A．0B．1C．2D．3
2．（4分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D均在格點上，連接AD，BC交于點E，則S△ABE：S△DCE＝（ ）
A．1：3B．1：9C．3：1D．9：1
5．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程的根為，則這個方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0B．x2﹣4x﹣1＝0C．x2+4x﹣5＝0D．x2﹣4x﹣2＝0
7．（4分）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，某款燃油汽車2月份的售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設(shè)該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，可列方程正確的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝18.63
8．（4分）老師設(shè)計了一個“接力游戲”，用合作的方式完成二次根式的混合運算，如圖，老師把題目交給一位同學(xué)，他完成一步解答后交給第二位同學(xué)，依次進行，最后完成計算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．接力中，自己負責(zé)的式子出現(xiàn)錯誤的是（ ）
A．小明和小麗B．小麗和小紅
C．小紅和小亮D．小麗和小亮
9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則m3﹣4n2+2024的值為（ ）
A．2002B．2003C．2004D．2005
10．（4分）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（ ）
A．15cmB．14.4cmC．13.5cmD．9cm
二.填空題（每題4分，共2A分）
11．（4分）已知四條線段6，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為 ．
12．（4分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為 ．
13．（4分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是 ．
14．（4分）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一物體從地面以9.8m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過x秒物體離地面的高度（單位：m）約為9.8x﹣4.9x2．根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過 秒落回到地面．
15．（4分）如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形ABCD，則AB長為 ．
16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D為直線AC左側(cè)一點．若△ABC∽△CAD，則BC+CD的最大值為 ．
三.解答題（共86分）
17．（8分）計算：÷﹣×+．
18．（8分）如圖，已知線段AB與CD交于點O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求證：△AOC∽△DOB．
19．（8分）下面是小穎同學(xué)解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
解：2x2﹣3x﹣5＝0．
，第一步
，第二步
，第三步
x﹣，第四步
x﹣，或x﹣，第五步
x1＝，x2＝﹣1．第六步
任務(wù)一：
①小穎解方程的方法是 ；
A．直接開平方法
B．因式分解法
C．配方法
D．公式法
②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是 ；
任務(wù)二：請你用“公式法“解該方程．
20．（8分）已知，．
（1）求ab及a2+b2的值；
（2）求不超過a5的最大整數(shù)．
21．（8分）如圖，已知△ABC，點D在BC延長線上，且CD＝BC．
（1）求作?ACDE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若F是DE的中點，連接BF交AC于點M，連接CE交BF于點N，求的值．
22．（10分）某汽車租賃公司共有汽車50輛，市場調(diào)查表明，當(dāng)租金為每輛每日200元時可全部租出，當(dāng)租金每提高10元，租出去的汽車就減少2輛．
（1）若租金提高了40元，租出去的汽車有 輛，日收益為 元；
（2）公司希望日收益達到10160元，你認為能否實現(xiàn)？若能，求出此時的租金；若不能，請說明理由．
23．（10分）已知關(guān)于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n為整數(shù)．
（1）求證：此方程不可能有兩個相等的實數(shù)根．
（2）若方程的兩個根均為整數(shù)，求n的值．
24．（12分）綜合與實踐：
（1）活動一（閱讀經(jīng)典）
如圖1，等腰△ABC，頂角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求證：△ABD和△BCD都為等腰三角形．這個例題大家都熟悉．這個△ABC是個特殊等腰三角形，平分線把圖中等腰△ABC分成三個等腰三角形，底邊與腰的比值等于黃金分割值，我們把這種三角形稱為黃金三角形．以下是求等腰△ABC的底邊與腰的比值過程：
由△ABC、△ABD和△BCD都為等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，
設(shè)CD＝x，AD＝BD＝BC＝y(tǒng)，
因為底角∠ACB＝∠BCD，則∠BAC＝∠CBD．
所以△BDC∽△ABC，所以，得．
整理，得到，解得＝ ．
