1．（4分）如圖是由5個相同的小立方塊搭成的幾何體，從正面看這個幾何體是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知，則的值是（ ）
A．B．C．3D．
3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，則配方正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝7D．（x+2）2＝7
4．（4分）如圖，點O，F(xiàn)在直線AD上，E在直線BC上，且AB∥EF∥CD，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一個條件后（ ）
A．＝B．∠B＝∠DC．＝D．∠C＝∠AED
6．（4分）若?ABCD中對角線AC、BD相交于點O，則下列說法正確的是（ ）
A．當OA＝OD時，?ABCD為菱形
B．當AB＝AD時，?ABCD為正方形
C．當∠ABC＝90°時，?ABCD為矩形
D．當AC⊥BD時，?ABCD為矩形
7．（4分）某種音樂播放器MP3原來每只售價400元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)在每只售價為256元，則可列方程為（ ）
A．400（1﹣x）＝256B．400（1﹣x）2＝256
C．256（1﹣x）＝400D．256（1﹣x）2＝400
8．（4分）如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，那么∠BOE的度數(shù)為（ ）
A．55°B．65°C．75°D．67.5°
二、填空題（共5小題，每題4分，共20分)
9．（4分）在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，則袋子里白球可能是 個．
10．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，△DEF面積為9，則的值為 ．
11．（4分）2023年第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進行巧妙融合，其中浪潮設(shè)計借助了黃金分割比以給人協(xié)調(diào)的美感．如圖，若點C可看作是線段AB的黃金分割點（AC＜CB），則BC＝ cm．（結(jié)果保留根號）
12．（4分）如圖，小明用長為2.5m的竹竿CD做測量工具，測量學校旗桿AB的高度，使竹竿、旗桿的頂端的影子恰好落在地面的同一點O．此時，竹竿與這一點O相距6m、與旗桿相距12m m．
13．（4分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點
①以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AB，N；
②以點D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點M′；
③以點M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點N′；
④過點N′作射線DN′交BC于點E．
若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為 ．
三、解答題(共48分)
14．（12分）（1）計算：；
（2）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
15．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有實根．
（1）求實數(shù)k的取值范圍．
（2）方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．
16．（8分）3月14日是國際數(shù)學日．某校在“國際數(shù)學日”當天舉行了豐富多彩的數(shù)學活動，其中游戲類活動有：A．數(shù)字猜謎；B．數(shù)獨；D．24點游戲；E．數(shù)字華容道．該校為了解學生對這五類數(shù)學游戲的喜愛情況（每位學生必選且只能選一類），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖如圖所示．
根據(jù)上述信息，解決下列問題．
（1）本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為 ，并補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
（2）若該校有3000名學生，請估計該校參加魔方游戲的學生人數(shù)；
（3）該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計劃從這4名學生中隨機抽取2名學生參加市青少年魔方比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法
17．（10分）如圖，點D在△ABC的邊AB上，∠ACD＝∠B，
（1）求證：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝1，BD＝3，求AC的長．
18．（10分）已知矩形ABCD，點E、F分別在AD、DC邊上運動，連接BF、CE
（1）如圖1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°；
（2）如圖2，若∠EBF＝∠DEC，，求；
（3）如圖3，連接AP，若∠EBF＝∠DEC，BC＝3，求PB的長度．
一、填空題（每小題4分，共20分)
19．（4分）若m、n是方程x2+2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式m2+3m+n＝ ．
20．（4分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，點Q是BC邊上一個動點，當BQ＝ 時，△BPQ與△BAC相似．
21．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A和C分別落在y軸與x軸的正半軸上，OC＝8．若直線y＝2x+b把矩形分成面積相等的兩部分，則b的值等于 ．
22．（4分）有一個數(shù)字游戲，第一步：取一個自然數(shù)n1＝5，計算n1?（3n1+1）得a1，第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計算n2?（3n2+1）得a2，第三步算出a2的各位數(shù)字之和得n3，計算n3?（3n3+1）得a3；…以此類推，則a2024的值為 ．
