A．3B．2C．1D．﹣1
2．（2分）2024年巴黎奧運會項目圖標設(shè)計，不僅注重刻畫運動員運動狀態(tài)，更注重項目本身的展示．下列項目圖標既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向右平移3個單位，再向下平移1個單位，所得到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x+3）2﹣1
C．y＝2（x﹣3）2+1D．y＝2（x﹣3）2﹣1
4．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點B的對應(yīng)點E恰好落在邊AC上，點A的對應(yīng)點為D，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．BC＝CEB．∠D＝∠AC．CE＝AED．AB⊥DE
5．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，若∠A＝48°，∠B＝32°，則∠APD的大小為（ ）
A．100°B．80°C．40°D．16°
6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是x＝0，則a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
7．（2分）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，連結(jié)OB，OC．若∠DOE＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．95°B．100°C．105°D．130°
8．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2），D（5，﹣1），y是關(guān)于x的二次函數(shù)，拋物線y經(jīng)過點A，B，C．拋物線y2經(jīng)過點B，C，D，拋物線y3經(jīng)過點A、B，D，拋物線y4經(jīng)過點A，C，D．下列判斷其中正確的是（ ）
①四條拋物線的開口方向均向下；
②當x＜0時，四條拋物線表達式中的y均隨x的增大而增大；
③拋物線y1的頂點在拋物線y2頂點的上方；
④拋物線y4與y軸交點在點B的上方．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
二.填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2﹣2x+ ＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
10．（2分）在圓形展廳的邊緣點A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是63°，為了監(jiān)控整個展廳，小聰建議在圓形邊緣上最少共安裝 臺這樣的監(jiān)視器．
11．（2分）如圖，學(xué)校計劃在一塊長50m，寬20m的矩形空地內(nèi)修建兩塊相同的矩形綠地，使得兩塊矩形綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，若兩個矩形綠地面積共520m2，那么人行通道的寬度是多少米．設(shè)人行通道的寬度是x米，可列方程為 ．
12．（2分）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象上有A(-12，y1)，B（1，y2），C（5，y3）三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 （用“＜”連接）．
13．（2分）工人師傅對殘破的圓形古畫進行修復(fù)，將直角尺的三個頂點A，C，B落在圓上，測得AC＝6cm，BC＝8cm，則這幅圓形古畫的半徑是 cm．
14．（2分）如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象中，觀察得出下面五條信息：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正確的是 ．
15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以（3，0）為圓心作⊙P，⊙P與x軸交于A、B，與y軸交于點C（0，4），Q為⊙P上不同于A、B的任意一點，連接QA、QB，過P點分別作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．當Q點在⊙P上順時針從點A運動到點B的過程中，則PE2+PF2的值是 ．
16．（2分）如圖，拋物線y＝x2﹣4與x軸交于A，B兩點，點P是以拋物線的頂點C為圓心，2為半徑的圓上的動點，點Q是線段PB的中點，連接OQ則線段OQ的最大值是 ．
三.解答題（共68分，第17題6分，18題-20題，每題5分，第21題4分，22題6分，23題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2+6x﹣2＝0．
18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0．
（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）如果此方程有一個根小于1，求m的取值范圍．
19．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的點坐標分別是A（1，1），B（2，3），C（4，2），
（1）以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針轉(zhuǎn)動90°，得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，則∠CAB1＝ ；
（2）畫出△ABC關(guān)于點O（0，0）的中心對稱圖形△A2B2C2；
（3）若△ABC上有一點P（m，n），則△A2B2C2上對應(yīng)點P2的坐標 ．
20．（5分）已知二次函數(shù)的函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）判斷點P（4，﹣10） 該函數(shù)的圖象上（填“在”或“不在”）．
