（滿分：150分；考試時間：120分鐘）
友情提示：所有答案必須填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.
學(xué)校 班級 姓名 考號
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是
A．B．C．D．
3．要使二次根式有意義，的值可以是
A．B．1C．2D．4
4．利用位似可以設(shè)計有立體感的美術(shù)字．如圖，以點為
位似中心，設(shè)計“”中字母“”美術(shù)字的一種
方法．若，，則的值為
A． B． C． D．
5．將方程化成的形式，則的值為
A．B．C．0D．4
6．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師與學(xué)生們做“用頻率估計概
率”的試驗：不透明袋子中有4個黑球、3個白
球、2個藍球和1個紅球，這些球除顏色外無其
他差別．從袋子中隨機取出一個球，某一顏色
的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該種球的顏色最
有可能是
A．黑球B．白球C．藍球D．紅球
7．如圖，小紅同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖，
若圖中的虛線相互平行，則點表示的數(shù)是
A．B．
C．D．
8．中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中蘊含著鼓勵勞動、贊美勞動、勞動創(chuàng)造美好生活的內(nèi)容，
比如《大戴禮·武王踐祚·履屢銘》中記載：“慎之勞，則富．”《國語·魯語》
中記載：“夫民勞則思，思則善心生．”如圖是某學(xué)
校的學(xué)生勞動實踐基地，有三條同寬的矩形道路，
除道路外，剩下的是種植面積．已知該矩形基地的
長為32米，寬為20米，種植面積為570平方米，
設(shè)勞動實踐基地的道路寬為米，則可列方程
A．B．
C．D．
9．在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，小明想利用簡單的工具求
一電線桿的高度．如圖，是電線桿的一根拉線，
用皮尺量得米，用測角儀測得，則
電線桿的高度為
A．米B．米C．米D．米
10．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個實數(shù)根，且滿足，則的值為
A．B．C．D．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．若，則的值為 ．
12．杜牧《清明》詩中寫道“清明時節(jié)雨紛紛”，從數(shù)學(xué)的觀點看，詩句中描述的
事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“隨機”）
13．如圖，已知傳送帶與地面所成坡面的坡度為，它把物體從地面點送到離地面2米高的點處，則物體從到所經(jīng)過的路程為 米．
14．如果最簡二次根式與是同類二次
根式，則 ．
15．如圖，在△中，點是△的重心，連結(jié)
并延長交于點，過點作交
于點，如果，那么 ．
16．如圖，正方形中，點、分別是、的
中點，交于點，連結(jié)并延長交于
點，與對角線交于點，現(xiàn)有以下列結(jié)論：
①；②；
③；④；
其中正確結(jié)論有 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（8分）計算：．
18．（8分）解方程：．
19．（8分）有四張形狀和大小完全一樣的卡片，正面分別寫有“決”“勝”“中”“考”，將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取兩張，請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到的兩張卡片中有“勝”卡片的概率．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△的頂點均在網(wǎng)格格點上．
（1）以點為位似中心，在第一象限畫出△的位似圖形△，使
△與△的相似比為；
（2）在（1）的條件下，若每個小正方形的面積為1，請直接寫出△的面積．

21．（8分）?2024年11月16日英都坂頭蘆柑園正式開園采摘，其果肉細膩柔軟，汁水豐盈，酸甜度恰到好處，既不過于甜膩，又非酸澀，具有獨特的清新香氣，令人回味無窮，深受消費者喜愛．某水果店以批發(fā)價40元箱的價格購進一批?坂頭蘆柑，若以50元箱的零售價出售，則每天可售出20箱．為了更好地促進鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展，該水果店決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每箱的售價每降價1元，每天可多售出5箱．該水果店想要每天通過銷售坂頭蘆柑盈利240元，又要盡可能讓顧客得到實惠，應(yīng)將每箱蘆柑的售價降低多少元？
22．（10分）已知關(guān)于的一元二次方程滿足．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若一元二次方程的兩實根為，，且，請確定之間
的數(shù)量關(guān)系．
23．（10分）為了保護視力，某人購買了可升降夾書閱讀架（圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（圖2），測得面板長為cm，底座高為cm，，支架為cm，為cm．（厚度忽略不計）
（1）求支點離桌面的高度（結(jié)果保留根號）；
（2）通過查閱資料，當(dāng)面板繞點轉(zhuǎn)動時，面板與桌面的夾角滿足時，能保護視力．當(dāng)從變化到的過程中，問面板上端離桌面的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少cm？請說明理由．（結(jié)果精確到cm，參考數(shù)據(jù)：，，，，
24.（12分）綜合與實踐
【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們開展了“折疊矩形紙片做角”
的探究活動，先將矩形紙片按如圖1上下對折，折痕為；點是
線段上的點，再把△按如圖2沿折疊，使點剛好落在上的
點，連結(jié)，，則.活動后，老師鼓勵同
學(xué)們能通過折疊手中的矩形紙片發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.