23．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，BH⊥AC于點H．交AF于點G，點D在直線AF上運動，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，BE的長為 ．
二、解答題（共30分）
24．（8分）某超市以每千克40元的價格購進菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠．現(xiàn)決定降價銷售（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價多少元？
25．（10分）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x﹣交x軸于點A，直線y＝﹣x+3交x軸于點C
（1）如圖1，連接BC，求△BCD的面積；
（2）如圖2，在直線y＝﹣x+3上存在點E，求點E的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OE，點P在直線EF上，在平面中存在一點Q，E，P，Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．
26．（12分）（1）問題發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，△ABC和△CDE均為等邊三角形，直線AD和直線BE交于點F．
填空：①∠AFB的度數(shù)是 ；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）類比探究
如圖2，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，DE＝EC，直線AD和直線BE交于點F．請判斷∠AFB的度數(shù)及線段AD，并說明理由．
（3）解決問題
如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，點D在AB邊上，AE＝3，將△ADE繞著點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點C到直線DE的距離．
2024-2025學年四川省成都市金牛區(qū)鐵路中學九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(共8小題，每題4分，共32分)
1．（4分）如圖是由5個相同的小立方塊搭成的幾何體，從正面看這個幾何體是（ ）
A．B．C．D．
【考點】由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖．
【答案】A
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看，從左到右共3列、2、6，
故選：A．
2．（4分）已知，則的值是（ ）
A．B．C．3D．
【考點】比例的性質(zhì)．
【答案】D
【分析】根據(jù)＝得出＝，再把要求的式子化成﹣1，然后進行計算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝﹣1＝．
故選：D．
3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，則配方正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝7D．（x+2）2＝7
【考點】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】C
【分析】先把﹣3移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣3x＝3，
∴x2﹣5x+4＝3+2，
∴（x﹣2）2＝6．
故選：C．
4．（4分）如圖，點O，F(xiàn)在直線AD上，E在直線BC上，且AB∥EF∥CD，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則（ ）
A．B．C．D．
【考點】平行線分線段成比例．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算，得到答案．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝5+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故選：A．
5．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一個條件后（ ）
A．＝B．∠B＝∠DC．＝D．∠C＝∠AED
【考點】相似三角形的判定．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠4+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴選項B、D根據(jù)兩角對應(yīng)相等判定△ABC∽△ADE，
選項A根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定△ABC∽△ADE，
選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，
故選：C．
6．（4分）若?ABCD中對角線AC、BD相交于點O，則下列說法正確的是（ ）
A．當OA＝OD時，?ABCD為菱形
B．當AB＝AD時，?ABCD為正方形
C．當∠ABC＝90°時，?ABCD為矩形
D．當AC⊥BD時，?ABCD為矩形
【考點】正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定．
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定可得出結(jié)論．
【解答】解：當OA＝OD時，平行四邊形ABCD是不一定是菱形；
當AB＝AD時，?ABCD不一定為正方形；
當∠ABC＝90°時，?ABCD為矩形；
當AC⊥BD時，?ABCD為是菱形；
故選：C．
7．（4分）某種音樂播放器MP3原來每只售價400元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)在每只售價為256元，則可列方程為（ ）
A．400（1﹣x）＝256B．400（1﹣x）2＝256
C．256（1﹣x）＝400D．256（1﹣x）2＝400
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【答案】B
【分析】根據(jù)原價、降價的百分比、售價的關(guān)系列方程即可．
【解答】解：第一次降價后的售價為400（1﹣x）元，第二次降價后的售價為400（1﹣x）8元，