21．（4分）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：線段BD，使得點D在線段AC上，且∠CBD=12∠BAC．
作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；
②以點C為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點P（不與點B重合）；
③連接BP交AC于點D．
線段BD就是所求作的線段．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：連接PC．
∵AB＝AC，
∴點C在⊙A上．
∵點P在⊙A上，
∴∠CPB=12∠BAC （填推理的依據(jù)）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ．
∴∠CBD=12∠BAC
22．（6分）已知：二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3．
（1）將函數(shù)解析式化為 y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）補全表格，用描點法畫出該函數(shù)的圖象；
（3）結(jié)合圖象回答下列問題
①函數(shù)y＞0時，x的取值范圍 ；
②當﹣1＜x＜2時，y的取值范圍 ；
③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有實根，則m最大值是 ．
23．（5分）如圖，學(xué)校搭建一款拱門示意圖，其中拱門最下端AB＝2米，點C為AB的中點，點D為拱門最高點，圓心O在線段CD上，CD＝3米，求拱門所在圓的半徑．
24．（6分）某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝﹣x2+4|x|﹣3的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整：
（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)數(shù)值如表：
其中m＝ ．
（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中描出了以上表中各對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
①函數(shù)圖象與x軸有 個交點，則對應(yīng)的方程﹣x2+4|x|﹣3＝0有 個實數(shù)根；
②當﹣2≤x＜2時，則y的取值范圍為 ；
③直線y＝kx+b經(jīng)過點（﹣2，1），若關(guān)于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝kx+b有4個互不相等的實數(shù)根，則b的取值范圍 ．
25．（6分）乒乓球作為中國的國球，是一項深受大眾喜愛的體育運動，小聰和小明打球時發(fā)現(xiàn)乒乓球運動路線近似看成拋物線的一部分．愛思考的他倆建立如圖所示的平面直角坐標系，小聰?shù)谝淮伟l(fā)球時，乒乓球從拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）與水平距離x（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出小聰?shù)谝淮伟l(fā)球時乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）
（2）小聰?shù)谝淮伟l(fā)球后乒乓球第一次落在球桌時恰好在球桌邊緣，第二次他發(fā)球時，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）與水平距離x（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣0.005（x﹣70）2+36（a＜0），請你判斷小聰?shù)诙伟l(fā)球時，乒乓球第一次落在球桌 超出球桌邊緣（填“是”，“否”）．
26．（6分）已知拋物線y＝mx2﹣2m2x（m＞0）
（1）拋物線過點（1，﹣1），則m＝ ；
（2）拋物線經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若對于1＜x1＜3，且x2＝m+2都有y1＞y2，求m的取值范圍．
27．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，點E在射線AB上（不與點A，B重合），將線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段ED，連接AD，取AD中點F，連接FE．
（1）如圖1，若點E是AB中點時，點D，B，C恰好在一條直線上，用等式表示線段EF和BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當點E在射線AB上時，（1）中的結(jié)論是否成立，在圖2，圖3中任選一種情況完成證明．
28．（7分）定義：在平面直角坐標系xOy中，對于⊙M內(nèi)的一點P，若在⊙M外存在點P′，使得MP'＝2MP，則稱點P為⊙M的“內(nèi)半點”．
（1）當⊙O的半徑為4時．
①在點P1(3，2)，P2（﹣2，0），P3(-1，5)中是⊙O的“內(nèi)半點”的是 ；
②已知一次函數(shù)y＝kx﹣4k，若一次函數(shù)在第一象限的圖象上的所有點都是⊙O的“內(nèi)半點”，求k的取值范圍；
（2）已知點M（m，0），B（0，﹣2），C（2，﹣2），⊙M的半徑為6，若線段BC上存在⊙M的“內(nèi)半點”．直接寫出m的取值范圍．
2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（本題共24分，每小題2分）
1．（2分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0一次項系數(shù)是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【答案】D
