1．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段不能構成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．5，12，13D．1，，
3．（3分）已知菱形的周長是高的8倍，則菱形的兩鄰角的度數(shù)之比為（ ）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
4．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC＝10，P，Q分別為AO，AD的中點，則PQ的長度為（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
5．（3分）一次函數(shù)y＝（a2+1）x﹣a的圖象上有兩點A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），則y1與y2的大小關系為（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．不能確定
6．（3分）已知kb＞0，且b＜0，則一次函數(shù)y＝kx+b的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，一動點P從點A出發(fā)，沿著A→B→C→D的方向勻速運動，最后到達點D，則點P在勻速運動過程，△APD的面積y隨時間x變化的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如圖，這是根據(jù)某班45名同學一周的體育鍛煉時間繪制的條形圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息可知，鍛煉時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．8，8B．8，9C．18，8D．18，9
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
9．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 ．
10．（3分）如圖，客船以24海里/時的速度從港口A向東北方向航行，貨船以18海里/時的速度同時從港口A向東南方向航行，則1小時后兩船相距 海里．
11．（3分）把函數(shù)y＝3x﹣4向上平移3個單位長度后，所得函數(shù)的解析式為 ．
12．（3分）若數(shù)據(jù)3，x，4，5的眾數(shù)和中位數(shù)都是4，則這組數(shù)據(jù)的方差是 ．
13．（3分）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+6交于點P（3，5），則關于x的不等式kx+6≤x+b的解集是 ．
14．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上的一點，且AE＝2BE＝4，若點P在正方形的邊上，當△PAE為等腰三角形時，則PE的長為 ．
三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
15．（6分）計算：
（1）+÷；
（2）+÷﹣×．
16．（6分）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求作圖：
（1）在圖1中作一條線段，將?ABCD的面積平均分成兩份；
（2）在圖2中過點E作一條直線，將?ABCD的面積平均分成兩份．
17．（6分）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根4尺，試問折斷處離地面多高？
18．（6分）如圖，直線AB：y＝x+2與直線CD：y＝﹣2x+8交于點E．
（1）求A，D，E點坐標；
（2）求四邊形EBOD的面積．
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
19．（8分）教育部發(fā)布的《義務教育勞動課程標準（2022年版）》，將勞動從原來的綜合實踐活動課程中完全獨立出來．某學校鼓勵學生周末時間積極參加家務勞動，承擔一定的家庭日常清潔、烹飪、家居美化等勞動，增強家庭責任意識．該校為了解八年級同學們周末家務勞動時間的大致情況，隨機調(diào)查了部分八年級同學，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了兩幅統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）一共調(diào)查了 人；并將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）本次抽查的學生周末勞動時間的眾數(shù)是 小時，中位數(shù)為 小時；
（3）參與調(diào)查的學生甲說，“我周末參與家務勞動的時間是1.5小時，而調(diào)查中周末勞動1.5小時的學生人數(shù)最多，所以，我肯定達到了平均數(shù)．”你認為甲的說法對嗎？請說明理由．
20．（8分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）交兩坐標軸于點A（4，0），B（0，3）．（1）求直線y＝kx+b的解析式；
（2）點C的坐標為（﹣3，﹣1），連接BC．證明：AB⊥BC，且線段AB＝BC；
（3）在（2）的條件下，點D為平面直角坐標系內(nèi)一點，當四邊形ABCD為正方形時，請直接寫出點D的坐標．
21．（8分）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．
五、（本大題共1小題，每小題10分，共10分）
22．（10分）學習一次函數(shù)時，我們通過列表、描點、連線畫出一次函數(shù)圖象，并結合函數(shù)圖象研究函數(shù)性質．小南結合學習一次函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝3﹣|x﹣1|的圖象和性質進行了研究，下面是小南的探討過程，請補充完整：