因此可列方程為：400（1﹣x）2＝256，
故選：B．
8．（4分）如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，那么∠BOE的度數(shù)為（ ）
A．55°B．65°C．75°D．67.5°
【考點】矩形的性質(zhì)．
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定、性質(zhì)，由BO＝BE，∠OBE的度數(shù)，然后即可計算出∠BOE的度數(shù)．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴AB＝BE，
∴AC＝2CD，
∴BD＝2AB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠OAD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBE＝30°，
∴∠BOE＝∠BEO＝＝75°，
故選：C．
二、填空題（共5小題，每題4分，共20分)
9．（4分）在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，則袋子里白球可能是 9 個．
【考點】利用頻率估計概率．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，可以計算出紅球的個數(shù)．
【解答】解：由題意可得，
30×0.3＝2（個），
即袋子中白球的個數(shù)最有可能是9個，
故答案為：9．
10．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，△DEF面積為9，則的值為 ．
【考點】位似變換．
【答案】．
【分析】根據(jù)位似變換的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∵△ABC面積為1，△DEF面積為9，
∴＝，
∵AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴＝＝，
∴＝，
故答案為：．
11．（4分）2023年第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進行巧妙融合，其中浪潮設(shè)計借助了黃金分割比以給人協(xié)調(diào)的美感．如圖，若點C可看作是線段AB的黃金分割點（AC＜CB），則BC＝ （5﹣5） cm．（結(jié)果保留根號）
【考點】黃金分割．
【答案】（5﹣5）．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．
【解答】解：∵點C可看作是線段AB的黃金分割點（AC＜CB），AB＝10cm，
∴BC＝AB＝﹣5）cm，
故答案為：（6﹣5）．
12．（4分）如圖，小明用長為2.5m的竹竿CD做測量工具，測量學校旗桿AB的高度，使竹竿、旗桿的頂端的影子恰好落在地面的同一點O．此時，竹竿與這一點O相距6m、與旗桿相距12m 7.5 m．
【考點】相似三角形的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由平行線證明三角形相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解題即可．
【解答】解：∵竹竿CD和旗桿AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即＝，
∴AB＝3CD＝7.3m；
故答案為：7.5．
13．（4分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點
①以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AB，N；
②以點D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點M′；
③以點M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點N′；
④過點N′作射線DN′交BC于點E．
若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為 ．
【考點】作圖—基本作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】．
【分析】由作圖知∠A＝∠BDE，由平行線的性質(zhì)得到DE∥AC，證得△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：由作圖知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面積：△BDE的面積＝（△BDE的面積+四邊形ACED的面積）：△BDE的面積＝1+四邊形ACED的面積：△BDE的面積＝1+＝，
∴△BDE的面積：△BAC的面積＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案為：．
三、解答題(共48分)
14．（12分）（1）計算：；
（2）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪．
【答案】（1）6﹣+3；（2）x1＝7，x2＝﹣1．
【分析】（1）先計算負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，化簡絕對值，求平方根，然后進行加減運算即可．
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）
＝4﹣+1+3
＝6﹣+6；
（2）x2﹣7x﹣7＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x3＝7，x2＝﹣7．
15．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有實根．
（1）求實數(shù)k的取值范圍．
（2）方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．
【答案】（1）k≤；
（2）﹣3．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式計算即可；
（2）利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代入所給的等式即可求值．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k﹣6＝0有實根，
∴Δ＝37﹣4（k﹣2）≥4，
解得k≤；