【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+3＝0一次項系數(shù)是﹣1，
故選：D．
2．（2分）2024年巴黎奧運會項目圖標設(shè)計，不僅注重刻畫運動員運動狀態(tài)，更注重項目本身的展示．下列項目圖標既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；
C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選：B．
3．（2分）把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向右平移3個單位，再向下平移1個單位，所得到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x+3）2﹣1
C．y＝2（x﹣3）2+1D．y＝2（x﹣3）2﹣1
【答案】D
【解答】解：把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向右平移3個單位，再向下平移1個單位，所得到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達式是y＝2（x﹣3）2﹣1，
故答案為：D．
4．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點B的對應(yīng)點E恰好落在邊AC上，點A的對應(yīng)點為D，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．BC＝CEB．∠D＝∠AC．CE＝AED．AB⊥DE
【答案】C
【解答】解：如圖，延長DE交AB于H，
∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴BC＝CE，∠A＝∠D，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠D＝90°，
∴∠BHD＝90°，
∴DE⊥AB，
故選：C．
5．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，若∠A＝48°，∠B＝32°，則∠APD的大小為（ ）
A．100°B．80°C．40°D．16°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝32°，
∴∠B＝∠C＝32°，
∵∠APD是△ACP的一個外角，
∴∠APD＝∠A+∠C＝48°+32°＝80°，
故選：B．
6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是x＝0，則a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
【答案】A
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是x＝0，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1，
故選：A．
7．（2分）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，連結(jié)OB，OC．若∠DOE＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．95°B．100°C．105°D．130°
【答案】B
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故選：B．
8．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2），D（5，﹣1），y是關(guān)于x的二次函數(shù)，拋物線y經(jīng)過點A，B，C．拋物線y2經(jīng)過點B，C，D，拋物線y3經(jīng)過點A、B，D，拋物線y4經(jīng)過點A，C，D．下列判斷其中正確的是（ ）
①四條拋物線的開口方向均向下；
②當x＜0時，四條拋物線表達式中的y均隨x的增大而增大；
③拋物線y1的頂點在拋物線y2頂點的上方；
④拋物線y4與y軸交點在點B的上方．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】C
【解答】解：由拋物線y1經(jīng)過點A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2）可得y1=-34x2+94x+2，
同理可得y2=-310x2+910x+2，y3=-35x2+125x+2，y4=-38x2+32x+78，
∵-34＜0，-310＜0，-35＜0，-38＜0，
∴四條拋物線的開口方向均向下，故①正確；
∵四條拋物線表達式中二次項系數(shù)與一次項系數(shù)都異號，
∴四條拋物線的對稱軸都在y軸右側(cè)，
∴當x＜0時，四條拋物線表達式中的y均隨x的增大而增大，故②正確；
∵y1=-34x2+94x+2=-34（x-32）2+5916，y2=-310x2+910x+2=-310（x-32）2+10740，
∴拋物線y1的頂點（32，5916）在拋物線y2頂點（32，10740）的上方，故③正確；
在y4=-38x2+32x+78中，令x＝0得y=78，
∴拋物線y4與y軸交點（0，78）在點B（0，2）的下方，故④錯誤；
故選：C．
二.填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
【答案】0（答案不唯一）．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案為：0（答案不唯一）．
10．（2分）在圓形展廳的邊緣點A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是63°，為了監(jiān)控整個展廳，小聰建議在圓形邊緣上最少共安裝 3 臺這樣的監(jiān)視器．
【答案】3．
【解答】解：如圖：連接OB，OC，
∵∠BAC＝63°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝126°，
∵360÷126°≈3，
