一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意，，則，
所以的虛部為.
故選：A
2. 已知集合，集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因為集合，集合，集合，
所以，，
，，
故正確的只有D.
故選：D
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故選：B.
4. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為，所以，即，又，即，
又，所以，所以；
因為，所以，所以，所以
所以.
故選：A.
5. 是一種由60個碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結(jié)構(gòu)由12個正五邊形和20個正六邊形組成．如圖，將足球烯上的一個正六邊形和相鄰正五邊形展開放平，若正多邊形的邊長為1，為正多邊形的頂點，則（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】如圖所示，

連接，，由對稱性可知，，
取的中點，則，，
又因為正六邊形的邊長為1，所以，
所以，
故選：B．
6. 已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，高為，
由題意可得：，解得，
設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為，則，
可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.
故選：C.
7. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，所以，
解得，又，當(dāng)時，．
故選：C.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換，考查函數(shù)的對稱性，掌握誘導(dǎo)公式是解題關(guān)鍵．平移變換時要注意平移單位是對自變量而言，屬于中檔題．
8. 已知函數(shù)最小值為，則的最小值為（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】因為，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
，
，
故選：B．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 在的展開式中，下列命題正確的是（ ）
A. 二項式系數(shù)之和為64B. 所有項系數(shù)之和為
C. 常數(shù)項為60D. 第3項的二項式系數(shù)最大
【答案】AC
【解析】對于選項A：因為，可知二項式系數(shù)之和為，故A正確；
對于選項B：令，可得所有項系數(shù)之和為，故B錯誤；
對于選項C：因為展開式的通項為，
令，可得，所以常數(shù)項為，故C正確；
對于選項D：因為，可知二項式系數(shù)最大值為，為第4項，故D錯誤；
故選：AC.
10. 已知a，b均為正實數(shù)，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】對于A，，∴，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤：
對于D，
，故D正確．
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
B. 是函數(shù)的極值點
C. 過原點僅有一條直線與曲線相切
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】對于A項，由已知可得，
令，則.
解可得，，所以在上單調(diào)遞增；
解可得，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，恒成立，即恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項A正確；
對于B項，由A可知，在上單調(diào)遞增，故B項錯誤；
對于選項C，設(shè)切點的坐標(biāo)為，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率，
所以過的切線方程為.
又切線經(jīng)過原點，所以有，
整理為.
令，有，
當(dāng)時，，有；當(dāng)時，，有.
所以恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增.
又由，，
根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點.
故過原點僅有一條直線與曲線相切，選項C正確；
對于D選項，若，有，
由函數(shù)單調(diào)遞增，
有，.
令，有．
令，有
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
可得恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增.
又由，
所以時，，，所以在上單調(diào)遞減；
時，，，所以在上單調(diào)遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，故成立，選項D正確．
故選：ACD．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 有一座六層高的商場，若每層所開燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所開燈的數(shù)量為______盞.
【答案】30
【解析】依題意，從下往上每層燈的數(shù)據(jù)構(gòu)成等比數(shù)列，公比，，前6項和，
于是，解得，
所以底層所開燈的數(shù)量為30盞.
13. 已知，，若，則的最小值為_________.
【答案】3
【解析】因為，所以，
所以，易得定義域為，
而，所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時解得.
14. 設(shè)為雙曲線的一個實軸頂點，為的漸近線上的兩點，滿足，，則的漸近線方程是______．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，作圖如下：

依題意，為的角平分線，且，
設(shè)，由角平分線定理可得：，則；
在中，由余弦定理；
在中，由余弦定理可得，，
即，解得
故，，
所以的漸近線方程是．
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟．
15. 已知命題：“，”為假命題，設(shè)實數(shù)的所有取值構(gòu)成的集合為.
（1）求集合；
（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）因為命題為假命題，故關(guān)于的一元二次方程無解，
即，解得，故集合；
（2）由是的必要不充分條件，可知?，
當(dāng)時，既，解得，此時滿足?，
當(dāng)時，如圖所示，

故且等號不同時成立，
解得，
綜上所述，取值范圍是.
16. 在中，A，B，C分別為邊a，b，c所對的角，且滿足.
（1）求的大小
（2）若，，求面積
解：（1）因為，且在中，，
所以，由正弦定理得，
所以，，
故，，所以.
（2）在中，由余弦定理得，解得(負(fù)根舍去)，
所以.
17. 如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點是棱上的一點，且.
（1）求證：四邊形為正方形；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：如圖，連接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，又四邊形是矩形，所以四邊形為正方形；
（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，所以，
故可取，
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
所以
即直線與平面所成角的正弦值為.
18. 駕駛員考試（機(jī)動車駕駛員考試）是由公安局車管所舉辦的資格考試，只有通過駕駛員考試才能取得駕照，才能合法的駕駛機(jī)動車輛．考試內(nèi)容和合格標(biāo)準(zhǔn)全國統(tǒng)一，根據(jù)不同準(zhǔn)駕車型規(guī)定相應(yīng)的考試項目．機(jī)動車駕駛?cè)丝荚噧?nèi)容分為道路交通安全法律、法規(guī)和相關(guān)知識考武科目（以下簡稱“科目一”）、場地駕駛技能考試科目（以下簡稱“科目二”）、道路駕駛技能和安全文明駕駛常識考試科目（以下簡稱“科目三”）．申請人科目一、科目二、科目三考試均合格后，就可以領(lǐng)取駕駛證．某駕校經(jīng)統(tǒng)計，駕駛員科目一考試平均通過的概率為，科目二：平均通過的概率為，科目三平均通過的概率為．該駕校王教練手下有4名學(xué)員參加駕駛員考試．
（1）記這4名學(xué)員參加駕駛員考試，通過考試并領(lǐng)取駕駛證的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差；
（2）根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)員在學(xué)完固定的學(xué)時后，每增加一天學(xué)習(xí)，沒有通過考試拿到駕駛證的概率會降為原來的0.4，請問這4名學(xué)員至少要增加多少天的學(xué)習(xí)，才能保證這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證?（我們把概率超過0.99的事件稱為必然事件，認(rèn)為在一次試驗中必然事件一定會發(fā)生）
參考數(shù)據(jù)：，
解：（1）1名學(xué)員通過考試并領(lǐng)取駕駛證的概率為，根據(jù)題意可知，
X的取值分別為0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
故X的分布列為：
，；
（2）增加k（k為正整數(shù)）天學(xué)習(xí)后，
每位學(xué)員通過考試拿到駕駛證的概率為，
若這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證，有，
有，有，有，
又由
．
可得，
故這4名學(xué)員至少要增加6天的學(xué)習(xí)，才能保證這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證．
19. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）已知有兩個極值點.
（?。┣蟮娜≈捣秶?；
（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.
解：（1）當(dāng)時，則，，
可得，，
即切點坐標(biāo)為，切線斜率，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）（?。┯深}意可知：的定義域為，，
令，可得，
原題意等價于有兩個不同的正實數(shù)根，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
可知，所以的取值范圍；
（ii）由（i）可知：有兩個不同的正實數(shù)根，，
不妨設(shè)，可知，
當(dāng)時，；當(dāng)或時，；
可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為的極小值點，為的極大值點，
對于的極值點，則，
可得，
設(shè)，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，可知，則，
又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以的極大值的取值范圍是.X
0
1
2
3
4
P

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