（1）列表：
表格中m＝ ，n＝ ；
（2）①根據(jù)列表在給出的平面直角坐標系中描點、畫出函數(shù)圖象；
②根據(jù)所畫的函數(shù)圖象，該函數(shù)有 （填“最大值”或“最小值”）；這個值為 ；
（3）直接寫出函數(shù)圖象與x軸所圍成的圖形的面積： ；
（4）過點（0，a）作直線l∥x軸，結合所畫的函數(shù)圖象，若直線l與函數(shù)y＝3﹣|x﹣1|圖象有兩個交點，請直接寫出a的取值范圍．
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D．是最簡二次根式，故本選項符合題意；
故選：D．
2．（3分）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段不能構成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．5，12，13D．1，，
【解答】解：A、32+42＝52，故選項A中的三條線段能構成直角三角形，故不符合題意；
B、（）2+（）2≠（）2，故選項B中的三條線段不能構成直角三角形，故符合題意；
C、52+122＝132，故選項C中的三條線段能構成直角三角形，故不符合題意；
D、12+（）2＝（）2，故選項D中的三條線段能構成直角三角形，故不符合題意；
故選：B．
3．（3分）已知菱形的周長是高的8倍，則菱形的兩鄰角的度數(shù)之比為（ ）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，菱形的周長是高的8倍，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1，
故選：C．
4．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC＝10，P，Q分別為AO，AD的中點，則PQ的長度為（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5，
∵點P、Q是AO，AD的中點，
∴PQ是△AOD的中位線，
∴PQ＝DO＝2.5，
故選：A．
5．（3分）一次函數(shù)y＝（a2+1）x﹣a的圖象上有兩點A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），則y1與y2的大小關系為（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．不能確定
【解答】∵函數(shù)y＝（a2+1）x﹣a是一次函數(shù)，
又∵a2+1＞0，
∴函數(shù)y＝（a2+1）x﹣a的圖象上的點y隨著x的增大而增大，
又∵點A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在該函數(shù)圖象上，且﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2，
故選：A．
6．（3分）已知kb＞0，且b＜0，則一次函數(shù)y＝kx+b的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵kb＞0．且b＜0，
∴k＜0，
∴一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
故選：C．
7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，一動點P從點A出發(fā)，沿著A→B→C→D的方向勻速運動，最后到達點D，則點P在勻速運動過程，△APD的面積y隨時間x變化的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：當點P在AB段運動時，
y＝×AD×AP＝AD?x，圖象為一次函數(shù)；
當點P在BC段運動時，
y＝×AB×AD，y為常數(shù)；
當點P在CD段運動時，
同理可得：y＝AD×（AB+BC+CD﹣x），圖象為一次函數(shù)；
故選：D．
8．（3分）如圖，這是根據(jù)某班45名同學一周的體育鍛煉時間繪制的條形圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息可知，鍛煉時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．8，8B．8，9C．18，8D．18，9
【解答】解：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即8；
而將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后，第23個數(shù)的平均數(shù)為8，由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8．
故選：A．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
9．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 x≠8 ．
【解答】解：由題意得：x﹣8≠0，
解得：x≠8，
故答案為：x≠8．
10．（3分）如圖，客船以24海里/時的速度從港口A向東北方向航行，貨船以18海里/時的速度同時從港口A向東南方向航行，則1小時后兩船相距 30 海里．
【解答】解：由題意可得：24×1＝24（海里），18×1＝18（海里）．
則兩船相距：＝30（海里）．
故答案為：30．
11．（3分）把函數(shù)y＝3x﹣4向上平移3個單位長度后，所得函數(shù)的解析式為 y＝3x﹣1 ．
【解答】解：y＝3x﹣4向上平移3個單位長度得函數(shù)的解析式為y＝3x﹣4+3＝3x﹣1；
故答案為：y＝3x﹣1．