（2）∵方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x8，
∴x1+x2＝﹣7，x1x2＝k﹣6，
∵（x1﹣1）（x3﹣1）＝﹣1，
∴x5x2﹣（x1+x8）+1＝﹣1，
∴k﹣4+3+1＝﹣6，
解得k＝﹣3，符合題意．
故所求k的值為﹣3．
16．（8分）3月14日是國際數(shù)學日．某校在“國際數(shù)學日”當天舉行了豐富多彩的數(shù)學活動，其中游戲類活動有：A．數(shù)字猜謎；B．數(shù)獨；D．24點游戲；E．數(shù)字華容道．該校為了解學生對這五類數(shù)學游戲的喜愛情況（每位學生必選且只能選一類），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖如圖所示．
根據(jù)上述信息，解決下列問題．
（1）本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為 200 ，并補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
（2）若該校有3000名學生，請估計該校參加魔方游戲的學生人數(shù)；
（3）該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計劃從這4名學生中隨機抽取2名學生參加市青少年魔方比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法
【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由20人占調(diào)查總?cè)藬?shù)的10%可得本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為200；即可求出喜歡24點游戲的有50人，從而補全條形統(tǒng)計圖．
（2）用調(diào)查總?cè)藬?shù)中參加魔方游戲的占列式計算可得該校參加魔方游戲的學生人數(shù)約為900人；
（3）畫出樹狀圖，再用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
∴本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為200；
200﹣（40+20+60+30）＝50（人），
∴喜歡24點游戲的有50人；
補全條形統(tǒng)計圖如下：
故答案為：200；
（2）3000×＝900（人），
∴該校參加魔方游戲的學生人數(shù)約為900人；
（3）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到1名男生和1名女生有7種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是＝．
17．（10分）如圖，點D在△ABC的邊AB上，∠ACD＝∠B，
（1）求證：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝1，BD＝3，求AC的長．
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）2．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；
（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案．
【解答】（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴，
∵AD＝1，BD＝3，
∴AB＝7，
∴AC2＝AD?AB＝1×5＝4，
∴AC＝2（負值舍去）．
即AC的長為4．
18．（10分）已知矩形ABCD，點E、F分別在AD、DC邊上運動，連接BF、CE
（1）如圖1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°；
（2）如圖2，若∠EBF＝∠DEC，，求；
（3）如圖3，連接AP，若∠EBF＝∠DEC，BC＝3，求PB的長度．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）線段DE的長度為；
（2）＝；
（3）PB的長度為．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，＝＝，結(jié)合四邊形內(nèi)角和可證得△CED∽△BFC，得出＝＝，即可求得答案；
（2）根據(jù)已知條件可證得△EBP∽△ECB，得出＝＝，進而得出EB＝EP，利用EC＝EP+PC，即可得出答案．
（3）過點A作AH⊥BP于H，過點P作MN⊥BC于N，交AD于M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得BH＝HP，設(shè)BH＝HP＝x，則BP＝2x，即＝，仿照（2）可得△EBP∽△ECB，得出＝＝＝，推出＝，由MN∥CD，可得＝＝，得出PM＝，PN＝2﹣，再證得△BPN∽△ABH，得出＝，解方程2（2﹣）＝2x2，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵，
∴＝＝，
∵∠A+∠ABP+∠BPE+∠AEP＝360°，∠AEP+∠ABP＝180°，
∴∠A+∠BPE＝180°，
∴∠BPE＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°＝∠CPF，
∴∠ECD+∠CFB＝90°，
∵∠FBC+∠CFB＝90°，
∴∠ECD＝∠FBC，
∴△CED∽△BFC，
∴＝＝，
∵CF＝4，
∴DE＝CF＝；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵∠EBF＝∠DEC，
∴∠EBF＝∠ECB，
∵∠BEP＝∠CEB，
∴△EBP∽△ECB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴EB＝EP，
∵EC＝EP+PC，
∴＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如圖6，過點A作AH⊥BP于H，交AD于M，
∵AP＝AB＝2＝CD，AH⊥BP，
∴BH＝HP，設(shè)BH＝HP＝x，
∵BC＝AD＝3，
∴＝，
∵∠EBF＝∠DEC，由（2）得△EBP∽△ECB，
∴＝＝＝，
∴EB＝EP，
∴＝，即＝，
∵MN∥CD，
∴＝＝，
∴PM＝，
∵∠D＝∠DCN＝∠MNC＝90°，
∴四邊形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝2，
∴PN＝2﹣，
∵∠BNP＝∠AHB＝90°，
∴∠PBN+∠BPN＝90°，
