一、選擇題
1．設(shè)集合,,則( )
A.B.C.D.
2．下列關(guān)于x,y的關(guān)系中,y是x的函數(shù)的是( )
A.B.
C.D.
3．設(shè),,則下列不等式中不正確的是( )
A.B.C.D.
4．如圖是某高一學(xué)生晨練時(shí)離家距離與行走時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像.若用黑點(diǎn)表示該學(xué)生家的位置,則該同學(xué)散步行走的路線可能是( )
A.B.C.D.
5．命題“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
6．設(shè),若是的最小值,則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
7．荀子曰“故不積跬步,無以至千里;不積小流,無以成江海.”這句來自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情如果不去一點(diǎn)一點(diǎn)積累,就永遠(yuǎn)無法達(dá)成目標(biāo)的哲理.由此可得“積跬步”是“至千里”的( )
A.必要不充分條件B.充分不必要條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
8．已知正實(shí)數(shù)m,n滿足,則的最小值是( )
A.25B.16C.18D.8
二、多項(xiàng)選擇題
9．若集合A具有以下性質(zhì):①集合中至少有兩個(gè)元素;②若,則,,且當(dāng)時(shí),.這樣的集合A被稱為“緊密集合”.以下說法正確的是( )
A.整數(shù)集是“緊密集合”
B.實(shí)數(shù)集是“緊密集合”
C.“緊密集合”可以是有限集
D.若集合A是“緊密集合”,且x,,則
10．一般地,若函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則稱為的“k倍跟隨區(qū)間”;若函數(shù)的定義域?yàn)?值域也為,則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是( )
A.若為的跟隨區(qū)間,則
B.函數(shù)存在跟隨區(qū)間
C.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,則
D.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”
三、填空題
11．已知二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn),且,,則的取值范圍是________.
12．已知為R上的奇函數(shù),,若對(duì)任意,,當(dāng)時(shí),都有,則不等式的解集為________.
四、解答題
13．（1）已知,,求的值:
（2）已知,求的值.
14．已知函數(shù),且.
（1）求的值;
（2）若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
15．設(shè)函數(shù),.
（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值:
（2）若函數(shù)的最小值為,求.
16．函數(shù)的定義域?yàn)?且滿足對(duì)于任意,,有.
（1）求的值;
（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論;
（3）如果,,且在上是增函數(shù),求x的取值范圍.
17．某公司為調(diào)動(dòng)員工工作積極性擬制定以下獎(jiǎng)勵(lì)方案,要求獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加,獎(jiǎng)金不超過90萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%.即假定獎(jiǎng)勵(lì)方案模擬函數(shù)為時(shí),該公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)時(shí),①是增函數(shù);②恒成立;③恒成立.
(1)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①;②.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？
(2)已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：由題設(shè)得,故選A.
2．答案：D
解析：對(duì)于A,不等式的解集為,所以y不是x的函數(shù);
對(duì)于B,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng),所以y不是x的函數(shù);
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng),所以y不是x的函數(shù);
對(duì)于D,滿足y與x的一一對(duì)應(yīng),所以y是x的函數(shù).故選D.
3．答案：C
解析：因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以;
因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以;
當(dāng)時(shí),,所以C不成立;
因?yàn)?所以.故選C.
4．答案：D
解析：由已知函數(shù)圖像可知,有一段時(shí)間該同學(xué)離家距離保持不變,結(jié)合選項(xiàng)可知只有D中的路線符合要求.故選D.
5．答案：C
解析：全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,所以該命題的否定為“,”.故選C.
6．答案：B
解析：當(dāng)時(shí),,是的最小值,所以,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,要滿足是的最小值,需,即,解得.
所以a的取值范圍是.故選B.
7．答案：A
解析：荀子的名言表明積跬步未必能至千里,但要至千里必須積跬步,故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選A.
8．答案：B
解析：由得,又,因?yàn)?,所以原式,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立.故選B.
9．答案：BC
解析：若,,而,故整數(shù)集不是“緊密集合”,A錯(cuò)誤;
根據(jù)“緊密集合”的性質(zhì),知實(shí)數(shù)集是“緊密集合”,B正確;
集合是“緊密集合”,故“緊密集合”可以是有限集,C正確;
集合是“緊密集合”,當(dāng),時(shí),,D錯(cuò)誤,
故選BC.
10．答案：ACD
解析：對(duì)于A,由已知可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,由,解得或（舍去）,所以,A正確;
對(duì)于B,若存在跟隨區(qū)間,因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞減,則由解得或,不滿足,故不存在,B不正確;
對(duì)于C,由已知得,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減,若存在跟隨區(qū)間,則有即兩式作差得,,即,又,所以,易得,所以,設(shè),由于,所以,即,則,解得,C正確;
對(duì)于D,若函數(shù)存在3倍跟隨區(qū)間,設(shè)定義域?yàn)?值域?yàn)?當(dāng)時(shí),易得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,則a,b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,解得或,故存在定義域?yàn)槭沟弥涤驗(yàn)?D正確.故選ACD.
11．答案：
解析：設(shè),
由,得
所以,又,
所以,
即的取值范圍是.
12．答案：
解析：令,又為R上的奇函數(shù),
所以為R上的偶函數(shù),且,
又對(duì)任意,,當(dāng)時(shí),都有,
即相當(dāng)于,
所以在上單調(diào)遞減,
又,所以,
所以不等式,
即,所以,即,
又,所以中,要滿足成立,
還需,即
所以.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）
（2）因?yàn)?所以,
又,所以.
14．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?所以,即,所以
（2）由于,所以其定義域?yàn)?
又在上是增函數(shù).
由可得,解得,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
15．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）當(dāng)時(shí),函數(shù),,所以函數(shù)的最大值為,最小值為.
（2）的對(duì)稱軸為直線;
①當(dāng),即時(shí),此時(shí)在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值;
②當(dāng),即時(shí),此時(shí)在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值;
③當(dāng),即時(shí),此時(shí)在上先減后增,所以函數(shù)在時(shí)取得最小值,即.
16．答案：（1）見解析
（2）見解析
（3）見解析
解析：（1）因?yàn)閷?duì)于任意,,都有,所以令,得,所以.
（2）為偶函數(shù).
證明如下:的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
令,有,所以.
令,,有,
所以,所以為偶函數(shù).
（3）依題設(shè)有,由（2）知是偶函數(shù),
所以等價(jià)于,
又在上是增函數(shù),
所以,
解得且,
所以x的取值范圍是.
17．答案：(1)函數(shù)模型：②符合公司要求;
(2)．
解析：(1)對(duì)于函數(shù)模型：①,驗(yàn)證條件③：當(dāng)時(shí)而，即不成立,故不符合公司要求;
對(duì)于函數(shù)模型：②,當(dāng)時(shí),條件①是增函數(shù)滿足;
,滿足條件②;
對(duì)于條件③：記
則
,當(dāng)時(shí),
恒成立,即條件③也成立.
故函數(shù)模型： ②符合公司要求.
(2) ,函數(shù)符合條件①;
由函數(shù)符合條件②,得,解得：;
由函數(shù)符合條件③,得對(duì)恒成立,
即對(duì)恒成立.
,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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