考試時長：120分鐘 滿分：150分
第I卷
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1 已知集合，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)交集知識來求得正確答案.
【詳解】依題意，.
故選：C
2. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)根式和分式性質(zhì)，列不等式即可求解.
【詳解】的定義域需滿足，解得且，
故定義域為，
故選：C
3. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值是（ ）
A. B. C. D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，由已知條件可得，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，進而可求得的值.
【詳解】設(shè)，則，可得，故，因此，.
故選：A.
4. 已知函數(shù)，則的值等于（ ）
A. 2B. 5C. 11D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求出的值，代入解析式中可得結(jié)果．
【詳解】令，求出，則.
故選：B
5. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，進而可得出答案.
【詳解】由，得，
所以.
故選：A.
6. 下列四個命題中為真命題的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的知識對選項進行分析，從而確定正確答案
【詳解】A選項，由得，不是整數(shù)，所以A選項錯誤.
B選項，由得，不是整數(shù)，所以A選項錯誤.
C選項，或時，，所以C選項錯誤.
D選項，由于，所以D選項正確.
故選：D
7. 已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則等于（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)以及可求出結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，
所以．
而，∴．
故選：C．
8. 已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得出與的關(guān)系式，再利用基本不等式求的最小值．
【詳解】因為是不等式的解集，
所以是方程的兩個實數(shù)根且，
所以，，
所以，且，；
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立；
所以的最小值為．
故選：A．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值以及不等式的性質(zhì)來確定正確答案.
【詳解】A選項，，所以A選項錯誤.
B選項，若，則，則，所以B選項正確.
C選項，若，則，所以C選項正確.
D選項，若，則，所以，所以D選項正確.
故選：BCD
10. 若正實數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 有最小值9B. 的最小值是
C. ab有最大值D. 最小值是
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式求最值后判斷．
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A對；
，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，B對；
，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，C對；
由，則，而，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D錯.
故選：ABC
11. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 在上是減函數(shù)
C. 是偶函數(shù)D. 的值域是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定義判斷可選項A，C，由函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論可判斷選項B，由函數(shù)單調(diào)性求出的取值范圍，結(jié)合定義可得的值域可判斷選項D．
【詳解】對于選項A：因為函數(shù)，，
可得，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；
對于選項B：因為、在R上是增函數(shù)，
所以在R上是增函數(shù)，故B錯誤；
對于選項C：因為，
則，，
即，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；
對于選項D：因為，則，
可得，所以的值域為，故D正確．
故選：AD．
第II卷
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知函數(shù)且，則函數(shù)的圖象恒過定點的坐標(biāo)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點的求法求得正確答案.
【詳解】由于，所以定點坐標(biāo)為.
故答案為：
13. 求值：__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)直接求解即可．
【詳解】.
故答案為：##.
14. 已知函數(shù)，若，則__________，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得，兩邊平方整理可得，即.利用換元法，結(jié)合分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化成在能成立，求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】，故，所以.，即，
設(shè)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，故，故，
不等式在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故.
故答案為：7；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用換元法解決問題時，一定要注意新元的取值范圍.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15. 已知集合，全集.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）將代入再由集合的交、補運算即可求解；
（2）由“”是“”的充分條件，得，再利用集合的包含關(guān)系即可求解.
小問1詳解】
當(dāng)時，集合
或，或 ；
【小問2詳解】
由“”是“”的充分條件，得，
因為，所以
則由，得且，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
16. 已知函數(shù)，滿足
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）對于，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）將已知條件代入求出即可求解；
（2）由（1）可知，則解不等式即可求解；
（3）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，因為開口向上，根據(jù)即可求解.
【小問1詳解】
由函數(shù)，滿足，
，解得，
故函數(shù)的解析式為：.
【小問2詳解】
由（1）知，即不等式轉(zhuǎn)化為，
則，
所以不等式的解集或.
【小問3詳解】
不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，
因為開口向上，
可得，解之可得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
17. 某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.
（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價到x元.公司擬投入萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.
【答案】（1）40元 （2）10.2萬件，30元
【解析】
【分析】（1）設(shè)每件定價為元，求出原銷售收入和新銷售收入后列不等式求解；
（2）列出不等關(guān)系，分離參數(shù)得，從而利用基本不等式即可得解.
【小問1詳解】
依題意，設(shè)每件定價為元，得，
整理得，解得.
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.
【小問2詳解】
依題意知當(dāng)時，不等式有解，
等價于時，有解，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，
當(dāng)該商品改革后銷售量至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，
此時該商品的每件定價為30元.
18. 已知函數(shù)，．
（1）若過點，求解析式；
（2）若．
（?。┊?dāng)函數(shù)不單調(diào)，求a的取值范圍；
（ⅱ）當(dāng)函數(shù)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)，求表達式
【答案】（1）
（2）（?。?；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，將點代入函數(shù)的解析式，求得，即可求解；
（2）（?。└鶕?jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）知，對稱軸為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，分，和，三種情況討論，即可求解.
【小問1詳解】
因為函數(shù)過點，
將點代入函數(shù)的解析式，可得，解得，
所以函數(shù)解析式為.
【小問2詳解】
（?。┯珊瘮?shù)，
可得其圖象對應(yīng)的拋物線開口向上，且對稱軸為，
要使得函數(shù)不單調(diào)，可得，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）由（?。┲瘮?shù)的圖象對應(yīng)的拋物線開口向上，且對稱軸為，
當(dāng)時，即時，在單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以；
當(dāng)時，即時，在單調(diào)遞減，所以，
所以表達式為
19. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）2 （2）增函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“奇函數(shù)在原點上有定義，則”即可求解.
（2）根據(jù)單調(diào)性定義即可證明.
（3）先將不等式化為，再利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出的最小值即可得解.
【小問1詳解】
因為，,定義域關(guān)于原點對稱，
令，所以，故，
則，，
所以為定義在上的奇函數(shù)，故.
【小問2詳解】
是上的增函數(shù).
證明：任取，且，
，
所以，所以，，，
所以， ，
所以，即，
所以是上的增函數(shù).
【小問3詳解】
當(dāng)時，不等式即，
故，
則令，由題意可知，，
因為函數(shù)，為上的增函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增，
故，
所以.

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