1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將中式子代入集合中,求出，則交集的元素可求.
【詳解】令，可得，
又，可得，則，
可得.
故選：A.
2. 下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（ ）
A. ，
B，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)相等函數(shù)的判定方法，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)；
B選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域也為，且與對(duì)應(yīng)關(guān)系一致，是同一函數(shù)，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)；
D選項(xiàng)， 因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一函數(shù)，故D錯(cuò).
故選：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】
由分式不等式的解法，求得不等式的解集，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由題意，不等式可化為，即，解得，
即不等式的解集為，
所以“”是“”的充分必要條件.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要條件的判定，其中解答中熟記分式不等式的解法，以及充分條件、必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.
4. 設(shè)，，則有（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作差法比較大小即可.
【詳解】，
，
故選：A
5. 若，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將化簡(jiǎn)得，利用作差法、基本不等式和絕對(duì)值性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>對(duì)于A，因?yàn)椋?，即，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，即，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
又因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，，，即，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
6. 已知是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的滿足且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意判斷出在上單調(diào)遞增，再由函數(shù)在上為偶函數(shù)，得到，將代入解題即可.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的滿足，所以在上單調(diào)遞增，
又是定義在上的偶函數(shù)，且，
所以，所以，解得或.
故選：C
7. 中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，代入，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>故，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，則此三角形面積的最大值為12.
故選：C
8. 已知函數(shù)的值域與函數(shù)的定義域相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以的值域是R，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋裕?br>所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，分析與集合、、的關(guān)系，利用集合的運(yùn)算關(guān)系，逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得出結(jié)論.
【詳解】如圖，在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則或，所以陰影部分所表示的集合為，再根據(jù)集合的運(yùn)算可知，陰影部分所表示的集合也可表示為，
所以選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)CD不正確，
故選：AD.
10. 下列說(shuō)法正確的是（）
A. 命題“，”的否定是“，”
B. 至少有一個(gè)整數(shù)，使得為奇數(shù)
C. “”是“”的必要條件
D. “”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞的命題的否定判斷A，判斷是偶數(shù)可判斷B，根據(jù)必要條件的概念可判斷C，根據(jù)方程根的分布求出參數(shù)范圍判斷D.
【詳解】對(duì)于A，命題“，”的否定為命題“，”.
正確；
對(duì)于B，，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，則為偶數(shù)，
若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，所以一定是偶數(shù)，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，不能推出，也不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若關(guān)于的方程有一正一負(fù)兩個(gè)根，
則，解得，
所以“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，正確.
故選：AD
11. 已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（ ）
A. 的對(duì)稱軸為直線
B. 的對(duì)稱軸為直線
C.
D. 不等式的解集為
【答案】BD
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的定義確定對(duì)稱軸即可判斷AB；根據(jù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可判斷D.
【詳解】A：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A可知，B正確；
C：因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線，所以，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則，故C錯(cuò)誤；
D：因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線，且在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
由，得，即，解得，故D正確.
故選：BD.
12. 下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 已知，則的最小值為
B. 若正數(shù)x、y滿足，則的最小值為9
C. 若正數(shù)x、y滿足，則的最小值為3
D. 設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，
所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若正數(shù)x、y滿足，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
令，
則，即，解得，即，所以的最小值為9，故B正確；
對(duì)于C，若正數(shù)x、y滿足，則，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故C正確；
對(duì)于D，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以或，解得或.
當(dāng)時(shí)，，不符合元素的互異性，舍；
當(dāng)時(shí)，，符合題意.
綜上，.
故答案為：
14. 已知不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求出，代入解二次不等式即可.
【詳解】由不等式的解集為，則，
則，則，即為，
解得：.
故答案：
15. 正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍______
【答案】
【解析】
【分析】把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.
【詳解】因?yàn)榍?，是正?shù)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，解?
故答案為：
16. 若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“倒值區(qū)間”．已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．那么當(dāng)時(shí)，______；求函數(shù)在上的“倒值區(qū)間”為_(kāi)_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出時(shí)，，再由二次函數(shù)的單調(diào)性及“倒值區(qū)間”的定義，列出方程求解即可.
【詳解】設(shè)，則，
，
由為奇函數(shù)，可得，
故當(dāng)，，
對(duì)稱軸方程為，
所以時(shí)，，
設(shè)是在上的“倒值區(qū)間”，則值域?yàn)椋?br>所以，即，
所以在上單調(diào)遞減，
，即，
解得，
所以函數(shù)在上的“倒值區(qū)間”為.
故答案為：；
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知集合
（1）若是空集，求的取值范圍；
（2）若中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合.
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)是空集，可知，解不等式組即可；
（2）根據(jù)中只有一個(gè)元素，分和兩種情況進(jìn)行討論.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭强占?，即解得?br>所以的取值范圍為.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，集合，符合題意；
當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)集合，
綜上所述，的值為或，
當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，集合.
18. 已知集合．
（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是的必要條件，且集合不為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）．
【解析】
【分析】（1）分類討論和兩種情況，分別求出對(duì)應(yīng)m的取值范圍即可；
（2）由題意可得且，列出不等式組，解之即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，由，得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，可得或，解得．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知且.
可得解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．.
19. 已知二次函數(shù)滿足，且．
（1）求的解析式；
（2）若函數(shù)，求的值域.
【答案】19.
20. .
【解析】
【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；當(dāng)時(shí)，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)二次函數(shù)
因?yàn)?，所以?br>由，得，
得，
所以得，
故．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸，
在上單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，，
令，，則，
，對(duì)稱軸，
該函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，的值域?yàn)?
20. 已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
（1）求的值，并寫出的解析式；
（2）解關(guān)于的不等式，其中.
【答案】（1）3，
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解；
（2）由（1）可得原不等式變形為，分類討論含參一元二次不等式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，
則，解得，所以；
【小問(wèn)2詳解】
不等式0，即
當(dāng)，，即不等式解集為，
當(dāng)，或，即不等式解集為，
當(dāng)，或，即不等式解集.
所以，當(dāng)，不等式解集為，
當(dāng)，不等式解集為，
當(dāng)，不等式解集為.
21. 中華人民共和國(guó)第14屆冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市舉行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售 8萬(wàn)件.
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少0.2萬(wàn)件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元?
（2）為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).
【答案】（1）40元；
（2）至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件，每件定價(jià)30元.
【解析】
【分析】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，由題設(shè)有，解一元二次不等式求范圍，即可確定最大值；
（2）問(wèn)題化為時(shí)，有解，利用基本不等式求右側(cè)最小值，并確定等號(hào)成立條件，即可得到結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得，
則，解得，
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元
【小問(wèn)2詳解】
依題意，時(shí)，不等式有解，
等價(jià)于時(shí)，有解，
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
所以，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元，
當(dāng)該商品明年的銷售量至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．
22. 已知函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>（1）寫出函數(shù)的奇偶性（無(wú)需證明），判斷并用定義法證明函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）若，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）解不等式．
【答案】（1）在定義域?yàn)榕己瘮?shù)；在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由偶函數(shù)和單調(diào)性的定義可得；
（2）先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最小值，根據(jù)恒成立即可得；
（3）根據(jù)函數(shù)的定義域，單調(diào)性，偶函數(shù)，結(jié)合列出不等式組即可.
【小問(wèn)1詳解】
在定義域?yàn)?br>因，所以為偶函數(shù)；.
在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下
設(shè)，
則
因，所以，，，
所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，
又，都有恒成立，
所以只需成立，即，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，在定義域?yàn)榕己瘮?shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故由得，即，
解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

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