所以等腰△ABC的底邊與腰的比值等于 （保留三位小數(shù)）．
活動小結(jié)：通過輔助線（分割線），可以求得一些不是特殊圖形（包含三角形、角等常見圖形）的一些線段的比值．
（2）活動二（實踐研究）：
如圖2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求邊BC與邊AB的比值．
解：過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E．
（以上是小龍同學(xué)解此題所作的輔助線，請您幫助小龍完成剩下的解答過程．）
（3）活動三（問題解決）
在活動二（實踐研究）原有條件不變情況下，老題新增以下條件，并提出問題，請解答問題：如圖3，延長BA到點D，使得AD＝AB，連接CD，求的值．
25．（14分）如圖1，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，點E在AB上．
（1）當(dāng)AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求證：∠DCE＝45°．
（2）如圖2，延長CD及BA相交于點F，延長CE及DA相交于點G，△AED的周長為2．
①求AF?AG的值．
②連接FG，F(xiàn)G⊥CF，取FG的中點M，連接CM，作FN⊥CM，連接NG，求NG與NC的數(shù)量關(guān)系．
2024-2025學(xué)年福建省泉州市永春縣僑中聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（每題4分，共40分）
1．（4分）下列四個數(shù)，二次根式中x不可取的數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進行解答即可．
【解答】解：∵二次根式有意義，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1，
∵0＜1＜2＜3，
∴x不可取的數(shù)為0，故A正確．
故選：A．
2．（4分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義進行解題即可．
【解答】解：A、與不是同類二次根式；
B、與不是同類二次根式；
C、與不是同類二次根式；
D、＝2，與是同類二次根式；
故選：D．
3．（4分）已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積．對選項一一分析，選出正確答案．
【解答】解：A、兩邊同時乘以最簡公分母pn得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；
B、兩邊同時乘以最簡公分母mq得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；
C、兩邊同時乘以最簡公分母qm得pq＝mn，與原式相等，正確，不符合題意；
D、兩邊同時乘以最簡公分母qn得mq＝pn，與原式不相等，錯誤，符合題意；
故選：D．
4．（4分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D均在格點上，連接AD，BC交于點E，則S△ABE：S△DCE＝（ ）
A．1：3B．1：9C．3：1D．9：1
【答案】D
【分析】判定△ABE∽△DCE，由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△DCE，
∴S△ABE：S△DCE＝AB2：CD2，
∵AB＝6，CD＝2，
∴S△ABE：S△DCE＝9：1．
故選：D．
5．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△DBE∽△ABC，可判斷A不符合題意；由∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△FGC∽△ABC，可判斷B不符合題意；由＝＝，∠A＝∠A，根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明△ACH∽△ABC，可判斷C不符合題意；由△IBJ與△ABC的對應(yīng)邊不成比例，可知△IBJ與△ABC不相似，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．
【解答】解：如圖1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
故A不符合題意；
如圖2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，
∴△FGC∽△ABC，
故B不符合題意；
如圖3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
故C不符合題意；
如圖4，△IBJ與△ABC的對應(yīng)邊不成比例，
∴△IBJ與△ABC不相似，
故D符合題意，
故選：D．
6．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程的根為，則這個方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0B．x2﹣4x﹣1＝0C．x2+4x﹣5＝0D．x2﹣4x﹣2＝0
【答案】D
【分析】根據(jù)公式法解答，即可求解．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的根為，
∴二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為﹣4，常數(shù)項為﹣2，
∴這個方程為x2﹣4x﹣2＝0．
故選：D．
7．（4分）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，某款燃油汽車2月份的售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設(shè)該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，可列方程正確的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝18.63