12．（3分）若數(shù)據(jù)3，x，4，5的眾數(shù)和中位數(shù)都是4，則這組數(shù)據(jù)的方差是 0.5 ．
【解答】解：∵數(shù)據(jù)3，x，4，5的眾數(shù)和中位數(shù)都是4，
∴x＝4，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（3+4+4+5）÷4＝4，
則方差為×[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]＝0.5，
故答案為：0.5．
13．（3分）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+6交于點P（3，5），則關于x的不等式kx+6≤x+b的解集是 x≥3 ．
【解答】解：∵直線y＝x+b與直線y＝kx+6交于點P（3，5），
∴關于x的不等式kx+6≤x+b的解集是x≥3，
故答案為：x≥3．
14．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上的一點，且AE＝2BE＝4，若點P在正方形的邊上，當△PAE為等腰三角形時，則PE的長為 或或4 ．
【解答】解：分三種情況畫圖，如圖所示：
在正方形ABCD中，
∵AE＝2BE＝4，
∴BE＝2，
∴AB＝AE+BE＝6，
①當點P在AD邊上時，
∵PA＝EA＝4，∠PAE＝90°，
∴；
②當點P'在CD邊上時，
過點P'作P'F⊥AB于點F，
則四邊形AFP'D是矩形，
∴P'F＝AD＝AB＝6，
∵P'A＝P'E，
∴AF＝EF＝AE＝2，
∴；
③當點P1在BC邊上時，P1E＝AE＝4．
綜上所述，PE的長為或或4，
故答案為：或或4．
三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
15．（6分）計算：
（1）+÷；
（2）+÷﹣×．
【解答】解：（1）+÷
＝
＝4；
（2）+÷﹣×
＝2+4﹣
＝+4．
16．（6分）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求作圖：
（1）在圖1中作一條線段，將?ABCD的面積平均分成兩份；
（2）在圖2中過點E作一條直線，將?ABCD的面積平均分成兩份．
【解答】解：（1）如圖1中，線段EF即為所求；
（2）如圖2中，直線OE即為所求．
17．（6分）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根4尺，試問折斷處離地面多高？
【解答】解：設折斷處離地面x尺，
根據(jù)題意可得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2．
答：折斷處離地面4.2尺高．
18．（6分）如圖，直線AB：y＝x+2與直線CD：y＝﹣2x+8交于點E．
（1）求A，D，E點坐標；
（2）求四邊形EBOD的面積．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，
解得，
故A（﹣2，0）；
根據(jù)題意，得，
解得，
故D（4，0）；
根據(jù)題意，得，
解得，
故E（2，4）；
（2）過點E作EG⊥x軸于點G，作EH⊥y軸于點H，
根據(jù)題意，得，
解得，
故C（0，8）；
根據(jù)題意，得，
解得，
故B（0，2）；
解法1：∵A（﹣2，0），D（4，0），E（2，4），B（0，2），
∴OA＝2，AD＝6，OB＝2，EG＝4，
∴S四邊形EBOD＝S△AED﹣S△AOB
＝
＝．
解法2：∵D（4，0），E（2，4），B（0，2），C（0，8），
∴OD＝4，OC＝8，OB＝2，EH＝2，CB＝8﹣2＝6，
∴S四邊形EBOD＝S△ODC﹣S△ECB
＝
＝．
解法3：∵D（4，0），E（2，4），B（0，2），
∴OD＝4，OB＝2，EG＝4，OG＝GD＝2，
∴S四邊形EBOD＝S四邊形OBEG+S△EGD
＝
＝．
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
19．（8分）教育部發(fā)布的《義務教育勞動課程標準（2022年版）》，將勞動從原來的綜合實踐活動課程中完全獨立出來．某學校鼓勵學生周末時間積極參加家務勞動，承擔一定的家庭日常清潔、烹飪、家居美化等勞動，增強家庭責任意識．該校為了解八年級同學們周末家務勞動時間的大致情況，隨機調(diào)查了部分八年級同學，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了兩幅統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）一共調(diào)查了 100 人；并將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）本次抽查的學生周末勞動時間的眾數(shù)是 1.5 小時，中位數(shù)為 2 小時；
（3）參與調(diào)查的學生甲說，“我周末參與家務勞動的時間是1.5小時，而調(diào)查中周末勞動1.5小時的學生人數(shù)最多，所以，我肯定達到了平均數(shù)．”你認為甲的說法對嗎？請說明理由．
【解答】解：（1）一共調(diào)查的人數(shù)為30÷30%＝100（人）．
故答案為：100．
周末勞動時間為1.5小時的人數(shù)為100﹣10﹣25﹣30＝35（人）．
補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．
（2）由條形統(tǒng)計圖可知，本次抽查的學生周末勞動時間的眾數(shù)是1.5小時．
將抽查的學生周末勞動時間按照從小到大的順序排列，排在第50和51位的都為2小時，
∴中位數(shù)為（2+2）÷2＝2（小時）．
故答案為：1.5；2．
（3）甲的說法不正確．
理由：本次抽查的學生周末勞動時間的平均數(shù)為（1×10+1.5×35+2×25+2.5×30）÷100＝1.875（小時），
1.5小時＜1.875小時，