∴為了監(jiān)控整個展廳，小聰建議在圓形邊緣上最少共安裝3臺這樣的監(jiān)視器，
故答案為：3．
11．（2分）如圖，學(xué)校計劃在一塊長50m，寬20m的矩形空地內(nèi)修建兩塊相同的矩形綠地，使得兩塊矩形綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，若兩個矩形綠地面積共520m2，那么人行通道的寬度是多少米．設(shè)人行通道的寬度是x米，可列方程為 （50﹣3x）（20﹣2x）＝520 ．
【答案】（50﹣3x）（20﹣2x）＝520．
【解答】解：∵矩形空地長50m，寬20m，且人行通道的寬度是x米，
∴兩塊矩形綠地可合成長為（50﹣3x）m，寬為（20﹣2x）m．
根據(jù)題意得：（50﹣3x）（20﹣2x）＝520．
故答案為：（50﹣3x）（20﹣2x）＝520．
12．（2分）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象上有A(-12，y1)，B（1，y2），C（5，y3）三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 y3＜y1＜y2 （用“＜”連接）．
【答案】y3＜y1＜y2．
【解答】解：當x=-12時，y1＝﹣（-12-2）2=-254；
當x＝1時，y1＝﹣（1﹣2）2＝﹣1；
當x＝5時，y1＝﹣（5﹣2）2＝﹣9．
∵﹣9＜-254＜-1，
∴y3＜y1＜y2．
故答案為：y3＜y1＜y2．
13．（2分）工人師傅對殘破的圓形古畫進行修復(fù)，將直角尺的三個頂點A，C，B落在圓上，測得AC＝6cm，BC＝8cm，則這幅圓形古畫的半徑是 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AB是圓的直徑，
在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10（cm），
∴這幅圓形古畫的半徑是5cm，
故答案為：5．
14．（2分）如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象中，觀察得出下面五條信息：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正確的是 ①⑤ ．
【答案】①⑤．
【解答】解：∵對稱軸為x＝1，
∴x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a．
∴2a+b＝0，
由題意，∵a＜0，
∴b＞0．
又與y軸交點在y軸正半軸上，
∴c＞0．
∴abc＜0，故①正確，②錯誤．
如圖所示，拋物線與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，故③錯誤；
∴當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，故④錯誤．
∵對稱軸為x＝1，且取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c．（m≠1）
∴a+b＞m（am+b），故⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有：①⑤．
故答案為：①⑤．
15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以（3，0）為圓心作⊙P，⊙P與x軸交于A、B，與y軸交于點C（0，4），Q為⊙P上不同于A、B的任意一點，連接QA、QB，過P點分別作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．當Q點在⊙P上順時針從點A運動到點B的過程中，則PE2+PF2的值是 25 ．
【答案】25．
【解答】解：連接PC，
∵P的坐標是（3，0），C的坐標是（0，4），
∴OP＝3，OC＝4，
∴PC2＝PO2+OC2＝25，
∵PF⊥BQ，
∴BF＝FQ，
∵AB是圓的直徑，
∴∠Q＝90°，
∵PE⊥AQ，
∴四邊形PEQF是矩形，
∴PE＝FQ，
∴PE＝BF，
∵PF2+BF2＝PB2＝PC2＝25，
∴PF2+PE2＝25．
故答案為：25．
16．（2分）如圖，拋物線y＝x2﹣4與x軸交于A，B兩點，點P是以拋物線的頂點C為圓心，2為半徑的圓上的動點，點Q是線段PB的中點，連接OQ則線段OQ的最大值是 5+1 ．
【答案】5+1．
【解答】解：連接AP，AC，設(shè)AC的延長線交⊙C于E，如圖所示：
對于拋物線y＝x2﹣4，當x＝0時，y＝﹣4，當y＝0時，x＝﹣2，或x＝2，
∴點A（﹣2，0），點B（2，0），點C（0，﹣4），
∴OA＝OB＝2，OC＝4，
∵點Q是BP的中點，
∴OQ是△ABP的中位線，
∴OQ=12AP，
∴當AP為最大時，PQ為最大，
根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可知：點A到⊙C上各點的距離中，AE為最大，
∴當點P與點E重合時，OQ為最大，最大值為12AE，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC=OA2+OC2=25，
∵⊙C的半徑為2，
∴AE＝AC+CE=25+2，
∴12AE=5+1，
∴OQ的最大值為5+1．
故答案為：5+1．
三.解答題（共68分，第17題6分，18題-20題，每題5分，第21題4分，22題6分，23題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2+6x﹣2＝0．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；
（2）x1＝﹣3+11，x2＝﹣3-11．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）x2+6x﹣2＝0，
x2+6x＝2，
x2+6x+9＝2+9，
（x+3）2＝11，
x+3＝±11，
x1＝﹣3+11，x2＝﹣3-11．
18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0．
（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）如果此方程有一個根小于1，求m的取值范圍．
