案為：.
四?解答題：本題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點(diǎn)D，M，N分別為BC，AB，OB的中點(diǎn)．
（1）試用向量表示向量；
（2）試用空間向量的方法證明MNGH四點(diǎn)共面．
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果；
（2）證得，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>而，
又D為的中點(diǎn)，所以，
所以
．
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>，
所以，
，所以．
所以四點(diǎn)共面．
18. 已知直線l過點(diǎn).
（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求l方程；
（2）設(shè)直線l的斜率，直線l與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)別為，求面積最小值.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）由題知直線l斜率存在且不為，故不妨設(shè)斜率為，進(jìn)而寫出直線的方程并求解直線在坐標(biāo)軸上截距，再結(jié)合題意求解即可；
（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)題意得，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.
【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，
所以直線l斜率存在且不為，故不妨設(shè)斜率為，則直線l方程為，
所以直線在坐標(biāo)軸上截距分別為，，
所以，整理得，解得或
所以直線l方程為或.
（2）由（1）知，
因?yàn)椋?br>所以面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以面積最小值
19. 如圖，在長(zhǎng)方體中，，為上的點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值
【答案】（1）證明過程見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，由數(shù)量積為0得到，證明出線面平行；
（2）求出平面的法向量，結(jié)合（1）中平面的法向量，求出二面角的余弦值.
【小問1詳解】
長(zhǎng)方體，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
故，
則，
所以，故平面；
【小問2詳解】
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令，則，
故，
由（1）知，平面的法向量為，
故，
由圖形可看出二面角為銳角，
故二面角的余弦值為.
20. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，求a的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）求出曲線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)這三個(gè)交點(diǎn)在圓上可求出圓心坐標(biāo)和半徑，從而可得圓的方程；
（2）設(shè)A，B，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)得，化為，進(jìn)而可解得 .
【詳解】（1）曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0，1)，(,0)，
由題意可設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(3，)，
∴，解得，
∴圓C的半徑為，
∴圓C的方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A，B，其坐標(biāo)滿足方程組，消去得到方程，
由已知得，判別式①，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，②，
由得.
又∵，，∴可化為③，
將②代入③解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足①，即，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了由圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
21. 如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，.
（1）求證：平面平面；
（2）點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求點(diǎn)的位置.
【答案】（1）證明見解析
（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接.根據(jù)余弦定理結(jié)合已知可推得，，求出的值.進(jìn)而根據(jù)勾股定理推得.然后即可根據(jù)線面垂直以及面面垂直的判定定理得出證明；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以及平面的法向量，然后根據(jù)線面角列出關(guān)系式，求解即可得出答案.
【小問1詳解】
如圖，取中點(diǎn)為，連接.
因?yàn)椋?，?br>在中，由余弦定理可得，
所以，且，
所以.
又因?yàn)闉榈冗吶切?，中點(diǎn)為，
所以，，，且.
在中，有，
所以，.
因?yàn)槠矫?，平面，?br>所以，平面.
因?yàn)槠矫妫?br>所以，平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知，，平面.
分別以所在的直線為軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)，
則，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則有，即，
取，則，，.
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為時(shí)，
所以有，即，
所以有，
整理可得，，解得或（舍去負(fù)值）.
所以，點(diǎn)與點(diǎn)重合.
22. 已知圓.
（1）若圓與直線相切于點(diǎn)，求直線的方程；
（2）已知，圓與軸相交于（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），過點(diǎn)任作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線，該直線與圓相交于兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知求出的值，進(jìn)而得出圓心、半徑.設(shè)出直線方程，根據(jù)相切關(guān)系得出圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，列出方程，求解即可得出答案；
（2）先求出的坐標(biāo)，設(shè)出的直線，代入的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)之間的關(guān)系.化簡(jiǎn)，假設(shè)，列出方程，求解即可得出的值.
【小問1詳解】
由已知可得，點(diǎn)圓上，
所以有，解得，
所以，圓的方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線與圓不相切；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線方程為，
即.
因?yàn)橹本€與圓相切，所以有圓心到直線的距離，
即，
整理可得，解得，
所以直線的方程為.
【小問2詳解】
令，得，解得或，
所以，，.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，
由已知可設(shè)直線的方程為，
代入可得，.
設(shè)，，
從而.
因?yàn)?br>，
又
.
因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
所以，存在實(shí)數(shù)，使得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得成立，即可轉(zhuǎn)化為成立.