2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！
3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】集合即函數(shù)的定義域，而則為函數(shù)的值域，分別求解再進行交集運算即可.
【詳解】由有意義，則，
故，
由，得其值域為，
故，
所以，
故選：A
2. 設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）
A. B. 0C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先化簡，進而求得，進而根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式計算即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：B.
3. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】舉反例即可求解ABC,分類討論，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】若，滿足，但不成立，故A錯誤，
若，滿足，但，不成立，故B錯誤，
當(dāng)時，不成立，故C錯誤，
當(dāng)時，，顯然成立，
當(dāng)時，則，又，故成立，
當(dāng)時，，顯然成立，
故時都有，故D正確，
故選：D
4. 設(shè)集合．若，且中元素滿足：①任意一個元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，則中的兩位數(shù)的個數(shù)為（）
A. 72B. 78C. 81D. 90
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合描述列舉出集合中的兩位數(shù)，由及中元素的性質(zhì)確定中的兩位數(shù)的個數(shù).
【詳解】行表示個位，列表示十位，集合中的兩位數(shù)如下表所示
由，對于集合中的兩位數(shù)元素，
任意一個元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同，排除；
任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，排除；
共有90個兩位數(shù)，排除其中18個，所以中的兩位數(shù)的個數(shù)為72個.
故選：A
5. 用測量工具測量某物體的長度，需測量次，得到個數(shù)據(jù)．設(shè)函數(shù)，則當(dāng)取最小值時，（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】理解求和符號，由是二次函數(shù)，求解二次函數(shù)最值即可.
【詳解】
,
當(dāng)時，取最小值，最小值為
.
即時，取最小值.
故選：B
6. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（）
A充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)，由為等比數(shù)列，解出值，即可判斷.
【詳解】依題，“為等比數(shù)列”，所以，
得，化簡得，
解得，則“”是“為等比數(shù)列”的充要條件.
故選：C
7. 邊長為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個正四棱錐，則此正四棱錐的外接球的表面積的最小值為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)底面邊長為，可求得此四棱錐的高為，根據(jù)外接球與正四棱錐的關(guān)系，利用勾股定理可求出外接球半徑，再利用導(dǎo)數(shù)求得半徑的最小值即可.
【詳解】如圖所示，設(shè)圍成的四棱柱為，
為正四棱錐高，作交于，連接，
設(shè)，則，在直角三角形中由勾股定理得，
又因為正四棱錐的外接球球心在它的高上，
記球心為，半徑為，連接，則，
則在直角三角形中，
即，解得，
令，則，，
令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時取最小值，所以，
所以該四棱錐外接球表面積的最小值為，
故選：B
8. 設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點，為函數(shù)的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為（）
A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用，，求出和的表達(dá)式，進一步利用在區(qū)間上有且只有一個極大值點，通過分類討論求出的值，進而可得最大值.
【詳解】由已知得，，，
則，
其中，
因為，
當(dāng)時，
當(dāng)時，，
因為在區(qū)間上有且只有一個極大值點，
所以，
解得，
即，
所以，
當(dāng)時，，此時，此時有兩個極大值點，舍去；
當(dāng)時，，此時，此時有一個極大值點，成立；
所以的最大值為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過條件將和都用整數(shù)表示出來，然后對的值由大到小討論找到符合條件的結(jié)果.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 在正六邊形中，（）
A. B.
C. D. 在上的投影向量為
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求解AB，根據(jù)數(shù)量積的定義求解C，根據(jù)垂直關(guān)系，即可由投影向量的定義求解D.
【詳解】,故A錯誤，
連接相交于，相交于，則，為，的中點,
由于,
所以,故B錯誤，
,故C正確，
由于故故，
所以在上的投影向量為，D正確，
故選：CD
10. 已知，，，則（）
A. 的最小值為4B. 的最小值為
C. 的最小值為3D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷A；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；利用基本不等式結(jié)合對數(shù)運算即可判斷C；利用基本不等式結(jié)合指數(shù)運算即可判斷 D.
【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則A錯誤；
,
，，，,
當(dāng)時，的最小值為，則B正確；
因為，且，所以，所以，
,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則C正確；
,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則D正確；
故選：BCD.
11. 已知正三棱柱的各條棱長都是2，，分別是，的中點，則（）
A. 平面
B. 平面與平面夾角的余弦值為
C. 三棱錐的體積是三棱柱體積的
D. 若正三棱柱的各個頂點都在球上，則球的表面積為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A；判斷出即為平面與平面夾角，即可判斷；C，應(yīng)用等積法即可判斷；D，判斷出球心在上下底面的中心的連線的中點，解直接三角形即可得.
【詳解】A，連接,交于點,連接,則為的中點，故為的中位線，
則，平面,平面,故平面，A正確；
B，依題得，平面，，平面，則，
又，平面，則平面，
又平面，則，
則平面與平面夾角為，則，B正確；
C，取中點，連接，則，又平面，
平面，則，平面，則平面
則，C正確；
D，取上下底面的中心，則球心為的中點，，
又，則，
則球的表面積為，D錯誤.
故選：ABC
12. 已知過原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于兩點，分別過點作軸的平行線與函數(shù)的的圖象交于兩點，則（）
A. 點和原點在同一條直線上
B. 點和原點在同一條直線上
C. 當(dāng)平行于軸時，則點的橫坐標(biāo)為
D. 當(dāng)平行于軸時，則點的縱坐標(biāo)為
【答案】BC
【解析】
【分析】由與圖象數(shù)形結(jié)合可判斷A項；由三點共線得斜率等式化簡可得，可判斷B項；再由平行于軸得，聯(lián)立等式，解方程組即可判斷CD項.
【詳解】設(shè)，且，且，不妨設(shè)，
則由題意得.
