1.已知z=11+ 2i，則z=( )
A. 13? 23iB. 13+ 23iC. 13?23iD. 13+23i
2.設(shè)集合A={x||x+1|≤2}，B={y|y=ln(x2+1)}，則A∪B=( )
A. [0,1]B. [?3,0]C. [?3,+∞)D. [0,+∞)
3.若圓錐的軸截面是面積為 3的等邊三角形，則該圓錐的表面積為( )
A. 2πB. 3πC. 2 3πD. 3 3π
4.若角α滿足cs(π3+α)=2cs(π6?α)，則cs(2α?π3)=( )
A. ?45B. ?35C. 45D. 35
5.已知平面上三個(gè)單位向量a，b，c滿足c=2(a+b)，則a?c=( )
A. 12B. 32C. 14D. 34
6.如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，且值域?yàn)閇f(a),f(b)]，則稱f(x)為“Ω函數(shù).已知函數(shù)f(x)=5x,0≤x≤2x2?4x+m,2b>0)上，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，設(shè)PD=34PQ，直線AD與橢圓Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若PA⊥PB，則橢圓Γ的離心率e=( )
A. 12B. 22C. 32D. 33
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.若圓x2+y2?2x?6y+a=0(a∈R)上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線3x+4y+5=0的距離為2，則實(shí)數(shù)a可能為( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x?1)為偶函數(shù)，f(x+1)為奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A. f(x)的圖象關(guān)于直線x=?1對(duì)稱B. f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱
C. f(?3)=1D. f(x)的一個(gè)周期為8
11.在棱長(zhǎng)均為1的三棱柱ABC?A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，點(diǎn)T滿足AT=xAB+yAC+zAA1，其中x，y，z∈[0,1]，則下列說法一定正確的有( )
A. 當(dāng)點(diǎn)T為三角形A1B1C1的重心時(shí)，x+y+z=2
B. 當(dāng)x+y+z=1時(shí)，AT的最小值為 63
C. 當(dāng)點(diǎn)T在平面BB1C1C內(nèi)時(shí)，x+y+z的最大值為2
D. 當(dāng)x+y=1時(shí)，點(diǎn)T到AA1的距離的最小值為 22
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知隨機(jī)事件A，B滿足P(A)=13，P(B)=14，P(A+B)=12，則P(AB)= ______．
13.已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3 3和4 3，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為______．
14.已知2024是不等式x+lg2(2x?3a)1+lg2a>2的最小整數(shù)解，則a的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布．
(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；
(2)已知一次調(diào)查抽取的未患病者樣本容量為100，且該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)檢查完全符合上面頻率分布直方圖(圖2)，臨界值c=99，從樣本中該醫(yī)學(xué)指標(biāo)在[95,105]上的未患病者中隨機(jī)抽取2人，則2人中恰有一人為被誤診者的概率是多少？
16.(本小題15分)
已知圓C：x2+y2?8y=0，過點(diǎn)P(2,2)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足2OM=OA+OB，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若△CMP的面積為2，求|AB|．
17.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD= 3，PB=PC= 6，∠APB=∠CPD=90°，點(diǎn)M，N分別是棱BC，PD的中點(diǎn)．
(1)求證：MN//平面PAB；
(2)若平面PAB⊥平面PCD，求直線MN與平面PCD所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
已知P( 2, 3)是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)，以點(diǎn)P及橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形面積為2 3．
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)過F2作斜率存在且互相垂直的直線l1、l2，M是l1與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，N是l2與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，求△MNF2面積的最大值．
19.(本小題17分)
基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式為a1+a22≥ a1a2.由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.基本不等式可以推廣到一般的情形：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均數(shù)An=a1+a2+…+ann=1ni=1nai(注：i=1nai=a1+a2+?+an)不小于它們的幾何平均數(shù)Gn=(a1a2?an)1n=( ni=1ai)1n(注： ni=1ai=a1a2…an)，即
a1+a2+?+ann≥na1a2?an(An≥Gn)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)，等號(hào)成立．
(1)已知x>y>0，求x+1y(x?y)的最小值；
(2)已知n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an且a1+a2+…+an=1．
(i)求證： ni=1(1?ai2)≥(n2?1)n ni=1ai2；
(ii)當(dāng)n≥2024，求ni=1naiai+1?ai+13的最小值，其中an+1=a1．
參考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.C
6.C
7.D
8.C
9.BC
10.ABD
11.BCD
12.112
13.100π
14.[22021,22022)
15.解：(1)依題可知，圖1第一個(gè)小矩形的面積為5×0.002>0.5%，所以950恒成立，所以f(t)在[2,+∞)單調(diào)遞增，
所以S△MNF2=22t+1t≤22×2+12=49．
所以△MNF2面積的最大值為：49．
19.解：(1)由均值不等式得x+1y(x?y)=y+(x?y)+1y(x?y)≥33y?(x?y)?1x?y=3，
當(dāng)且僅當(dāng)y=x?y=1y(x?y)，即x=2，y=1時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)有x>y>0，x+1y(x?y)=2+12?1=3，滿足題意；
所以x+1y(x?y)的最小值是3；
(2)(i)證明：由于a1，a2，…，an>0，a1+a2+...+an=1，故對(duì)i=1，2，?，n，
由均值不等式有1+ai=a1+a2+…+ai?1+ai+ai+ai+1+…+an≥(n+1)(a1a2?ai?1aiaiai+1?an)1n+1，
1?ai=a1+a2+...+ai?1+ai+1+...+an≥(n?1)(a1?a2?…?ai?1?ai+1?…?an)1n?1，
將二者相乘，得1?ai2≥(n2?1)?(a1?a2?…?ai?1?ai+1?…?an)2nn2?1?ai2n+1=( ni=1ai)2nn2?1ai?2n2?1，
再將該不等式對(duì)i=1，2……，n相乘，
即得 ni=1(1?ai2)≥( ni=1ai)2n2n2?1( ni=1ai)?2n2?1=( ni=1ai)2= ni=1ai2．
(ii)因?yàn)閍iai+1?ai+13+n4(n2?1)2(1?ai+12)≥2 aiai+1?ai+13?n4(n2?1)2(1?ai+12)=2n2n2?1 aiai+1對(duì)任意i=1，2，3，…，n恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)ai=1n(i=1,2,3,…,n)時(shí)所有等號(hào)成立．
所以aiai+1?ai+13≥2n2n2?1 aiai+1+n4(n2?1)2(ai+12?1)，將該式對(duì)i=1，2……，n累加，
則有 ni=1aiai+1?ai+13≥2n2n2?1 ni=1 aiai+1+n4(n2?1)2( ni=1ai+12?n)，
由均值不等式可得 ni=1 aiai+1≥n( ni=1 aiai+1)1n=n，
由柯西不等式得n ni=1ai+12=n ni=1ai2≥( ni=1ai)2=1，
所以可得 ni=1aiai+1?ai+13≥2n2n2?1×n+n4(n2?1)2(1n?n)=n3n2?1，
故原式的最小值為n×n3n2?1=n4n2?1，當(dāng)且僅當(dāng)ai=1n(i=1,2,3,…,n)時(shí)取等號(hào)．

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