【答案】（1）證明見解答；
（2）m≤0
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4（2m﹣2）＝m2+2m+1﹣8m+8＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，
∵無論m為何值，總有（m﹣3）2≥0，
∴無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：原方程可化為（x+2）（x+m﹣1）＝0
解得：x1＝﹣m+1，x2＝﹣2，
∵方程有一個根小于1，且﹣2＜1，
∴﹣m+1≥1，
∴m≤0．
19．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的點坐標分別是A（1，1），B（2，3），C（4，2），
（1）以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針轉(zhuǎn)動90°，得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，則∠CAB1＝ 45° ；
（2）畫出△ABC關(guān)于點O（0，0）的中心對稱圖形△A2B2C2；
（3）若△ABC上有一點P（m，n），則△A2B2C2上對應(yīng)點P2的坐標 （﹣m，﹣n） ．
【答案】（1）畫圖見解答；45°．
（2）見解答．
（3）（﹣m，﹣n）．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
由勾股定理得，AC=32+12=10，AB1=22+12=5，CB1=22+12=5，
∴AB12+CB12=AC2，AB1＝CB1，
∴∠AB1C＝90°，
∴△CAB1為等腰直角三角形，
∴∠CAB1＝45°．
故答案為：45°．
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
（3）由題意得，點P2的坐標為（﹣m，﹣n）．
故答案為：（﹣m，﹣n）．
20．（5分）已知二次函數(shù)的函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）判斷點P（4，﹣10） 不在 該函數(shù)的圖象上（填“在”或“不在”）．
【答案】不在．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，
把（﹣1，4），（0，3），（1，0）分別代入得a-b+c=4c=3a+b+c=0，
解得a=-1b=-2c=3，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵當x＝4時，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣16﹣8+3＝﹣21≠﹣10，
∴P（4，﹣10）不在該函數(shù)的圖象上．
故答案為：不在．
21．（4分）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：線段BD，使得點D在線段AC上，且∠CBD=12∠BAC．
作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；
②以點C為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點P（不與點B重合）；
③連接BP交AC于點D．
線段BD就是所求作的線段．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：連接PC．
∵AB＝AC，
∴點C在⊙A上．
∵點P在⊙A上，
∴∠CPB=12∠BAC （圓周角定理） （填推理的依據(jù)）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ∠CPB ．
∴∠CBD=12∠BAC
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）如圖，BD為所作；
（2）證明：連接PC，如圖，
∵AB＝AC，
∴點C在⊙A上．
∵點P在⊙A上，
∴∠CPB=12∠BAC（圓周角定理），
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝∠CPB，
∴∠CBD=12∠BAC．
故答案為：圓周角定理；∠CPB．
22．（6分）已知：二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3．
（1）將函數(shù)解析式化為 y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）補全表格，用描點法畫出該函數(shù)的圖象；
（3）結(jié)合圖象回答下列問題
①函數(shù)y＞0時，x的取值范圍 ﹣1＜x＜3 ；
②當﹣1＜x＜2時，y的取值范圍 0＜y≤4 ；
③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有實根，則m最大值是 4 ．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）0，3，4，3，0；
（3）①﹣1＜x＜3；
②0＜y≤4；
③4．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）當x＝﹣1時，y＝﹣x2+2x+3＝0；
當x＝0時，y＝﹣x2+2x+3＝3；
當x＝1時，y＝﹣x2+2x+3＝4；
當x＝2時，y＝﹣x2+2x+3＝3；
當x＝3時，y＝﹣x2+2x+3＝0；
故答案為：0，3，4，3，0；
如圖，
（3）①當y＞0，x的取值范圍為﹣1＜x＜3；
故答案為：﹣1＜x＜3；
②當x＝﹣1時，y＝0；
當x＝2時，y＝3，
當x＝1時，y有最大值4，
當﹣1＜x＜2時，y的取值范圍為0＜y≤4；
故答案為：0＜y≤4；
③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3變形為方程﹣x2+2x+3＝m，
當拋物線y＝﹣x2+2x+3與直線y＝m有交點時，方程方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有實根，