選項A，由題意知，三點共線，軸，
且在函數(shù)的圖象上，而在函數(shù)的圖象上，
可知點不在直線上，即A項錯誤；
選項B，由三點共線可知，，
則由對數(shù)運算性質(zhì)得，
則有，
所以，即三點共線，故B項正確；
選項C，當(dāng)平行于軸時，則，
化簡得，
則，代入，得，
化簡得，又，解得，
代入得，點的縱坐標(biāo)，
故C項正確，D項錯誤.
故選：BC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在的二項展開式中，常數(shù)項為________．（用數(shù)字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】由二項式展開式通項有，可知常數(shù)項的值；
【詳解】二項展開式通項為，
∴當(dāng)時，常數(shù)項，
故答案為：15
【點睛】本題考查了二項式定理，利用二項式展開式的通項求常數(shù)項，屬于簡單題；
14. 已知，，與的夾角為，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由向量，，與的夾角為，可得，
所以.
故答案為：.
15. 已知是三角形的內(nèi)角，若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，，利用二倍角的正弦和余弦公式化簡可得出的值.
【詳解】因為是三角形的內(nèi)角，則，
且，即，
所以，，可得，故.
故答案為：.
16. 設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為．若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率等于________．
【答案】
【解析】
【分析】求出表達(dá)式和長，利用二者之間的關(guān)系求出的關(guān)系，進而求出，即可得出雙曲線的離心率.
【詳解】由題意，
在拋物線中，焦點為，準(zhǔn)線，
在雙曲線中，漸近線：，
拋物線準(zhǔn)線與雙曲線交于兩點，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴離心率，
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知四邊形內(nèi)接于，若，，．
（1）求線段的長．
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解，
（2）根據(jù)余弦定理得，進而根據(jù)基本不等式即可求解.
【小問1詳解】
由題知，，所以，
根據(jù)余弦定理，，
即，．
所以，所以．
所以．
【小問2詳解】
因為
所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
又,
所以．
18. 設(shè)函數(shù)，滿足：①；②對任意，恒成立．
（1）求函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)矩形的一邊在軸上，頂點，在函數(shù)的圖象上．設(shè)矩形的面積為，求證：．
【答案】（1）；
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合題設(shè)條件即可得解；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷的圖象性質(zhì)，從而利用矩形面積公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得證.
【小問1詳解】
因為，
由，得，則；
由，得，恒成立，
即恒成立，所以，所以，
所以；
【小問2詳解】
因為，
令，得；令，得；
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．
不妨設(shè)，，由知，
那么，；
故，
因為，所以．
19. 在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，且底面，與底面成角，且．
（1）求證：；
（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用空間向量法證明線線垂直；
（2）應(yīng)用空間向量法求線面角正弦計算即可得出邊長關(guān)系.
【小問1詳解】
如圖，以點為原點，直線為軸，直線為軸建立坐標(biāo)系．
那么，，，，．
故，
因為，
所以，即．
【小問2詳解】
因為，
所以，故，所以平面，
故平面的法向量
設(shè)直線與平面所成角為，則：
整理得，即．
20. 第19屆亞運會于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學(xué)校為持續(xù)營造全民參與亞運、服務(wù)亞運、奉獻(xiàn)亞運的濃厚氛圍舉辦“心心相融·愛答亞運”知識挑戰(zhàn)賽．挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯，則另一方自動獲勝．若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對問題的概率都是，且每次答題互不影響．
（1）若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?
（2）在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?
（3）現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨立，當(dāng)戰(zhàn)勝至少三分之二以上的守擂者時，則稱該挑戰(zhàn)者勝利．若再增加1位守擂者時，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?并說明理由．
【答案】（1）0.25
（2）
（3）沒有增加，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率公式求解即可；
（2）設(shè)為先答題者獲勝的概率，根據(jù)獨立事件的概率公式列出方程，進而求解；
（3）分別求出增加1位守擂者前后挑戰(zhàn)者勝利的概率，進行比較即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)事件為挑戰(zhàn)者獲勝，事件為不多于兩次答題比賽結(jié)束．
．
【小問2詳解】
設(shè)為先答題者獲勝的概率，則，解得，
所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是.
【小問3詳解】
設(shè)隨機變量為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率；
為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率．
，
，
顯然，，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加．
21. 設(shè)數(shù)列的首項，前項和滿足：．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足：，．求．
【答案】21. 證明見解析
22.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列即可；
（2）分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)，分別應(yīng)用裂項相消求和即可.
【小問1詳解】
由；令，得，
故，；
因為，其中，，．
所以當(dāng)時，，
兩式相減得：，
整理得：，．
綜上，數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
由題意得：，，
，，
故．
當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)為奇數(shù)時，
綜上：
22. 已知，函數(shù)，.
（1）當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時，求實數(shù)的值；
（2）若，求證：.
【答案】（1）1（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分別對，求導(dǎo)，討論和，得出和的單調(diào)性，即可求出，的極小值，即可得出答案.
（2）令，由可得，要證，不妨設(shè)，所以只要證，令，，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明.
【小問1詳解】
，定義域均為，
，
當(dāng)時，則，在單調(diào)遞增，無極值，與題不符；
當(dāng)時，令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
又，
當(dāng)時：，在單調(diào)遞減，無極值，與題不符；
當(dāng)時：令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
由題：，解得：.
【小問2詳解】
令，因為，所以，
由可得：，
（1）-（2）得：，所以，
要證： ，只要證： ，只要證：
不妨設(shè)，所以只要證：，
即證：，令，只要證：，
令，，
所以在上單調(diào)遞增，
， 即有成立，所以成立.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
3
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
4
40
41
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48
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5
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51
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57
58
59
6
60
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