∴同學甲沒有達到平均數(shù)．
20．（8分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）交兩坐標軸于點A（4，0），B（0，3）．（1）求直線y＝kx+b的解析式；
（2）點C的坐標為（﹣3，﹣1），連接BC．證明：AB⊥BC，且線段AB＝BC；
（3）在（2）的條件下，點D為平面直角坐標系內(nèi)一點，當四邊形ABCD為正方形時，請直接寫出點D的坐標．
【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b經(jīng)過點A（4，0），B（0，3），
∴．解得．
∴直線的解析式為．
（2）方法一：如圖1，過點C作CE⊥y軸于E．
可得△ABO與△BCE都是Rt△，∠C+∠CBE＝90°．
∵A（4，0），B（0，3）．C（﹣3，﹣1），
∴OB＝CE＝3，BE＝OA＝4．
∴，
．
∴AB＝BC．
∴△ABO≌△BCE．
∴∠C＝∠ABO．
∴∠ABO+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC
方法二：如圖2，連接AC．
∵A（4，0），B（0，3）．C（﹣3，﹣1），
∴；
；
．
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴AB⊥BC，且AB＝BC．
方法三：由方法一可知：AB＝BC．
設直線BC的解析式為y＝mx+n，可得
∴．
∴直線BC的解析式為．
又∵直線BC與AB的解析式的一次項系數(shù)的積＝．
∴AB⊥BC．
（3）方法一：如圖3．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD；AD∥BC，AD＝BC．
∵將點B（0，3）向右平移4個單位，
再向下平移3個單位
可得到點A（4，0）．
∴將C（﹣3，﹣1）同樣平移
可得點D（1，﹣4）．
也可以根據(jù)點B平移到點C的平移方式，由點A平移得出點D的坐標．
方法二：如圖4．∵四邊形ABCD為正方形．
∴AB∥CD，AD∥BC．
∵直線AB的解析式為．
∴設直線CD的解析式為．
又∵直線CD經(jīng)過點C（﹣3，﹣1）．
∴．
∴直線CD的解析式為．
同理可得，直線AD的解析式為．
∵點D是直線CD與直線AD的交點，
∴有解得∴點D（1，﹣4）．
也可以用類似的垂直法得出點D的坐標．
方法三：如圖5．連接AC、BD，兩線交于點H
∵四邊形ABCD為正方形．
∴點H是AC的中點，也是BD的中點．
∵A（4，0），C（﹣3，﹣1），
∴點．
即點．
又∵B（0，3）．∴點D（1，﹣4）．
方法四：如圖6．過點D作DN⊥x軸于點N．
可證得Rt△ABO≌Rt△DAN．
得到AN＝OB＝3，DN＝OA＝4．
∴ON＝1．
∴點N在x軸的正半軸．
∴點D在第四象限．
∴點D（1，﹣4）．
21．（8分）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．
【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE∥BC，且BC＝2DE．
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC．
∴四邊形BCFE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
又∵BE＝FE，
∴四邊形BCFE是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC，
∴∠EBC＝60°．
∴△EBC是等邊三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
過點E作EG⊥BC于點G．
∴BG＝2．
∴EG＝＝2．
∴S菱形BCFE＝BC?EG＝4×2＝8．
五、（本大題共1小題，每小題10分，共10分）
22．（10分）學習一次函數(shù)時，我們通過列表、描點、連線畫出一次函數(shù)圖象，并結合函數(shù)圖象研究函數(shù)性質．小南結合學習一次函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝3﹣|x﹣1|的圖象和性質進行了研究，下面是小南的探討過程，請補充完整：
（1）列表：
表格中m＝ 0 ，n＝ 1 ；
（2）①根據(jù)列表在給出的平面直角坐標系中描點、畫出函數(shù)圖象；
②根據(jù)所畫的函數(shù)圖象，該函數(shù)有 最大值 （填“最大值”或“最小值”）；這個值為 3 ；
（3）直接寫出函數(shù)圖象與x軸所圍成的圖形的面積： 9 ；
（4）過點（0，a）作直線l∥x軸，結合所畫的函數(shù)圖象，若直線l與函數(shù)y＝3﹣|x﹣1|圖象有兩個交點，請直接寫出a的取值范圍．
【解答】解：（1）當x＝﹣2時，m＝3﹣|﹣2﹣1|＝3﹣3＝0，
當x＝3時，n＝3﹣|3﹣1|＝3﹣2＝1．
故答案為：0，1；
（2）①以（1）中表格中x，y的對應值作為點的橫縱坐標在坐標系中分別描出各點，
畫出如圖所示的折線即為所畫的函數(shù)y＝3﹣|x﹣1|的圖象；
②根據(jù)所畫的函數(shù)圖象，該函數(shù)有最大值；這個值為3；
故答案為：最大值；3；
（3）∵y＝0時，則x＝﹣2或x＝4，
∴函數(shù)圖象與x軸所圍成的圖形的面積為＝9；
故答案為：9；
（4）直線l與函數(shù)y＝3﹣|x﹣1|圖象有兩個交點，
∴畫出直線l的大致圖象如圖：
由圖象可以看出直線l在（1，3）下方時，直線l與函數(shù)y＝3﹣|x﹣1|圖象有兩個交點．
∴a的取值范圍為a＜3．x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
1
2
3
2
n
……
x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
1
2
3
2
n
……

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