一、選擇題
1．若集合,,則中元素的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
2．已知復數(shù),則的實部為( )
A.20B.21C.D.
3．若雙曲線的右支上一點P到右焦點的距離為9,則P到左焦點的距離為( )
A.3B.12C.15D.3或15
4．已知某圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,高為,則該圓臺的體積為( )
A.B.C.D.
5．函數(shù)的值域為( )
A.B.C.D.
6．在平行四邊形ABCD中,,,則( )
A.B.
C.D.
7．若銳角滿足,則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的定義域為R,,,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.B.是奇函數(shù)
C.D.的圖象關(guān)于點對稱
二、多項選擇題
9．已知橢圓,則( )
A.M的焦點在x軸上B.M的焦距為10
C. M的離心率為D.M的長軸長是短軸長的5倍
10．設(shè)函數(shù)的最小正零點為,則( )
A.的圖象過定點
B.的最小正周期為
C.是等比數(shù)列
D.的前10項和為
11．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性,規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差,其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有3個面角,每個面角均為,故其各個頂點的曲率均為.如圖,在正方體中,,則( )
A.在四面體中,點A的曲率為
B.在四面體中,點的曲率大于
C.四面體外接球的表面積為
D.四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為
三、填空題
12．為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛運動的習慣,小明10月1日運動了5分鐘,從第二天開始,每天運動的時長比前一天多2分鐘,則從10月1日到10月的最后一天,小明運動的總時長為___________分鐘.
13．若過圓外一點作圓C的兩條切線,切點分別為A,B,且,則________________.
四、雙空題
14．已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,5,1,6,8,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為____________;若從這組數(shù)據(jù)中任意抽取2個數(shù)據(jù),則這2個數(shù)據(jù)不相等的概率為___________.
五、解答題
15．在中,,,.
(1)求BC的長;
(2)設(shè)D為AC邊上一點,且,求.
16．如圖,平面平面,四邊形為正方形,位于平面的兩側(cè).
(1)證明：平面平面.
(2)若,,,求平面與平面夾角的余弦值.
17．貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果,其果實個大似鵝蛋,外表呈橙黃色,陽面有暈.貴妃杏口感甜美,肉質(zhì)實心鮮嫩多汁,營養(yǎng)豐富,是河南省的知名特產(chǎn)之一.已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏（按個計算）的質(zhì)量M（單位：克）服從正態(tài)分布,且,.從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個,它們的質(zhì)量（單位：克）為,,,,,,,,,這10個貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于克.
(1)求.
(2)求.
(3)甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機選取1個,若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克,則贈送1個貴妃杏;若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克,則贈送2個貴妃杏.記甲和乙獲贈貴妃杏的總個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.
18．已知動點P在拋物線上,,點P到C的準線的距離為d,且的最小值為5.
(1)求C的方程;
(2)若過點的直線l與C交于A,B兩點,且直線的斜率與直線的斜率之積為,求l的斜率.
19．定義：對于函數(shù),,若,,則稱“”為三角形函數(shù).
(1)已知函數(shù),若為二次函數(shù),且,寫出一個,使得“”為三角形函數(shù);
(2)已知函數(shù),,若“”為三角形函數(shù),求實數(shù)t的取值范圍;
(3)若函數(shù),證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）.
參考答案
1．答案：B
解析：因為集合,,
所以,即集合中有2個元素.
故選：B.
2．答案：B
解析：因為,
所以,
所以的實部為21.
故選：B.
3．答案：C
解析：因為雙曲線方程為,所以,則,
設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為,,
又點P在雙曲線的右支上,且,
所以,則.
故選：C.
4．答案：B
解析：根據(jù)題意,
可得該圓臺的體積為:.
故選：B.
5．答案：D
解析：對于,有,解得,
對于,其圖象開口向下,對稱軸為,
當時,,當時,,
所以當時,,即,
又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
所以,則,
則的值域為.
故選：D.
6．答案：C
解析：如圖：.
故選：C.
7．答案：C
解析：由題意可得,
解得或,而為銳角,故舍去,
則,
故.
故選：C.
8．答案：D
解析：取,,則,即,得,故A正確;
取,則,得,故是奇函數(shù),B正確;
對任意的x都有,可得,
因此的圖象關(guān)于點對稱,故D錯誤;
由于且是奇函數(shù),得,即,
因此,,,,,C正確.
故選：D.