而拋物線的頂點的縱坐標為4，
所以m≤4，
即m的最大值為4．
23．（5分）如圖，學(xué)校搭建一款拱門示意圖，其中拱門最下端AB＝2米，點C為AB的中點，點D為拱門最高點，圓心O在線段CD上，CD＝3米，求拱門所在圓的半徑．
【答案】53米．
【解答】解：如圖，連接OA，
∵CD過圓心，C為AB的中點，AB＝2米，
∴CD⊥AB，AC＝BC=12AB＝1米，
設(shè)拱門所在圓的半徑為x米，則OA＝OD＝x米，OC＝CD﹣OD＝（3﹣x）米，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC2+OC2＝OA2，
即12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x=53，
答：拱門所在圓的半徑為53米．
24．（6分）某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝﹣x2+4|x|﹣3的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整：
（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)數(shù)值如表：
其中m＝ 0 ．
（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中描出了以上表中各對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
①函數(shù)圖象與x軸有 4 個交點，則對應(yīng)的方程﹣x2+4|x|﹣3＝0有 4 個實數(shù)根；
②當﹣2≤x＜2時，則y的取值范圍為 ﹣3≤y＜1 ；
③直線y＝kx+b經(jīng)過點（﹣2，1），若關(guān)于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝kx+b有4個互不相等的實數(shù)根，則b的取值范圍 ﹣3＜b≤-13 ．
【答案】（1）0；
（2）見解答；
（3）①4，4；②﹣3≤y＜1；③﹣3＜b≤-13．
【解答】解：（1）當x＝3時，y＝﹣x2+4|x|﹣3＝﹣9+4×3﹣3＝0＝m，
故答案為：0；
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點連線繪制函數(shù)圖象如下：
（3）①從函數(shù)圖象看，函數(shù)圖象與x軸有4個交點，即對應(yīng)的方程﹣x2+4|x|﹣3＝0有4個實數(shù)根；
②當﹣2≤x＜2時，從函數(shù)圖象看，y的取值范圍為﹣3≤y＜1；
③從函數(shù)圖象看若關(guān)于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝kx+b有4個互不相等的實數(shù)根，則直線處于m、n之間的位置，
對于直線m：直線m過點（2，﹣1）、（﹣1，0），
則函數(shù)m表達式為：y＝k（x+1），
將（2，﹣1）代入上式得：﹣1＝3k，則k=-13，
則直線m的表達式為：y=-13（x+1），
則b=-13，
對于直線m：直線m過點（2，﹣1）、（0，﹣3），
則b＝﹣3，
故b的取值范圍為：﹣3＜b≤-13．
故答案為：①4，4；②﹣3≤y＜1；③﹣3＜b≤-13．
25．（6分）乒乓球作為中國的國球，是一項深受大眾喜愛的體育運動，小聰和小明打球時發(fā)現(xiàn)乒乓球運動路線近似看成拋物線的一部分．愛思考的他倆建立如圖所示的平面直角坐標系，小聰?shù)谝淮伟l(fā)球時，乒乓球從拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）與水平距離x（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出小聰?shù)谝淮伟l(fā)球時乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）
（2）小聰?shù)谝淮伟l(fā)球后乒乓球第一次落在球桌時恰好在球桌邊緣，第二次他發(fā)球時，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）與水平距離x（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣0.005（x﹣70）2+36（a＜0），請你判斷小聰?shù)诙伟l(fā)球時，乒乓球第一次落在球桌 不 超出球桌邊緣（填“是”，“否”）．
【答案】（1）小聰?shù)谝淮伟l(fā)球時乒乓球豎直高度的最大值為40；y=-1320（x﹣80）2+40；（2）不．
【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（40，35），（120，35），
∴拋物線的對稱軸為：直線x=40+1202=80，
∴當x＝80時，小聰?shù)谝淮伟l(fā)球時乒乓球豎直高度的最大值為40．
∴可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣80）2+40，
∵拋物線經(jīng)過（0，20），
∴20＝a（0﹣80）2+40，
∴a=-1320，
∴函數(shù)關(guān)系式為：y=-1320（x﹣80）2+40；
（2）由題意，令y=-1320（x﹣80）2+40＝0，
∴x＝80+802或x＝80﹣802（舍去）．
又令y＝﹣0.005（x﹣70）2+36＝0，
∴x＝70+602或x＝70﹣602（舍去）．
∵70+602＜80+802，
∴小聰?shù)诙伟l(fā)球時，乒乓球第一次落在球桌不超出球桌邊緣．
故答案為：不．
26．（6分）已知拋物線y＝mx2﹣2m2x（m＞0）
（1）拋物線過點（1，﹣1），則m＝ 1 ；
（2）拋物線經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若對于1＜x1＜3，且x2＝m+2都有y1＞y2，求m的取值范圍．
【答案】（1）1；（2）1≤m≤3．
【解答】解：（1）由題意，∵拋物線過點（1，﹣1），
∴﹣1＝m×12﹣2m2．
∴m＝1或m=-12．
∵m＞0，
∴m＝1．
故答案為：1．
（2）由題意，∵拋物線的對稱軸為直線x＝m，
