一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù),則的虛部為( )
A.B.C.D.
2．已知集合,集合,集合,則( )
A.B.C.D.
3．已知,,則( )
A.B.C.D.
4．已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.B.C.D.
5．是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結(jié)構(gòu)由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成.如圖，將足球烯上的一個(gè)正六邊形和相鄰正五邊形展開(kāi)放平，若正多邊形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C為正多邊形的頂點(diǎn)，則( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知某圓錐的側(cè)面積為,軸截面面積為1,則該圓錐的母線與底面所成的角為( )
A.B.C.D.
7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,則的最小值為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的最小值為，則的最小值為( )
A.B.C.0D.1
二、多項(xiàng)選擇題
9．在的展開(kāi)式中,下列命題正確的是( )
A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為64B.所有項(xiàng)系數(shù)之和為
C.常數(shù)項(xiàng)為60D.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
10．已知a,b均為正實(shí)數(shù),且,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B. 是函數(shù)的極值點(diǎn)
C. 過(guò)原點(diǎn)O僅有一條直線與曲線相切
D. 若，則
三、填空題
12．有一座六層高的商場(chǎng),若每層所開(kāi)燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍,一共開(kāi)了1890盞,則底層所開(kāi)燈的數(shù)量為_(kāi)_____盞.
13．已知,,若,則的最小值為_(kāi)________.
14．設(shè)A為雙曲線的一個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，B，C為的漸近線上的兩點(diǎn)，滿足，，則的漸近線方程是___________.
四、解答題
15．已知命題p：“，”為假命題，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為A.
(1)求集合A；
(2)設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
16．在中,A,B,C分別為邊a,b,c所對(duì)的角,且滿足.
（1）求B的大小
（2）若,,求面積
17．如圖,在直四棱柱中,四邊形ABCD是矩形,,,點(diǎn)P是棱上的一點(diǎn),且.
（1）求證:四邊形ABCD為正方形;
（2）求直線與平面PAC所成角的正弦值.
18．駕駛員考 (機(jī)動(dòng)車駕駛員考試) 是由公安局車管所舉辦的資格考試, 只有通過(guò)駕駛員考試才能取得駕照, 才能合法的駕駛機(jī)動(dòng)車輛. 考試內(nèi)容和合格標(biāo)準(zhǔn)全國(guó)統(tǒng)一, 根據(jù)不同準(zhǔn)駕車型規(guī)定相應(yīng)的考試項(xiàng)目. 機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)丝荚噧?nèi)容分為道路交通安全法律、法規(guī)和相關(guān)知識(shí)考式科目(以下簡(jiǎn)稱“科目一”)、場(chǎng)地駕駛技能考試科目(以下簡(jiǎn)稱“科目二”)、道路駕駛技能和安全文明駕駛常識(shí)考試科目 (以下簡(jiǎn)稱“科目三”). 申請(qǐng)人科目一、科目二、科目三考試均合格后, 就可以領(lǐng)取駕駛證. 某駕校經(jīng)統(tǒng)計(jì), 駕駛員科目一考試平均通過(guò)的概率為 , 科目二平均通過(guò)的概率為,科目三平均通過(guò)的概率為,該駕校王教練手下有4名學(xué)員參加駕駛員考試.
(1)記這4名學(xué)員參加駕駛員考試, 通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證的人數(shù)為X, 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差;
(2)根涺調(diào)查發(fā)現(xiàn), 學(xué)員在學(xué)完固定的學(xué)時(shí)后, 每增加一天學(xué)習(xí), 沒(méi)有通過(guò)考試畣到駕駛證的概率會(huì)降為原來(lái)的0.4,請(qǐng)問(wèn)這 4 名學(xué)員至少要增加多少天的學(xué)習(xí), 才能保證這 4 名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證? (我們把概率超過(guò)0.99的事件稱為必然事件,認(rèn)為在一次試驗(yàn)中必然事件一定會(huì)發(fā)生)
參考數(shù)據(jù)：，
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）已知有兩個(gè)極值點(diǎn).
（?。┣骯的取值范圍；
（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：依題意,,則,
所以的虛部為.
故選:A
2．答案：D
解析：因?yàn)榧?集合,集合,
所以,,
,,
故正確的只有D.
故選:D
3．答案：B
解析：.
故選:B.
4．答案：A
解析：因?yàn)?所以,即,又,即,
又,所以,所以;
因?yàn)?所以,所以,所以
所以.
故選:A.