【答案】B
【分析】首先根據(jù)2月份售價為23萬元，月平均降價率是x可得出3月份的售價為23（1﹣x）萬元，4月份的售價為23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2萬元，據(jù)此根據(jù)4月份售價為18.63萬元可列出方程，進而可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故選：B．
8．（4分）老師設(shè)計了一個“接力游戲”，用合作的方式完成二次根式的混合運算，如圖，老師把題目交給一位同學(xué)，他完成一步解答后交給第二位同學(xué)，依次進行，最后完成計算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．接力中，自己負責(zé)的式子出現(xiàn)錯誤的是（ ）
A．小明和小麗B．小麗和小紅
C．小紅和小亮D．小麗和小亮
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，對每步算式進行計算即可．
【解答】解：因為＝，
所以小明沒有出現(xiàn)錯誤．
因為＝＝，
所以小麗出現(xiàn)錯誤．
因為，
所以小紅出現(xiàn)錯誤．
因為＝，
所以小亮沒有出現(xiàn)錯誤．
故選：B．
9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則m3﹣4n2+2024的值為（ ）
A．2002B．2003C．2004D．2005
【答案】D
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，通過變形可以求得m3﹣4n2+2024的值．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝m?m2＝m（3﹣m）＝3m﹣m2＝3m﹣（3﹣m）＝4m﹣3，
∴m3﹣4n2+2024
＝4m﹣3﹣4（3﹣n）+2024
＝4m﹣3﹣12+4n+2024
＝4（m+n）+2009
＝﹣4+2009
＝2005．
故選：D．
10．（4分）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（ ）
A．15cmB．14.4cmC．13.5cmD．9cm
【答案】C
【分析】先證△CAE∽△COF得出，再證△OAB∽△OCD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出，即可求出CD的長．
【解答】解：由題意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，
∴四邊形ABOE是平行四邊形，
∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴CD＝13.5cm，
故選：C．
二.填空題（每題4分，共2A分）
11．（4分）已知四條線段6，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為 7 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
【解答】解：∵四條線段6，3，a+1，4是成比例線段，
∴6：3＝（a+1）：4，
即3（a+1）＝4×6，
解得a＝7．
故答案為：7．
12．（4分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根可知Δ＝0，即1﹣4c＝0，即可解得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝0，即1﹣4c＝0，
解得c＝；
故答案為：．
13．（4分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是 b ．
【答案】b．
【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷a與a+b和0的關(guān)系，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可得到答案；
【解答】解：由數(shù)軸可得，a＜0＜b，|a|＞|b|
∴a+b＜0，
∴，
故答案為：b．
14．（4分）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一物體從地面以9.8m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過x秒物體離地面的高度（單位：m）約為9.8x﹣4.9x2．根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過 2 秒落回到地面．
【答案】2．
【分析】根據(jù)“物體落回到地面”可得9.8x﹣4.9x2＝0，解此方程即可．
【解答】解：由題意可得：9.8x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
∴物體經(jīng)過2秒落回到地面．
故答案為：2．
15．（4分）如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形ABCD，則AB長為 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】已知圖中的①和②，③和④形狀大小分別完全相同，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可知①④能拼成一個直角三角形，②③能拼成一個直角三角形，并且這兩個直角三角形形狀大小相同，利用這兩個直角三角形即可拼成矩形；利用拼圖前后的面積相等列出方程求解即可得出答案．
【解答】解：如圖：設(shè)AB＝b，
圖1中的正方形面積為4，
∴正方形邊長為2，
直角三角形①中的長直角邊為2，
∴b（2+b）＝4，
解得：h＝﹣1（負值已舍去），
∴AB＝﹣1，
故答案為：﹣1．
16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D為直線AC左側(cè)一點．若△ABC∽△CAD，則BC+CD的最大值為 ．
【答案】．