∵∠PBN+∠ABH＝90°，
∴∠BPN＝∠ABH，
∴△BPN∽△ABH，
∴＝，
∴AB?PN＝BH?BP，
∴7（2﹣）＝2x4，
∴x2＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BP＝2x＝，
故PB的長度為．
一、填空題（每小題4分，共20分)
19．（4分）若m、n是方程x2+2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式m2+3m+n＝ 1 ．
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】1．
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出m+n，mn和m2+2m的值，然后把所求代數(shù)式寫成含有m+n和m2+2m的形式，再整體代入計算算即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣8＝0的兩個實數(shù)根，
∴m十n＝﹣2，mn＝﹣6，m2+2m＝4，
m2+3m+n
＝m6+2m+m+n
＝3+（﹣6）
＝1，
故答案為：1．
20．（4分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，點Q是BC邊上一個動點，當BQ＝ 2或8 時，△BPQ與△BAC相似．
【考點】相似三角形的判定．
【答案】2或8．
【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分別得出答案．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝16，
∴BP＝4．
當△BPQ∽△BAC時，
∴＝，
∴＝，
解得：BQ＝8；
當△BPQ∽△BCA時，
則＝，
∴＝，
解得：BQ＝2，
綜上所述：當BQ＝2或8時，△BPQ與△BAC相似．
故答案為：2或6．
21．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A和C分別落在y軸與x軸的正半軸上，OC＝8．若直線y＝2x+b把矩形分成面積相等的兩部分，則b的值等于 ﹣5 ．
【考點】中心對稱；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；矩形的性質(zhì)．
【答案】﹣5．
【分析】當直線經(jīng)過AC的中點時，直線把矩形的面積等分，求出AC的中點，代入直線的解析式求出b即可．
【解答】解：∵OA＝6，OC＝8，
∴A（5，6），0），
∴AC中點的坐標為（3，3），
∵當直線y＝2x+b經(jīng)過AC的中點時，直線把矩形的面積等分，
把（3，3）代入y＝2x+b得，
2×4+b＝3，
解得b＝﹣2．
故答案為：﹣5．
22．（4分）有一個數(shù)字游戲，第一步：取一個自然數(shù)n1＝5，計算n1?（3n1+1）得a1，第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計算n2?（3n2+1）得a2，第三步算出a2的各位數(shù)字之和得n3，計算n3?（3n3+1）得a3；…以此類推，則a2024的值為 200 ．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
【答案】200．
【分析】根據(jù)題意，可以寫出n1，a1，n2，a2．n3，a3，n4，a4，然后即可發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，從而可以寫出a2024的值．
【解答】解：由題意可得，
n1＝5，a6＝5×（3×5+1）＝80，
n2＝5+0＝8，a2＝8×（3×7+1）＝200，
n3＝7+0+0＝4，a3＝2×（7×2+1）＝14，
n7＝1+4＝7，a4＝5×（3×5+1）＝80，
…，
由上可得，每三個為一個循環(huán)，
2024÷3＝674……2，
∴a2024＝a2＝200，
故答案為：200．
23．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，BH⊥AC于點H．交AF于點G，點D在直線AF上運動，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，BE的長為 2 ．
【考點】相似三角形的應(yīng)用；垂線段最短．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】如圖，連接CG，CE．證明△DBG∽△EBC，推出∠BGD＝∠BCE＝112.5°，推出∠ACE＝45°，推出點E的運動軌跡是直線EC，推出當AE⊥EC時，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：如圖，連接CG．
∵BH⊥AC，
∴∠BHA＝90°，
∵∠ABH＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，BF＝CF，
∴GB＝GC，
∴∠BGF＝∠CGF＝67.5°，
∴∠GBF＝∠GCF＝22.2°，
∵DB＝DE，∠BDE＝135°，
∴∠DBE＝∠DEB＝22.5°，
∴∠DBE＝∠GBC＝∠DEB＝∠GCF，
∴△DBE∽△GBC，
∴＝，
∴＝，
∵∠DBG＝∠EBC，
∴△DBG∽△EBC，
∴∠BGD＝∠BCE＝112.5°，
∵∠ACB＝67.2°，
∴∠ACE＝45°，
∴點E的運動軌跡是直線EC，
∴當AE⊥EC時，AE的值最小AC＝8，
此時∠BAE＝90°，BE＝＝，
故答案為2．
二、解答題（共30分）
24．（8分）某超市以每千克40元的價格購進菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠．現(xiàn)決定降價銷售（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價多少元？
【考點】一元二次方程的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；
（2）這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價12元．
【分析】（1）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)圖象上點的坐標，利用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再結(jié)合要讓顧客獲得更大實惠，即可得出這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價7元．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
