2024.11
本試卷共6頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名和準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.
1.已知，是兩個實數(shù)，，，則是的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2.結(jié)合不等式的性質(zhì)，下列說法中正確的是
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若，則
3.已知，，，則的最小值為
A.B.C.D.
4.已知，，則的值為
A.－2B.2C.－3D.3
5.已知集合，集合，集合，則以下元素屬于集合的是
A.B.C.D.
6.已知，，，則，，的大小關(guān)系是
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則的取值范圍是
A.B.C.D.
8.在銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，，已知，點為的中點，則中線的取值范圍是
A.B.C.D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.在同一直角坐標系中，函數(shù)，可能的圖象是
A.B.C.D.
10.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如，.若，則
A.當時，B.
C.函數(shù)是堵函數(shù)D.函數(shù)的值域為
11.已知函數(shù)的周期為，且滿足，則下列說法正確的是
A.在區(qū)間上單調(diào)遞減
B.直線是函數(shù)圖象的對稱軸
C.在區(qū)間上有兩個對稱中心
D.若在區(qū)間上有2024個根，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上.
12.已知函數(shù)，則不等式的解集是________.
13.函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則________.
14.在半徑為1，圓心角為的扇形中，是弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形，則矩形面積的最大值為________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，.
（1）求；
（2）若，的面積為，求，.
16.（本小題滿分15分）已知冪函數(shù)的圖象過點，.
（1）求的解析式；
（2）記，在區(qū)間上的值域分別為，，若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，對，使得成立，求正實數(shù)的最小值.
17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中點為圖象上的最高點，點，為圖象與軸的兩個相鄰交點，且是邊長為4的正三角形.
（1）求與的值；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到函數(shù)的圖象.若，，求的值.
18.（本小題滿分17分）某同學設(shè)計了如圖2所示的徽章圖案，其由三塊全等的矩形經(jīng)過如圖1所示的方式折疊后拼接而成.已知矩形的周長為8cm，設(shè)其中較長邊為，將沿向折疊，折過后交于點.

圖1 圖2
（1）用表示圖1中的面積：
（2）現(xiàn)決定按此方案制作一枚徽章，要求將徽章的六個直角（如圖2陰影部分）雙面鍍金（厚度忽略不計），已知鍍金的價格是2元/cm2，試求將這枚徽章鍍金所需的最大費用.
19.（本小題滿分17分）2024年9月25日，我國向太平洋發(fā)射了一發(fā)洲際導(dǎo)彈，我國洲際導(dǎo)彈技術(shù)先進，飛行軌跡復(fù)雜，飛行時需要導(dǎo)彈上的計算機不斷計算導(dǎo)彈飛行軌跡的彎曲程度，導(dǎo)彈的陀螺儀才能引導(dǎo)導(dǎo)彈精準命中目標.為此我們需要刻畫導(dǎo)彈飛行軌跡的彎曲程度.
如圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長為，當動點從沿曲線段運動到點時，點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當越接近，即越小，就越能精確刻畫曲線在點處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線在點處的曲率.（其中，分別表示在點處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
（1）求函數(shù)在點處的曲率；
（2）已知函數(shù)，求函數(shù)的曲率的最大值.
（3）設(shè)函數(shù)，，若存在，使得的曲率為0，求證：.
赤峰市2024年高三11·20模擬測試
參考答案與評分細則
12. 13.2025 14.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.【詳解答案】（1）由正弦定理可將
化為，
其中，…………（2分）
可得，…………（4分）
在中，，可得，由輔助角公式可得，（6分）
可得.…………（7分）
（2）的面積為，可得，…………（9分）
由余弦定理，可得，…………（11分）
綜上，或，.…………（13分）
16.【詳解答案】（1）設(shè)冪函數(shù)，由題意，即，
即函數(shù)的解析式為.…………（2分）
（2）由題意在區(qū)間上的值域為，…………（3分）
而函數(shù)區(qū)間上的值域為，…………（4分）
由是的必要條件可知，…………（6分）
即且，解得.…………（8分）
（3）由題意，…………（9分）
對，使得成立，可得，…………（11分）
在區(qū)間上，的最大值為，…………（12分）
在區(qū)間上，的最大值為，…………（13分）
令，可得，解得（舍）或，即，
即正實數(shù)的最小值為1.…………（15分）
17.【詳解答案】
（1）由已知可得 ，…………（3分）
由題圖可知，正三角形的高即為函數(shù)的最大值，則.…………（6分）
（2）由（1）可知，由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼模脠D象可知：，…………（10分）
由得，，…………（11分）
由得，，
從而，…………（13分）
故.…………（15分）
18.【詳解答案】（1）因為，所以，
又因為為較長邊，所以，即.…………（3分）
設(shè)，則
因為，，
所以，所以，…………（5分）
在中，由勾股定理得，
即，解得，…………（7分）
所以，…………（8分）
所以的面積（單位：）
…………（10分）
（2）設(shè)一枚徽章的鍍金費用為元，則…………（13分）
由基本不等式可知：，當且僅當，即時等號成立，…………（15分）
所以當時，一枚徽章的鍍金部分所需的最大費用為元.…………（17分）
19.【詳解答案】（1），，，，，（2分）
所以函數(shù)在點處的曲率為.…………（3分）
（2），，，
由定義知為非負數(shù)，由題意得，
，，，…………（5分）
令，，令，…………（6分）
則在上恒成立，…………（8分）
在上單調(diào)遞增，即，
，當且僅當時取到，所以曲率的最大值為.…………（9分）
（3）證明：由題意可得，，
若曲率為0，則，即，即，…………（10分）
令，則，得，…………（11分）
所以在上，，單調(diào)遞增，且；
在上，，單調(diào)遞減，且.
又，所以有兩個解.
設(shè)為，，，…………（13分）
又，所以，可設(shè)，，
所以，，，
化簡可得，則.…………（15分）
要證，即證，
需要證，即證，…………（16分）
令，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，得證.…………（17分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
C
A
B
C
題號
9
10
11
答案
ABD
AD
ACD

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