【分析】由相似三角形的性質(zhì)得出CD＝AC2，進而求出CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，設(shè)BC＝x，則BC+CD＝﹣+，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△CAD，
∴＝，
∵AB＝3，
∴＝，
∴CD＝AC2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2，
∴CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，
設(shè)BC＝x，
∴BC+CD＝x+3﹣x2
＝﹣+
∴x＝時，BC+CD的最大值為．
故答案為：．
三.解答題（共86分）
17．（8分）計算：÷﹣×+．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先計算乘法和除法，再合并即可得．
【解答】解：原式＝﹣+2
＝4+
18．（8分）如圖，已知線段AB與CD交于點O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求證：△AOC∽△DOB．
【答案】證明過程見解析．
【分析】由已知條件證得，由相似三角形的判定可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，
∴，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB．
19．（8分）下面是小穎同學(xué)解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
解：2x2﹣3x﹣5＝0．
，第一步
，第二步
，第三步
x﹣，第四步
x﹣，或x﹣，第五步
x1＝，x2＝﹣1．第六步
任務(wù)一：
①小穎解方程的方法是 C ；
A．直接開平方法
B．因式分解法
C．配方法
D．公式法
②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是 等式的基本性質(zhì)1 ；
任務(wù)二：請你用“公式法“解該方程．
【答案】任務(wù)一：①C；②等式基本性質(zhì)一；
任務(wù)二：見解答．
【分析】任務(wù)一：根據(jù)解答過程和等式的基本性質(zhì)求解即可；
任務(wù)二：根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟求解即可．
【解答】解：任務(wù)一：①由題意知，小穎解方程的方法是配方法，
故選：C；
②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1，
故答案為：等式的基本性質(zhì)1；
任務(wù)二：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣1．
20．（8分）已知，．
（1）求ab及a2+b2的值；
（2）求不超過a5的最大整數(shù)．
【答案】（1）ab＝1，a2+b2＝3；（2）11．
【分析】（1）先求出ab和a+b的值，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入計算即可；
（2）先求出a2，a4，再計算a8＝（a4）2，最后a10＝a8?a2，即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵a＝，b＝，
∴ab＝＝＝﹣1，
a+b＝＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3；
（2）∵a2＝（）2＝，
∴a4＝（）2＝，
∴a5＝＝
∵≈2.236，
∴a5＞＞11，＜12．
因此，不超過a10的最大整數(shù)為11．
21．（8分）如圖，已知△ABC，點D在BC延長線上，且CD＝BC．
（1）求作?ACDE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若F是DE的中點，連接BF交AC于點M，連接CE交BF于點N，求的值．
【答案】（1）見解析過程；
（2）．
【分析】（1）以點C為圓心，AB為半徑畫弧，以點D為圓心，AC為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，則四邊形ACDE為平行四邊形；
（2）通過證明△BCM∽△BDF，可得DF＝2CM，通過證明△CMN∽△EFN，可求解．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）如圖，
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AC∥DE，
∴△BCM∽△BDF，
∴，
∵CD＝BC，
∴BD＝2BC，
∴DF＝2CM，
∵點F是DE的中點，
∴EF＝DF＝2CM，
∵AC∥DE，
∴△CMN∽△EFN，
∴＝＝．
22．（10分）某汽車租賃公司共有汽車50輛，市場調(diào)查表明，當(dāng)租金為每輛每日200元時可全部租出，當(dāng)租金每提高10元，租出去的汽車就減少2輛．
（1）若租金提高了40元，租出去的汽車有 42 輛，日收益為 10080 元；
（2）公司希望日收益達到10160元，你認為能否實現(xiàn)？若能，求出此時的租金；若不能，請說明理由．
【答案】（1）42；10080；
（2）日收益不能達到10160元．見解答．
【分析】（1）租金提高40元，則每日可租出（50﹣）輛，根據(jù)總租金＝每輛車的租金×租車輛數(shù)解答；
（2）根據(jù)總租金＝每輛車的租金×租車輛數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＜0，即可得出該一元二次方程無解，進而可得出日收益不能達到10160元．
【解答】解：（1）根據(jù)題意知，每日可租出：50﹣＝42（輛），
日收益為：240×42＝10080（元）．
故答案為：42；10080；
（2）假設(shè)能實現(xiàn)，租金提高x元，
依題意，得：（200+x）（50﹣）＝10160，
整理，得：x2﹣50x+800＝0，
∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×800＜0，
∴該一元二次方程無解，
∴日收益不能達到10160元．
23．（10分）已知關(guān)于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n為整數(shù)．
（1）求證：此方程不可能有兩個相等的實數(shù)根．
（2）若方程的兩個根均為整數(shù)，求n的值．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）10或﹣18或0或﹣8．
【分析】（1）先求出該方程根據(jù)的判別式為16（n+4）2﹣232，再根據(jù)n為整數(shù)得16（n+4）2﹣232≠0，由此可得出答案；
（2）將該方程配方得（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，進而得（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，然后根據(jù)x，n均為整數(shù)，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），將該方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于n，x的方程中，然后解方程組求出n的值就可．
【解答】證明：（1）對于方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，
根的判別式為：（﹣6）2﹣4×（﹣4n2﹣32n）
＝16n2+128n+36
＝16（n+4）2﹣232，
∵n為整數(shù)，
∵16（n+4）2是一個整數(shù)的平方，232不是完全平方數(shù)，
∴當(dāng)n為整數(shù)時，16（n+4）2﹣232≠0，
∴此方程不可能有兩個相等的實數(shù)根．
（2）x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，
配方得：x2﹣6x+9﹣（4n2+32n+64）+55＝0，
∴（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，
∴（2n+8+x﹣3）（2n+8﹣x+3）＝55，
即（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，
∵x，n均為整數(shù)，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），
∴或或或或或或或，
由或，解得：n＝10；
由或，解得：n＝﹣18；
由或，解得：n＝0；
由或，解得：n＝﹣8，
當(dāng)n＝10時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x﹣720＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合題意；
當(dāng)n＝﹣18時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x﹣720＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合題意；
當(dāng)n＝0時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝6，符合題意；
當(dāng)n＝﹣8時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝6，符合題意，
綜上所述：當(dāng)方程的兩個根均為整數(shù)，n的值為10或﹣18或0或﹣8．
24．（12分）綜合與實踐：
（1）活動一（閱讀經(jīng)典）
如圖1，等腰△ABC，頂角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求證：△ABD和△BCD都為等腰三角形．這個例題大家都熟悉．這個△ABC是個特殊等腰三角形，平分線把圖中等腰△ABC分成三個等腰三角形，底邊與腰的比值等于黃金分割值，我們把這種三角形稱為黃金三角形．以下是求等腰△ABC的底邊與腰的比值過程：
由△ABC、△ABD和△BCD都為等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，
設(shè)CD＝x，AD＝BD＝BC＝y(tǒng)，
因為底角∠ACB＝∠BCD，則∠BAC＝∠CBD．
所以△BDC∽△ABC，所以，得．
整理，得到，解得＝ ．
所以等腰△ABC的底邊與腰的比值等于 0.618 （保留三位小數(shù)）．
活動小結(jié)：通過輔助線（分割線），可以求得一些不是特殊圖形（包含三角形、角等常見圖形）的一些線段的比值．
（2）活動二（實踐研究）：
如圖2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求邊BC與邊AB的比值．
解：過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E．
（以上是小龍同學(xué)解此題所作的輔助線，請您幫助小龍完成剩下的解答過程．）
（3）活動三（問題解決）
在活動二（實踐研究）原有條件不變情況下，老題新增以下條件，并提出問題，請解答問題：如圖3，延長BA到點D，使得AD＝AB，連接CD，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）2﹣．
【分析】（1）解一元二次方程求得結(jié)果；
（2）過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E，∠B＝∠ABC＝＝75°，進而求得∠ABD＝∠EDB＝45°，從而得出BC＝DB＝，設(shè)DE＝BE＝a，可表示出BD＝，AE＝，AB＝BE+AE＝（，進而得出結(jié)果；
（3）作∠CBH＝60°，BH交CD于H，可得出∠ACD＝∠D＝15°，進而得出∠D＝∠DBH，從而DH＝BH，設(shè)CB＝k，則DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，從而CD＝DH+CH＝（2+，進而得出結(jié)果．
