一、選擇題
1．若集合,,則集合B的真子集個(gè)數(shù)為( )
A.5B.6C.7D.8
2．若,則“”是“”的( )
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
3．已知，求( )
A.B.C.D.
4．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.若隨機(jī)變量、滿足且，則
B.已知隨機(jī)變量～，若,，則
C.若事件A、B相互獨(dú)立，則
D.若A、B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為、，則A組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強(qiáng)
5．某市高二年級(jí)期中聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī),若,,則( )
A.B.C.D.
6．已知,則( )
A.B.C.D.
7．將函數(shù)，的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到曲線C.若曲線C始終為函數(shù)圖象，則的最大值為( )
A.B.C.D.1
8．阿基米德有句名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起整個(gè)地球!”這句話說(shuō)的便是杠桿原理，即“動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”.現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金，一位顧客到店里預(yù)購(gòu)買(mǎi)黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤(pán)中，取黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡，最后將稱得的和黃金交給顧客，則顧客購(gòu)得的黃金重量( )
A.大于B.等于C.小于D.無(wú)法確定
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù)的最小正周期為,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C.在上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的值域?yàn)?br>10．若平面向量,,其中n,,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若,則
B.若,則與同向的單位向量為
C.若,且與的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
D.若,則的最小值為4
11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A.的單調(diào)遞增區(qū)間是
B.的值域?yàn)镽
C.
D.若，，，則
三、填空題
12．已知復(fù)數(shù),,且,則_____________.
13．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是________.
14．已知函數(shù)，若函數(shù)的最小值恰好為0，則實(shí)數(shù)a的最小值是________.
四、解答題
15．已知中,,,,點(diǎn)D滿足,點(diǎn)E在線段上移動(dòng)（包含端點(diǎn)）.
(1)若,求實(shí)數(shù)的值;
(2)求的取值范圍.
16．在中，a，b，c為角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊，S為的面積.且.
（1）求A；
（2）若，求內(nèi)切圓半徑的最大值.
17．已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）曲線在處的切線方程為，證明：.
18．不透明的袋子中裝有大小相同的白球和彩球各1個(gè),將“連續(xù)兩次從袋子中有放回地摸出1個(gè)小球”記為一次試驗(yàn),若兩次均摸到彩球,則試驗(yàn)成功并終止試驗(yàn),否則在袋子中添加一個(gè)相同的白球,然后進(jìn)行下一次試驗(yàn).
(1)若最多只能進(jìn)行3次試驗(yàn),設(shè)試驗(yàn)終止時(shí)進(jìn)行的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)若試驗(yàn)可以一直進(jìn)行下去,第i次試驗(yàn)成功的概率記為,求證：.
19．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明時(shí)，；
（3）若對(duì)于任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：由題意可知,所以集合B的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：C.
2．答案：B
解析：當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),即,即,
則有或,
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
3．答案：A
解析：因?yàn)椋?br>所以，解得.
故選：A
4．答案：D
解析：對(duì)于A：因?yàn)榍?，所以，故A正確；
對(duì)于B：隨機(jī)變量，則，，解得：，故B正確；
對(duì)于C：若事件A、B相互獨(dú)立，則，
所以，故C正確；
對(duì)于D：若A、B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為、，
因?yàn)椋訠組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強(qiáng)，故D錯(cuò)誤.
故選：D
5．答案：D
解析：因?yàn)?且,,
所以,
故選：D.
6．答案：A
解析：
,
,
,
故選：A.
7．答案：A
解析：令原函數(shù)為，即，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，
函數(shù)，的圖象上點(diǎn)處切線斜率由1逐漸增大到2，記時(shí)的點(diǎn)為P，
令函數(shù)圖象在P處的切線傾斜角為，則，
曲線C在除端點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)處的切線垂直于x軸時(shí)，則曲線C上存在兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)相同，
而曲線C始終為函數(shù)圖象，因此，而，
則，
所以的最大值為.
故選：A.
8．答案：A
解析：設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，且，
，，
，，
故選：A.
9．答案：BCD
解析：,由于最小正周期為,故,故,
對(duì)于A, ,故的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,A錯(cuò)誤,
對(duì)于B,,的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,故B正確,
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,C正確,
對(duì)于D,時(shí),,故,故,D正確,
故選：BCD.
10．答案：BCD
解析：對(duì)于A,,則,解得,
則,,假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得,則,方程無(wú)解,
則不存在,使,即,不共線,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,則,解得,即,,
,則與同向的單位向量為,B正確;
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,又與的夾角為銳角,
則,解得,且,即,C正確;
對(duì)于D,由,得,即,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),D正確.
故選：BCD.
11．答案：BD
解析：的定義域?yàn)椋?br>在定義域上恒成立，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨于，
當(dāng)x趨近于1，且在1的左側(cè)時(shí)，趨于，
所以的值域?yàn)镽，故B正確；
，
所以，
又，
所以，故C錯(cuò)誤；
，
因?yàn)椋?，又?br>所以，即，故D正確.
故選：BD.
12．答案：-1或3
解析：復(fù)數(shù),,,
可得,,
則,,
整理得,,即
因?yàn)?所以,且,,
又因,故,解得,或.
故答案為：-1或3.
13．答案：/
解析：如圖：
過(guò)C作于D.
因?yàn)?，所?
設(shè)，則
設(shè)，則
若，則；若，則；
當(dāng)時(shí)，
（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.
所以
故答案為：
14．答案：
解析：令，則，所以，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最小值恰好為0，
令，則，
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以a的最小值為.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1),
故,,則;
(2)設(shè),,
則,
,
故
,
由,則.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因?yàn)椋?br>所以，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，
則，
所以，
又，所以，
則，
由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
即內(nèi)切圓半徑的最大值為.
17．答案：（1）極大值為，函數(shù)的極小值為；
（2）見(jiàn)解析
解析：（1），
令，得或，
所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為；
（2）由（1）可知，，且，
所以曲線在處的切線方程為，即，
要證明，即證明
設(shè)，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，
所以，即，
所以，命題得證.
18．答案：(1)分布列見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望為;
(2)證明見(jiàn)解析
解析：(1)X的可能值有1,2,3,
;
;
.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
.
(2)證明：因?yàn)?
,,,
所以
,,
經(jīng)檢驗(yàn)也滿足上式,
所以.
19．答案：（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（2）證明見(jiàn)解析；
（3）
解析：（1），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）令，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即，
原不等式等價(jià)于，
為上的減函數(shù)，，
只需證明即，
令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
原不等式成立.
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知又，
，
原不等式在上恒成立.
當(dāng)時(shí)，令.
，
在內(nèi)必有零點(diǎn)，設(shè)為，則，，
，
，而，
綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
x
2
+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
X
1
2
3
P

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