5．答案：B
解析：如圖所示，
連接，，由對(duì)稱性可知，，
取的中點(diǎn)H，則，，
又因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以，
所以，
故選：B.
6．答案：C
解析：設(shè)圓錐的母線為,底面半徑為,高為,
由題意可得:,解得,
設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為,則,
可得,所以該圓錐的母線與底面所成的角為.
故選:C.
7．答案：C
解析：由已知得,所以,
解得,又,當(dāng)時(shí),.
故選:C.
8．答案：B
解析：因?yàn)椋?br>令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
，
故選：B.
9．答案：AC
解析：對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)?可知二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B:令,可得所有項(xiàng)系數(shù)之和為,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為,
令,可得,所以常數(shù)項(xiàng)為,故C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?可知二項(xiàng)式系數(shù)最大值為,為第4項(xiàng),故D錯(cuò)誤;
故選:AC.
10．答案：ABD
解析：對(duì)于A,,,故A正確;
對(duì)于B,,故B正確;
對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤:
對(duì)于D,
,故D正確.
故選:ABD.
11．答案：ACD
解析：對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，
令，則.
解可得，，所以在上單調(diào)遞增；
解可得，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，恒成立，即恒成立，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，在R上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率，
所以過(guò)P的切線方程為.
又切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以有，
整理為.
令，有，
當(dāng)時(shí)，，有；
當(dāng)時(shí)，，有.
所以恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增.
又由，，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
故過(guò)原點(diǎn)O僅有一條直線與曲線相切，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，有，
由函數(shù)單調(diào)遞增，
有，.
令，有．
令，有
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
可得恒成立，
所以函數(shù)單調(diào)遞增.
又由，
所以時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，故成立，選項(xiàng)D正確．
故選：ACD
12．答案：30
解析：依題意,從下往上每層燈的數(shù)據(jù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比,,前6項(xiàng)和,
于是,解得,
所以底層所開(kāi)燈的數(shù)量為30盞.
故答案為:30
13．答案：3
解析：因?yàn)?所以,
所以,易得定義域?yàn)?
而,所以在上單調(diào)遞增,故,
所以,
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,此時(shí)解得.
故答案為:3
14．答案：
解析：根據(jù)題意，作圖如下：
依題意，為的角平分線，且，
設(shè)，由角平分線定理可得：，則；
在中，由余弦定理；
在中，由余弦定理可得，，
即，解得.
故，，
所以的漸近線方程是.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)槊}p為假命題，故關(guān)于x的一元二次方程無(wú)解，
即，
解得，故集合；
(2)由是的必要不充分條件，可知
當(dāng)時(shí)，既，解得，此時(shí)滿足，
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
故且等號(hào)不同時(shí)成立，
解得，
綜上所述，m的取值范圍是.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?且在中,,
所以,由正弦定理得,
所以,,
故,,所以.
（2）在中,由余弦定理得,解得(負(fù)根舍去),
所以.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）如圖,連接DB,在直四棱柱中,平面ABCD,平面ABCD,所以,
又,,,平面,所以平面,
又平面,所以,又四邊形ABCD是矩形,所以四邊形ABCD為正方形;
（2）如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
所以,,,
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為,所以,
故可取,
設(shè)直線與平面PAC所成角的大小為,
所以
即直線與平面PAC所成角的正弦值為.
18．答案： (1)分布列見(jiàn)解析,，
(2)這4名學(xué)員至少要增加6天的學(xué)習(xí),才能保證這4名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證
解析：(1)1名學(xué)員通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證的概率為,
根據(jù)題意可知.
X的取值分別為0,1,2,3,4,
，
，
，
，
.
故X的分布列為:
，；
(2)增加k(k為正整數(shù))天學(xué)習(xí)后, 每位學(xué)員通過(guò)考試拿到駕駛證的概率為，
若這4名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證,有,
有,有,有,
又由,
可得,
故這4名學(xué)員至少要增加6天的學(xué)習(xí),才能保證這4名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證.
19．答案：（1）
（2）（?。唬áⅲ?br>解析：（1）當(dāng)時(shí)，則，，
可得，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）（?。┯深}意可知：的定義域?yàn)?，?br>令，可得，
原題意等價(jià)于有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
可知，所以a的取值范圍；
（ii）由（i）可知：有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，，
不妨設(shè)，可知，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；
可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn)，
對(duì)于的極值點(diǎn)，則，，
可得，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，可知，則，
又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以的極大值的取值范圍是.
X
0
1
2
3
4
P

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