注意事項(xiàng)：
1.試題卷共4頁(yè)，四大題19小題，滿分150分，作答時(shí)間120分鐘.
2答題前，先將自己的姓名?班級(jí)?考場(chǎng)號(hào)?坐位?準(zhǔn)考正號(hào)正確填寫在答題卡上.再將條形碼貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”.
3.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號(hào)涂黒；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.作答填空題和解答題時(shí)，用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列直線中傾斜角為的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知傾斜角為，等價(jià)于斜率為1，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷即可.
若直線的傾斜角為，等價(jià)于斜率為1，
對(duì)于A：斜率為，不合題意；
對(duì)于B：斜率為1，符合題意；
對(duì)于C：斜率不存在，不合題意；
對(duì)于D：斜率為0，不合題意；
故選：B.
2. 向量，若，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.
向量，由，得，
所以.
故選：D
3. 直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 無(wú)數(shù)個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知直線和均過(guò)，結(jié)合圖象即可判斷.
直線和均過(guò)，
結(jié)合圖象可知直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).
故選：C.
4. “”是“直線與直線平行”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行問(wèn)題判斷即可.
當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，兩直線重合；
當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，
解得或，而時(shí)，兩直線重合，
當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，兩直線平行，
因此直線與直線平行時(shí)，，則，
所以“”是“直線與直線平行”的既不充分也不必要條件.
故選：D
5. 若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得，可得為等邊三角形，即可得結(jié)果.
由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，
則圓心O0,0到直線的距離為，
可知，即為等邊三角形，所以.
故選：B.
6. 如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確是（）
A. 平面B. 平面平面
C. 平面D. 平面內(nèi)存在與平行的直線
【答案】C
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，逐項(xiàng)判定計(jì)算即可．
因?yàn)闉檎襟w，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
同理解得平面的法向量，
，故A不正確；
，故B不正確；
，
，所以，
又，所以平面，C正確；
平面的一個(gè)法向量為，
，故D不正確；
故選：C
7. 在中，，則點(diǎn)到直線的距離為( ).
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由坐標(biāo)運(yùn)算求出，，進(jìn)而求出在方向上的投影，然后即可求出點(diǎn)到直線的距離.
由題意可知因?yàn)?，，所以，?br>所以在方向上的投影為，
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故選：B.
8. 已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，，若經(jīng)過(guò)的弦AB滿足，則橢圓C的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，由，根據(jù)余弦定理可得，再由離心率公式求解即可.
由題可知，
所以，解得，
因?yàn)?，即?br>整理得，所以.
故選：A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9. 下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）
A. 若向量滿足，則
B. 若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面
C. 若向量滿足，則
D. 若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底
【答案】BD
【解析】
【分析】舉例判斷AC，利用共面向量基本定理的推論判斷B，利用空間向量基本定理判斷D.
對(duì)于A，正方體共點(diǎn)的兩條棱對(duì)應(yīng)的向量，它們的模相等，而這兩個(gè)向量不共線，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，向量不共面，由，
得，即，
則向量共面，又它們有公共點(diǎn)，因此四點(diǎn)共面，B正確；
對(duì)于C，正方體共點(diǎn)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量，其中一個(gè)向量都垂直于另兩個(gè)向量，
而另兩個(gè)向量不共線，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若向量共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得，
而向量，則，此方程組無(wú)解，
即向量不共面，D正確.
故選：BD
10. 已知圓與圓，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 兩圓相切
B. 兩圓的公共弦所在的直線方程為
C. 兩圓的公切線有兩條
D. 兩圓的公共弦長(zhǎng)為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷兩圓相切是否正確；通過(guò)兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程；根據(jù)兩圓位置關(guān)系判斷公切線的條數(shù)；再利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算公共弦長(zhǎng).
對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.
對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，圓心距.
，，而，所以兩圓相交，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，即，化簡(jiǎn)得，故B選項(xiàng)正確.
因?yàn)閮蓤A相交，所以公切線有兩條，故C選項(xiàng)正確.
先求圓心到公共弦的距離，.
根據(jù)弦長(zhǎng)公式，則弦長(zhǎng)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 如圖，造型為“”的曲線C稱為雙紐線，其對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且曲線上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)和的距離之積為定值.若點(diǎn)在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B. PO
C. 面積的最大值為2
D. 周長(zhǎng)的最小值為6
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出曲線C的方程，結(jié)合曲線過(guò)原點(diǎn)求出，再結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)逐項(xiàng)求解判斷.
依題意，，即，
由曲線過(guò)原點(diǎn)，得，
對(duì)于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，即，A正確；
對(duì)于B，，即，
解得，因此，B正確；
對(duì)于C，令，由，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值1，，C正確；
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
因此在中，，其周長(zhǎng)PF1+PF2+F1F2>4+4>6，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，既要化簡(jiǎn)曲線方程，又要結(jié)合圖形，關(guān)注圖形經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，區(qū)域范圍，以及對(duì)稱性等特點(diǎn)，常運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的最值求解范圍、最值問(wèn)題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 橢圓的焦距為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而可得，即可得焦距.
因?yàn)?，即?br>可知，則，
所以橢圓的焦距為.
故答案為：.
13. 已知空間中一個(gè)靜止的物體用三根繩子懸掛起來(lái)，若三根繩子上的拉力大小都為，且三根繩子中任意兩根繩子的夾角均為，則該物體的重量為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積求出三根繩子上拉力的合力大小即得答案.