9．答案：BC
解析：對于橢圓,可得,,,
故橢圓的焦點在y軸上,焦距為,離心率為,
長軸長為,短軸長為,故AD錯誤,BC正確.
故選：BC.
10．答案：ACD
解析：對于A,因為,
所以,故A正確;
對于B,的最小正周期為,故B錯誤;
對于C,令,得,所以,,
整理得,,即的零點為,,
而是的最小正零點,則,,
顯然,,,
所以是,的等比數(shù)列,故C正確;
對于D,的前10項和為,故D正確.
故選：ACD.
11．答案：ABD
解析：在正方體中,易證為正三角形,,,
在四面體中,點A的曲率為,A選項正確;
在正方體中,,,,在四面體中,
點的曲率為,B選項正確;
四面體外接球的半徑即為正方體外接球的半徑為,
四面體外接球的表面積為,C選項錯誤;
四面體的體積,
四面體的表面積,
四面體內(nèi)切球的半徑,
即,D選項正確;
故選：ABD.
12．答案：1085
解析：由題意小明每天的運動時長構(gòu)成等差數(shù)列,其中,,
所以（分鐘）,
即小明運動的總時長為1085分鐘.
故答案為：1085.
13．答案：2或4
解析：如圖,記圓C的圓心為與交于點D,圓的半徑為R,
由題意可得,,,,
,所以,
即,解得或16,即或4,
經(jīng)檢驗,都滿足題意.
故答案為：2或4.
14．答案：3;
解析：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1,1,2,3,3,5,6,8,共個數(shù),
由于,所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為：3;
從這組數(shù)據(jù)中任意抽取2個數(shù)據(jù),
則樣本空間為：
,
共28個樣本點,
則這2個數(shù)據(jù)相等的有共個,所以不相等的有26個樣本點,
所以這2個數(shù)據(jù)不相等的概率為.
故答案為：3;.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,,,,
由余弦定理得：.
(2)在中,由正弦定理得,
所以.
16．答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：連接.因為四邊形為正方形,所以.
因為平面,所以.
又,
所以平面.
因為平面,所以平面平面.
(2)以A為坐標原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,,,,
所以,,.
設(shè)平面的法向量為,
則
令,得.
由(1)知平面的一個法向量為,
則,
故平面與平面夾角的余弦值為.
17．答案：(1)100
(2)0.3
(3)分布列見解析,1.4
解析：(1);
(2)因為,所以,
所以.
(3)設(shè)1人獲贈貴妃杏的個數(shù)為Y,則,,.
依題意可得X的可能取值為0,1,2,3,4,
,
,
,
,
,
則X的分布列為
所以.
18．答案：(1)
(2)4或
解析：(1)設(shè)拋物線C的焦點為,由拋物線的定義可得,
則,
當Q,P,F三點共線且點P在線段上時,取得最小值5,
則,整理得,解得或,
因為,所以,故C的方程為.
(2)設(shè)過點的直線,,.
聯(lián)立,消元得,則,
由,
得
代入韋達定理得：
化簡得,
得或.
故l的斜率為4或.
19．答案：(1)答案見解析
(2)
(3)證明見解析
解析：(1)由,,
得,令,解得.
當時,,在上單調(diào)遞減;
當時,,在上單調(diào)遞增.
所以.
因為為二次函數(shù),且,所以的對稱軸為,
設(shè),
要使“”為三角形函數(shù),只要,
取,,則,
,滿足,
則,,,即成立.
故若,取,可使得“”為三角形函數(shù).
(2),,
①當時,,
則任意,故“”為三角形函數(shù).
②當時,由,,,
則,;
要使“”為三角形函數(shù),
由,解得,
則有,,
所以;
③當時,則,,
要使“”為三角形函數(shù),由,解得,
則有,,
所以;
綜上所述,實數(shù)t的取值范圍為.
(3),.
由(1)知,,
則任意,;
下面證明.
由,,
則,
令,
則,所以在上單調(diào)遞減.
又,由參考數(shù)據(jù)可知,,
則存在唯一的實數(shù),使,即().
所以當時,,,在上單調(diào)遞增;
當時,,,在上單調(diào)遞減;
故,
由()式可知,
則,
令,
則,
所以在單調(diào)遞增,
故.
即.
所以,成立,即.
故“”為三角形函數(shù),命題得證.
X
0
1
2
3
4
P
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04

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