學生用書P056
1.函數(shù)的極值
極小值點和極大值點統(tǒng)稱為⑤ 極值點 ，極小值和極大值統(tǒng)稱為⑥ 極值 .
易錯警示
（1）極值點不是點，若函數(shù)f（x）在x＝x1時取得極大值，則x1為極大值點，極大值為
f（x1）.
（2）極大值與極小值的大小沒有必然關系，極小值可能比極大值大.
（3）有極值的函數(shù)一定不是單調函數(shù).
（4）導數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點.例如，f（x）＝x3，f '（0）＝0，但x＝0不是極值點.
2.函數(shù)的最大（?。┲?br>如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.
辨析比較
函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系
1.[易錯題]下列說法正確的是（ C ）
A.函數(shù)的極大值比極小值大
B.函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內的極大值是唯一的
C.函數(shù)的最大值不一定是極大值，極大值也不一定是最大值
D.f '（x0）＝0是x0為可導函數(shù)y＝f（x）的極值點的充分不必要條件
解析 對于A，由極大值與極小值的概念可知，函數(shù)的極大值不一定比極小值大；對于B，函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內如果有最大值，則最大值是唯一的，但極大值不一定；對于C，由極大值與最大值的概念可知C正確；對于D，在函數(shù)的極值點處f '（x0）＝0，但是使f '（x0）＝0成立的x0未必是極值點，如當x0為定義域的左右端點時f '（x0）可以等于0，但此時x0不是極值點.
2.設函數(shù)f（x）的定義域為R，x0（x0≠0）是 f（x）的極大值點，則下列結論一定正確的是（ D ）
A.?x∈R， f（x）≤f（x0）B.－x0是y＝f（－x）的極小值點
C.－x0是y＝－f（x）的極小值點D.－x0是y＝－f（－x）的極小值點
解析 極值是函數(shù)的一種局部性質，因此不能確定在整個定義域上f（x0）是否最大，故A錯誤；因為函數(shù)f（x）與y＝f（－x）的圖象關于y軸對稱，所以－x0是y＝ f（－x）的極大值點，故B錯誤；因為函數(shù)f（x）與y＝－f（x）的圖象關于x軸對稱，所以x0是y＝
－f（x）的極小值點，而－x0是否為y＝－f（x）的極小值點不確定，故C錯誤；因為函數(shù)f（x）與y＝－f（－x）的圖象關于原點對稱，所以－x0是y＝－f（－x）的極小值點，選項D正確.
3.[2024遼寧省部分學校聯(lián)考]函數(shù)f（x）＝（－2x＋4）ex在區(qū)間[1，＋∞）上的最大值為 2e .
解析 f '（x）＝（－2x＋2）ex，當x∈[1，＋∞）時，f '（x）≤0，f（x）單調遞減，所以f（x）max＝f（1）＝2e.
4.若函數(shù)f（x）＝x3－ax2＋2x－1有極值，則實數(shù)a的取值范圍是 （－∞，－6）∪（6，＋∞） .
解析 由已知，得f '（x）＝3x2－2ax＋2.因為函數(shù)f（x）有極值，所以f '（x）＝0有變號零點，所以Δ＝4a2－24＞0，解得a＞6或a＜－6，所以實數(shù)a的取值范圍為（－∞，
－6）∪（6，＋∞）.
學生用書P057
命題點1 導函數(shù)圖象的應用
例1 （1）[浙江高考]函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f '（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是（ D ）
A B
C D
解析 根據題意，已知導函數(shù)的圖象與x軸有三個交點，且每個交點的兩邊導函數(shù)值的符號相反，因此函數(shù)f（x）在這些零點處取得極值，根據f（x）有兩個極小值和一個極大值可排除A，C；記導函數(shù) f '（x）的零點從左到右分別為x1，x2，x3，又在（－∞，x1）上
f '（x）＜0，在（x1，x2）上f '（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（－∞，x1）上單調遞減，在（x1，x2）上單調遞增，由x2＞0排除B.故選D.
（2）[多選/2024陜西省漢中市聯(lián)考]設f '（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，y＝f '（x）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ BC ）
A.函數(shù)一定有三個零點
B.函數(shù)一定有三個極值點
C.函數(shù)有最小值
D.函數(shù)圖象一定經過坐標原點
解析 易知函數(shù)f（x）在（－∞，0），（1，2）上單調遞減，在（0，1），（2，＋∞）上單調遞增，所以函數(shù)f（x）一定有三個極值點0，1，2，B正確；函數(shù)f（x）有最小值，為f（0），f（2）中的較小者，C正確；函數(shù)f（x）的圖象可能都在x軸上方，其零點個數(shù)可能是0，A錯誤；函數(shù)f（x）的圖象不一定過原點，D錯誤.故選BC.
方法技巧
根據函數(shù)圖象判斷極值的方法
（1）由y＝f '（x）的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f（x）的可能極值點.
（2）由y＝f '（x）的圖象可以看出y＝f '（x）的值的正負，從而可得函數(shù)y＝f（x）的單調性，進而求得極值（點）.
注意 要看清楚所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導函數(shù)的圖象.
訓練1 [多選]已知函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f '（x）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ AB ）
A.f（a）＜f（b）＜f（c）
B.f（e）＜f（d）＜f（c）
C.x＝c時， f（x）取得最大值
D.x＝d時，f（x）取得最小值
解析 由f '（x）的圖象可知，當x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）時，f '（x）＞0；當x∈（c，e）時，f '（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上單調遞增，在（c，e）上單調遞減.對于A，因為a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正確；對于B，因為c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正確；對于C，由單調性知f（c）為極大值，當x＞e時，可能存在f（x0）＞f（c），C錯誤；對于D，由單調性知f（e）＜f（d），D錯誤.
命題點2 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
角度1 求函數(shù)的極值
例2 [全國卷Ⅱ]若x＝－2是函數(shù)f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的極值點，則 f（x）的極小值為（ A ）
A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1
解析 因為f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，所以f '（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.因為x＝－2是函數(shù)f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的極值點，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，將x＝－2代入解得a＝－1，所以f '（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.令f '（x）＞0，解得x＜－2或x＞1，令f '（x）＜0，解得－2＜x＜1，所以f（x）在（－∞，－2）上單調遞增，在（－2，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，所以當x＝1時，f（x）取得極小值，且f（x）極小值＝f（1）＝－1，故選A.
方法技巧
求可導函數(shù)f（x）的極值的步驟
（1）確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f '（x）；
（2）求方程f '（x）＝0的根；
（3）判斷f '（x）在方程f '（x）＝0的根附近的左右兩側的符號；
（4）求出極值.
角度2 已知函數(shù)的極值（點）求參數(shù)
例3 （1）[多選/2023新高考卷Ⅱ]若函數(shù)f（x）＝aln x＋bx＋cx2（a≠0）既有極大值也有極小值，則（ BCD ）
A.bc＞0B.ab＞0
C.b2＋8ac＞0D.ac＜0
解析 因為函數(shù)f（x）＝aln x＋bx＋cx2（a≠0），所以函數(shù)f（x）的定義域為（0，
＋∞），f'（x）＝ax2－bx－2cx3，因為函數(shù)f（x）既有極大值也有極小值，所以關于x的方程ax2－bx－2c＝0有兩個不等的正實根x1，x2，則Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，即b2+8ac>0，ba>0，－2ca>0，所以b2+8ac>0，ab>0，ac0，f '(3）0，1－6+a－12

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