【活動猜想】（1）小華受此問題啟發(fā)，將準(zhǔn)備的一張A4紙（生活常識：一張A4紙寬為cm，長為cm），按如圖3的方式把△沿折疊得到△，經(jīng)觀察后得到猜想：當(dāng)，，三點共線時，△是一個特殊的三角形.請直接寫出：△是_______________三角形；
【探究遷移】（2）如圖4，小明和小亮把△沿折疊，使點的對應(yīng)點落在上，連結(jié)，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：
①若，，求的長；
②當(dāng)，，三點共線時，求sin的值．

25.（14分）如圖，在Rt△中，，，，是線段
上的點，且滿足tan，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié).
（1）求證：；
（2）連結(jié)交線段于點，求的值；
（3）點在直線上，當(dāng)時，求的長.
南安市2024－2025學(xué)年度上學(xué)期初中期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
初三年數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
說明：
（一）考生的正確解法與“參考答案”不同時，可參照“參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)”的精神進行評分．
（二）如解答的某一步出現(xiàn)錯誤，這一步?jīng)]有改變后續(xù)部分的考查目的，可酌情給分，但原則上不超過后面應(yīng)得的分?jǐn)?shù)的二分之一；如屬嚴(yán)重的概念性錯誤，就不給分．
（三）以下解答各行右端所注分?jǐn)?shù)表示正確做完該步應(yīng)得的累計分?jǐn)?shù)．
（四）評分最小單位是1分，得分或扣分都不出現(xiàn)小數(shù)．
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1．A 2．C 3．D 4．A 5．B
6．C 7．B 8．D 9．B 10．A
二、填空題（每小題4分，共24分）
11． 12．隨機 13．
14． 15． 16．①③④
三、解答題（共86分）
17．（8分）
解：原式＝6分
＝8分
18．（8分）
解：1分
2分
4分
6分
∴
解得8分
19．（8分）
解：由題可得：
5分
共有12種等可能的結(jié)果6分
其中抽出的卡片中有“勝”的結(jié)果有6種7分
∴．8分
20．（8分）
解：（1）如圖所示，△即為所求．
5分
∴點
（2）△的面積為12．8分
21．（8分）
解：設(shè)每箱?蘆柑降低元，則每箱?蘆柑的銷售利潤為元，平均每天可售出箱1分
根據(jù)題意得：
4分
整理得：
解得：，，6分
∵盡可能讓顧客得到實惠
∴7分
答：應(yīng)將售價降低4元．8分
22．（10分）
解：（1）∵
∴1分
∴2分
∵是關(guān)于的一元二次方程
∴3分
∴，
又
∴4分
∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．5分
（2）∵方程的兩實根為；，
∴，，6分
又∵，
∴，7分
∴8分
∵
∴，
整理得：
∴
∴之間的數(shù)量關(guān)系為．10分
23．（10分）
解：（1）如圖2，作于點，作于點，
∴，，……1分
在△中，，
∴cm，………2分
∴cm， ……………3分
∴支點離桌面的高度為cm；4分
（2）當(dāng)面板與桌面夾角從變化到的過程中，面板上端離桌面的高度隨之增加，增加了8 cm，理由如下：
如圖3，延長交于點，，過作于點，
=24cm，=6cm，
cm，
①當(dāng)時，在△中，，
∴，
∴cm，5分
∴cm，
在△中，，
∴cm，6分
②當(dāng)時，在△中，，
∴，
∴cm，7分
∴cm，
在△中，，
∴cm，8分
∴cm，9分
答：當(dāng)面板與桌面夾角從變化到的過程中，面板上端離
桌面的高度隨之增加，增加了cm．10分
24．（12分）
（1）△是 等腰直角 三角形3分
（2）①如圖4，過點作于點，
在Rt△中，4分
由△沿折疊得到△，
則△≌△
∴5分
∵∥
∴△∽△
∴，即
∴
∴6分
在Rt△中，．7分
②當(dāng)，，三點共線時，如圖5，
由△沿折疊得到△，
則△≌△
∴
，8分
設(shè)
∵∥
∴
∴
∴，
9分
∵∥
∴△∽△
∴10分
即
解得 11分
在Rt△中，sin．12分
25.（14分）
（1）證明：如圖1，在Rt△中，
∵tan，
∴，1分
由旋轉(zhuǎn)的特征，得：
∴2分
在△和△中
∴△≌△3分
∴
∴4分
（2）解：如圖2，過點作∥交于點
∴△∽△
∴，
即
∴5分
由（1）知∥，
∴∥
∴△∽△6分
∴
即
∴7分
∵
∴8分
（3）解：在Rt△中，
①當(dāng)點在點下方時，
如圖3，連結(jié)，過點作于點
在Rt△中，tan
設(shè)，則
在Rt△和Rt△中
tan9分
∴
∵
∴
解得：
∴10分
在Rt△中，sin
在Rt△中，sin
∴
∴
∴11分
②當(dāng)點在點上方時，
如圖4，連結(jié)，
過點作交的延長線于點
在Rt△中，tan
設(shè)，則
在Rt△和Rt△中
∵
∴
∴12分
∴
∴
∴13分
在Rt△和Rt△中
∵
∴
∴
∴
∴
綜上所述：的長為14分

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