設(shè)三根繩子上的拉力分別為，則，，
，令物體的重力為，則，
因此，
所以該物體的重量.
故答案為：
14. 已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.若動(dòng)點(diǎn)的軌跡上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，試寫出符合條件的實(shí)數(shù)的一個(gè)值為_(kāi)_________.
【答案】 ①. ②. 3（答案不唯一，或）
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡(jiǎn)得答案；求出圓心到直線距離，再由已知列出不等式求出的范圍即可.
設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)題得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為；
點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線的距離，
由點(diǎn)的軌跡上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，得，
解得，即，解得或，取.
故答案為：；3
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn).
（1）若，求的值；
（2）求
【答案】（1）0（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，即可求解；
（2）可得，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解即可..
【小問(wèn)1】
由向量的線性運(yùn)算法則可得，
又因?yàn)?，則，
所以.
【小問(wèn)2】
由題意可知：，
又因?yàn)椋?br>所以.
16. 已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出線段的垂直平分線方程，再聯(lián)立已知直線方程求出圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心與點(diǎn)或的距離求出半徑. （2）先設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式，然后根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑來(lái)求解斜率.
【小問(wèn)1】
首先求線段的斜率,則垂直平分線的斜率為.
中點(diǎn)坐標(biāo)為.
根據(jù)點(diǎn)斜式可得垂直平分線方程為，即.
聯(lián)立
將代入得，即.
把代入得，所以圓心.
半徑.
則圓的方程為.
【小問(wèn)2】
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.
此時(shí)圓心到直線的距離為，等于半徑，所以是圓的切線.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.
根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，可得.
即.兩邊平方解得.
此時(shí)直線的方程為，即.
綜上所得，直線的方程為或.
17. 已知四棱錐的底面為菱形，且為等邊三角形，且.
（1）求證：；
（2）請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求二面角的余弦值.
①四棱錐的體積為2；
②向量與所成角的余弦值為.
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）證明見(jiàn)
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，可得，結(jié)合線面垂直關(guān)系證明；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知點(diǎn)在底面內(nèi)的投影.若選①：求得，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，建系，利用空間向量求二面角；若選②：可知，求得，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，建系，利用空間向量求二面角.
【小問(wèn)1】
取的中點(diǎn)，連接，
由題意可知：，
可知為等邊三角形，且，
則，且，平面，
可知平面，且平面，
所以.
【小問(wèn)2】
由（1）可知：平面，且平面，
可得平面平面，且平面平面，
由面面垂直的性質(zhì)可知：點(diǎn)在底面內(nèi)的投影.
若選①：四棱錐的體積，解得，
注意到是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
設(shè)，則，可得，
由題意可知：平面的法向量，
則，
由題意可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為；
若選②：因?yàn)?，可知向量與所成角即為，則，
由余弦定理可得，
即，解得，
又因?yàn)?，則，
可得，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
設(shè)，則，可得，
由題意可知：平面的法向量，
則，
由題意可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.
18. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上且PF的最大值是最小值的倍.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)短軸長(zhǎng)求出，再結(jié)合的PF最值關(guān)系求出和，從而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程和交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和斜率公式求出直線所過(guò)定點(diǎn).
【小問(wèn)1】
已知短軸長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，.
設(shè)橢圓的半焦距為，已知PF的最大值是最小值的倍，即.
展開(kāi)可得，即.
又因?yàn)?，把代入可?
即，解得，那么.
所以橢圓的方程為.
【小問(wèn)2】
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，,.
因?yàn)?，在橢圓上，代入可得，.
已知，則，，.
把代入得，其值不為，
所以直線的斜率存在.
設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立直線與橢圓方程，得.
展開(kāi)可得，
整理得.
根據(jù)韋達(dá)定理，，.
因?yàn)?，所以，?
即，
展開(kāi)得.
將，代入上式并化簡(jiǎn)可得.
即，解得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過(guò)原點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意.
綜上所得，直線恒過(guò)定點(diǎn)原點(diǎn).
19. 已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方）.如圖，將平面沿軸向上折疊，使二面角為直二面角，折疊后在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為.
（1）當(dāng)時(shí)，
①求證：平面；
②求直線與平面所成角的正弦值；
（2）是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為15？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）①求出橢圓方程及直線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用面面垂直的性質(zhì)推理得證；②建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量法求解.
（2）設(shè)折疊前，表示折疊后點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合建立關(guān)系，求出，即得的值.
【小問(wèn)1】
①依題意，橢圓的半焦距，則，橢圓的方程為，
直線，由消去得，解得或，
而點(diǎn)在軸上方，則，，
折疊后有，而二面角為直二面角，即平面平面，
平面平面，平面，所以平面
②以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后的軸負(fù)半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
直線與平面所成角的正弦值為.
小問(wèn)2】
假定存在符合條件的，設(shè)折疊前，折疊后，
設(shè)直線方程為，由消去得，
則，
折疊前，折疊后，
由，，則，
即，
分子有理化得，
即，
解得，則，
即，，
整理得，解得，由，得
所以存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為15，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決圖形的翻折問(wèn)題時(shí)，應(yīng)找出其中變化的量和沒(méi)有變化的量，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化，不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)生變化，解題時(shí)應(yīng)抓住不變量，利用平面幾何知識(shí)或建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.

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河南省鄭州市中牟縣2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案
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