【解答】解：（1）由得，
＝，
∵，
∴≈，
故答案為：；
（2）如圖1，
過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E，
∴BD＝BC，∠BED＝90°，
∴∠C＝∠BDC，
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠ABC＝＝75°，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝75°﹣30°＝45°，
∴∠BED＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴BC＝DB＝，
設(shè)DE＝BE＝a，
∴BD＝，AE＝，
∴AB＝BE+AE＝（，
∴；
（3）如圖2，
作∠CBH＝60°，BH交CD于H，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠D+∠ACD＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠D＝15°，
由（2）知，∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°，
∴∠CHB＝90°﹣∠CBH＝30°，
∴∠DBH＝∠CHB﹣∠D＝15°，
∴∠D＝∠DBH，
∴DH＝BH，
設(shè)CB＝k，則DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，
∴CD＝DH+CH＝（2+，
∴．
25．（14分）如圖1，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，點E在AB上．
（1）當(dāng)AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求證：∠DCE＝45°．
（2）如圖2，延長CD及BA相交于點F，延長CE及DA相交于點G，△AED的周長為2．
①求AF?AG的值．
②連接FG，F(xiàn)G⊥CF，取FG的中點M，連接CM，作FN⊥CM，連接NG，求NG與NC的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）證明見解答；
（2）①AF?AG＝2；
②NC＝NG，理由見解答．
【分析】（1）如圖1，連接AC交DE于P，先根據(jù)題意可知：△ABC是等腰直角三角形，則∠ACB＝∠BAC＝45°，再由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答；
（2）①如圖2，過點C作CH⊥AD，交AD的延長線于H，延長AB至O，使OB＝DH，連接CO，AC，證明四邊形HABC是正方形，則CH＝CB＝AH＝1，∠ACB＝45°，再證明△CHD≌△CBO（SAS），根據(jù)△AED的周長為2，得DH+EB＝DE，最后證明△DCE≌△OCE（SSS）和△CAF∽△GAC，即可解答；
②如圖3，過點G作GQ⊥CM，交CM的延長線于Q，證明△CBF≌△FAG（AAS），得AF＝BC＝1，由勾股定理計算CF的長，可得FM＝CM＝，由三角形的面積計算FN＝1，證明△FMN≌△GMQ（AAS），則GM＝MN＝，QG＝FN＝1，從而可以解答．
【解答】（1）證明：如圖1，連接AC交DE于P，
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣45°＝45°＝∠CAB，
∵AD＝AE，
∴DP＝EP，AC⊥DE，
∴AC是DE的垂直平分線，
∴CD＝CE，
∴∠DCE＝2∠DCP，
∵∠DCE＝2∠BCE，
∴∠DCP＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠DCP+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝45°；
（2）解：①如圖2，過點C作CH⊥AD，交AD的延長線于H，延長AB至O，使OB＝DH，連接CO，AC，
∴∠H＝∠HAB＝∠ABC＝90°，
∴四邊形HABC是矩形，
∵AB＝BC＝1，
∴矩形HABC是正方形，
∴CH＝CB＝AH＝1，∠ACB＝45°，
∵∠H＝∠CBO＝90°，
∴△CHD≌△CBO（SAS），
∴∠DCH＝∠BCO，CD＝CO，
∴∠DCO＝∠HCB＝90°，
∵△AED的周長為2，
∴AD+DE+AE＝2，
∵AH+AB＝2，
∴DH+EB＝DE，
∴OB+BE＝DE＝OE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△OCE（SSS），
∴∠DCE＝∠ECO＝×90°＝45°，
∵∠ACB＝∠DCE＝45°，
∴∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠ACF，
∴∠BCE＝∠ACF，
∵GH∥BC，
∴∠G＝∠BCE，
∴∠G＝∠ACF，
∵∠CAF＝90°+45°＝135°＝∠CAG，
∴△CAF∽△GAC，
∴＝，
∴AF?AG＝AC2＝12+12＝2；
②NC＝NG，理由如下：
如圖3，過點G作GQ⊥CM，交CM的延長線于Q，
由①知：∠FCG＝45°，
∵CF⊥FG，
∴∠CFG＝90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，∠BFC+∠BFG＝90°，
∴CF＝FG，
∵∠B＝∠FAG＝90°，
∴∠BFC+∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠AFG，
∴△CBF≌△FAG（AAS），
∴AF＝BC＝1，
∴BF＝1+1＝2，
由勾股定理得：CF＝FG＝＝，
∵M是CF的中點，
∴FM＝CM＝，
∴CM＝＝＝，
∵S△CFM＝?FM?CF＝?CM?FN，
∴××＝××FN，
∴FN＝1，
∴CN＝＝＝2，
∴MN＝﹣2＝，
∵FN⊥CQ，GQ⊥CQ，
∴∠Q＝∠FNM＝90°，
∵FM＝MG，∠FMN＝∠QMG，
∴△FMN≌△GMQ（AAS），
∴GM＝MN＝，QG＝FN＝1，
由勾股定理得：NG＝＝，
∵NC＝2，
∴NC＝NG。

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