將（2，100），160）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案為：y＝20x+60（7＜x＜20）．
（2）根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x4＝5，x2＝12，
又∵要讓顧客獲得更大實惠，
∴x＝12．
答：這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價12元．
25．（10分）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x﹣交x軸于點A，直線y＝﹣x+3交x軸于點C
（1）如圖1，連接BC，求△BCD的面積；
（2）如圖2，在直線y＝﹣x+3上存在點E，求點E的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OE，點P在直線EF上，在平面中存在一點Q，E，P，Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．
【考點】一次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）11；
（2）E（2，）；
（3）點Q的坐標為（，﹣）或（，2）或（﹣，﹣2）．
【分析】（1）對于直線y＝﹣3x﹣，令x＝0，則y＝﹣，故點B（0，﹣），同理可得點D（0，3）、（4，0），△BCD的面積＝×BD×OC，即可求解；
（2）證明△EHB≌△RGE（AAS），則RG＝EH，BH＝GE，即可求解；
（3）利用平移的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）對于直線y＝﹣3x﹣，令x＝0，故點B（0，﹣）；
對于y＝﹣x+8，則y＝3，即﹣，
解得：x＝4，
故點D（0，5），0），
則BD＝3+＝，OC＝7，
△BCD的面積＝×BD×OC＝；
（2）由題意，∠ABE＝45°，點E只能直線在AB的右側(cè)，過點E作y軸的平行線交過點R與x軸的平行線于點G，如圖8，
設(shè)點E（m，﹣m+8），﹣3n﹣），
∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，
∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠REG＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，
∴△EHB≌△RGE（AAS），
∴RG＝EH，BH＝GE，
即m＝﹣3n﹣+m﹣4，﹣＝m﹣n，
解得，
故點E（2，）；
（3）如圖3，設(shè)EF交x軸于點M，
∵點E（2，），C（4，D（7，
∴EC＝＝，CD＝，
∵過點E作CD的垂線交y軸于點F，
∴∠MEC＝90°，
∴△CEM∽△COD，
∴＝，
∴＝，
解得：CM＝，
∴OM＝4﹣＝，
由點E、M的坐標得x﹣，
設(shè)點P（a，a﹣），t），
點O向右平移5個單位向上平移個單位得到E，
同樣點P（Q）向右平移8個單位向上平移個單位得到Q（P），
當點P在點Q的下方時，
則a+6＝s且a﹣+，
OE＝OP，即22+（）2＝a3+（a﹣）2②，
聯(lián)立①②并解得：a＝6或﹣，
故點Q的坐標為（，﹣）（不合題意的值已舍去）；
當點P在點Q的上方時，
同理可得，點Q的坐標為（，﹣2）．
綜上，點Q的坐標為（，﹣，2）或（﹣．
26．（12分）（1）問題發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，△ABC和△CDE均為等邊三角形，直線AD和直線BE交于點F．
填空：①∠AFB的度數(shù)是 60° ；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為 AD＝BE ；
（2）類比探究
如圖2，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，DE＝EC，直線AD和直線BE交于點F．請判斷∠AFB的度數(shù)及線段AD，并說明理由．
（3）解決問題
如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，點D在AB邊上，AE＝3，將△ADE繞著點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點C到直線DE的距離．
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），即可解決問題．
（2）結(jié)論：∠AFB＝45°，AD＝BE．證明△ACD∽△BCE，可得＝＝，∠CBF＝∠CAF，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1中，
∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ACD＝∠CBF，
設(shè)BC交AF于點O．
∵∠AOC＝∠BOF，
∴∠BFO＝∠ACO＝60°，
∴∠AFB＝60°，
故答案為60°，AD＝BE．
（2）結(jié)論：∠AFB＝45°，AD＝．
理由：如圖6中，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，＝＝，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，∠CBF＝∠CAF，
∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°．
（3）如圖7中，
∵AEB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，E四點共圓，
∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，
∵∠FAE＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝cs30°＝，
∴EC＝BD，
在Rt△ADE中，∵DE＝，
∴AE＝DE＝3，
∴BE＝＝4，
∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，
∴CE＝BD＝6﹣，
∵∠BEC＝30°，
∴點C到直線DE的距離等于CE?sin30°＝﹣．
如圖4中，當D，同法可知BD＝DE+EB＝4+BD＝8+，
點C到直線DE的距離等于CE?sin30°＝+．
綜上所述，點C到直線DE的距離等于±．

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