∴（m+2，y2）點一定位于對稱軸的右側(cè)，它的對稱點為（m﹣2，y2），
又∵對于1＜x1＜3，x2＝m+2時，都有y1＜y2，
∴（m+2，y2）點在A（x1，y1）右側(cè)，且它的對稱點為（m﹣2，y2）在A（x1，y1）的左側(cè)．
∴m+2≥3m-2≤1．
∴m≥1m≤3．
∴1≤m≤3．
27．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，點E在射線AB上（不與點A，B重合），將線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段ED，連接AD，取AD中點F，連接FE．
（1）如圖1，若點E是AB中點時，點D，B，C恰好在一條直線上，用等式表示線段EF和BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）當點E在射線AB上時，（1）中的結(jié)論是否成立，在圖2，圖3中任選一種情況完成證明．
【答案】（1）BE＝2EF；
（2）結(jié)論仍然成立．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，∠ABC是等邊三角形，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，
∵點E是AB的中點，
∴CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段ED，
∴∠CED＝120°，
∴∠BED＝∠CED﹣∠BEC＝30°，
∵點D，B，C恰好在一條直線上，
∴∠BDE＝∠ABC﹣∠BED＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BE＝BD，
∵點F是AD的中點，點E是AB的中點，
∴BD＝2EF，
∴BE＝2EF；
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：
如圖，當點E在AB上時，
延長DE至G，使EG＝DE，連接CG，AG，
∵F是AD的中點，
∴AF＝DF，
∴AG＝2EF，
∵線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段ED，
∴DE＝CE，∠DEC＝120°，
∴EG＝CE，∠CEG＝180°﹣∠DEC＝60°，
∴△CEG是等邊三角形，
∴∠ECG＝60°，
由（1）知，
△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠ECG，
∴∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG≌△BCE（SAS），
∴BE＝AG，
∴BE＝2EF，
如圖2，當點E在AB的延長線上時，
延長DE至G，使EG＝DE，連接CG，AG，
同理可得，
△ACG≌△BCE，
∴BE＝AG，
∴BE＝2EF．
28．（7分）定義：在平面直角坐標系xOy中，對于⊙M內(nèi)的一點P，若在⊙M外存在點P′，使得MP'＝2MP，則稱點P為⊙M的“內(nèi)半點”．
（1）當⊙O的半徑為4時．
①在點P1(3，2)，P2（﹣2，0），P3(-1，5)中是⊙O的“內(nèi)半點”的是 P1，P2 ；
②已知一次函數(shù)y＝kx﹣4k，若一次函數(shù)在第一象限的圖象上的所有點都是⊙O的“內(nèi)半點”，求k的取值范圍；
（2）已知點M（m，0），B（0，﹣2），C（2，﹣2），⊙M的半徑為6，若線段BC上存在⊙M的“內(nèi)半點”．直接寫出m的取值范圍．
【答案】（1）P1，P2；
（2）﹣1≤k＜-33；
（3）﹣42＜m＜2-5或5＜m＜42+2．
【解答】解：（1）根據(jù)“內(nèi)半點”定義可知，⊙M的“內(nèi)半點”P滿足12r＜MP＜r（r為⊙M的半徑）；
∵P1(3，2)，P2（﹣2，0），P3(-1，5)，
∴OP1=5，OP2＝2，OP3=6，
∵⊙O的半徑為4，
∴⊙O的“內(nèi)半點”的是P1，P2；
故答案為：P1，P2；
（2）設(shè)直線y＝kx﹣4k交x軸于A，交y軸于B，過O作OH⊥直線AB于H，如圖：
在y＝kx﹣4k中，令x＝0得y＝﹣4k，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，﹣4k），
∴AB=42+(-4k)2=4k2+1，
∴OH=OA?OBAB=4×(-4k)4k2+1=-4kk2+1k2+1，
∵一次函數(shù)在第一象限的圖象上的所有點都是⊙O的“內(nèi)半點”，
∴2＜OB≤4且OH＞2，
∴2＜-4k≤4-4kk2+1k2+1＞2，
解得﹣1≤k＜-33；
（3）①當M在B左側(cè)，MB＝6時，如圖：
此時m2+4=6，
解得m＝﹣42（正值已舍去）；
當M在C左側(cè)，MC＝3時，如圖：
此時(m-2)2+4=3，
解得m＝2-5（2+5已舍去），
∴﹣42＜m＜2-5；
②當M在B右側(cè)，MB＝3時，如圖：
此時m2+4=3，
解得m=5（-5舍去）；
當M在C右側(cè)，MC＝6時，如圖：
此時(m-2)2+4=6，
解得m＝42+2（﹣42+2已舍去）；
∴5＜m＜42+2；
綜上所述，線段BC上存在⊙M的“內(nèi)半點“，m的取值范圍是﹣42＜m＜2-5或5＜m＜42+2.x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…





…
x
…
﹣3.7
﹣3.3
﹣2.0
﹣1.0
0.0
0.7
2.0
3.0
3.7
…
y
…
﹣1.89
﹣0.77
1.0
0.0
﹣3
﹣0.77
1.0
m
﹣1.89
…
水平距離x/cm
0
40
80
120
160
豎直距離y/cm
20
35
40
35
20
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
x
…
﹣3.7
﹣3.3
﹣2.0
﹣1.0
0.0
0.7
2.0
3.0
3.7
…
y
…
﹣1.89
﹣0.77
1.0
0.0
﹣3
﹣0.77
1.0
m
﹣1.89
…
水平距離x/cm
0
40
80
120
160
豎直距離y/cm
20
35
40
35
20

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