2025邢臺質(zhì)檢聯(lián)盟高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 雙曲線的漸近線方程為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令雙曲線方程的右邊為0，兩側(cè)開方，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．
【詳解】解：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
其漸近線方程是，
整理得．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．屬于基礎(chǔ)題．
2. 關(guān)于空間向量，下列運(yùn)算錯誤的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷即可.
【詳解】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知：，，
均成立，即A、B、C正確；
為與共線的向量，
為與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯誤．
故選：D
3. 已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，則的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用橢圓中的關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意可得解得，
所以橢圓的方程為.
故選：A
4. 已知，，，若，，共面，則（）
A. 0B. 1C. 2D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】由空間向量共面的基本定理求解即可；
【詳解】因?yàn)楣裁?，所以?br>即，
則解得.
故選：D.
5. 圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線方程為，代入拋物線，解得答案.
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn).設(shè)拋物線的方程為，
由點(diǎn)可得，解得，所以.
當(dāng)時，，所以水面寬度為.
故選：C.
6. 已知橢圓，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率.
【詳解】若線段軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，
設(shè)、，由題意可得，，
則，兩式相減可得，
所以，，解得，
因此，直線的斜率為.
故選：A.
7. 若動圓過定點(diǎn)，且和定圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程為（）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)動圓與定圓外切得出，再由雙曲線定義判斷
動點(diǎn)軌跡，寫出方程即可.
【詳解】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對稱.
設(shè)，由兩圓外切可得，
所以,
所以的軌跡為雙曲線的右支.
設(shè)的軌跡方程為，則，
所以軌跡方程為.
故選：D
8. 已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)，得出的軌跡方程，再結(jié)合條件為直線上的點(diǎn)，得到直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.
【詳解】設(shè)，則，，
因，所以，
即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.
點(diǎn)在直線上，
所以直線與圓有公共點(diǎn)，
則，解得
故選:B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與在第一象限的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線過點(diǎn)B. 直線的傾斜角為
C. D. 是等邊三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，代入驗(yàn)證可判斷A；由直線的斜率求出傾斜角可判斷B；由與直線的傾斜角的關(guān)系可判斷C；由拋物線定義可知，進(jìn)而判斷的形狀，從而判斷D.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，而，所以直線過點(diǎn)，故A正確；
設(shè)直線的傾斜角，因?yàn)橹本€的斜率為，，
所以，即直線的傾斜角為，故B正確；
因?yàn)?，故C錯誤；
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義可知，，
又，所以是等邊三角形，故D正確.
故選：ABD.

10. 圓和圓的交點(diǎn)為，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）
A. 直線的方程為
B. 線段的中垂線方程為
C.
D. 點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為8
【答案】ABD
【解析】
【分析】將兩圓的方程作差可得A正確；由圓的一般方程變成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，再由線段的中垂線經(jīng)過和的圓心可得B正確；由幾何法求出弦長可得C錯誤；由最大距離等于兩半徑之和加圓心距可得D正確；
【詳解】對于A，將兩圓的方程作差，可得，即直線的方程為，A正確.
對于B，圓，圓，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，，線段的中垂線經(jīng)過和的圓心，故線段的中垂線方程為，故B正確.
對于C，圓的圓心到直線的距離為，故，C錯誤.
對于D，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為，D正確.
故選：ABD.
11. 若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（）

A. 若，則
B. 存在點(diǎn)H，使得平面
C. 線段長度的最小值是
D. 存在點(diǎn)H，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】先建系，對于選項(xiàng)A，先證Q，B，N，P四點(diǎn)共面，再計(jì)算的值；對于選項(xiàng)B，先找出，，可得是平面的一個法向量，結(jié)合平面，則，依此求出H的位置；對于選項(xiàng)C，表示出，求解其最小值即可；對于D，依據(jù)，則，從而可判定H的存在性.
【詳解】對于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，
若，則，解得，A正確；
對于B：過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，
過點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，
則，，，，
故，，，，
易得是平面的一個法向量，若平面，
則，即，解得，符合題意，
所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，
對于C：，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為，C正確.
對于D：若，則，
得，無解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯誤.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意可知在平面上，然后建立坐標(biāo)系，根據(jù)投影表示所需要點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)計(jì)算即可.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若直線與互相垂直，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件（斜率存在時）即可求解.
【詳解】直線的斜率，則直線的斜率，解得.
故答案為：1
13. 如圖，在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，則__________.
【答案】6
【解析】
【分析】，為等邊三角形，利用向量數(shù)量積的定義求即可.
【詳解】棱長為的正方體中，
連接，則是邊長為的等邊三角形，
..
故選：
14. 已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)與在第一象限的交點(diǎn)為，且，記的離心率分別為，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，根據(jù)勾股定理化簡可得，結(jié)合離心率定義即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知，，
所以.
因?yàn)?，所以，即?br>所以，
故答案為：2.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知在中，，，，記的外接圓為圓.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一，求兩條線段垂直平分線的交點(diǎn)確定圓心，圓心到圓上一點(diǎn)的距離確定半徑，從而得到圓的方程；
方法二，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，待定系數(shù)法求圓的方程.
（2）先求圓心與點(diǎn)連線的斜率，利用垂直關(guān)系，確定切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解切線方程.
【小問1詳解】
（方法一）直線的方程為，、的中點(diǎn)為，
所以線段的中垂線方程為，
直線的方程為，、的中點(diǎn)為，
線段的中垂線方程為.
直線與直線的交點(diǎn)為，即圓的圓心為.
點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，
即圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（方法二）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，
解得
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【小問2詳解】
圓的圓心為，，直線的斜率為，
所以切線斜率為，所求切線方程為，
整理得.
16. 如圖，長方體的底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明線面平行；
（1）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】

設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則即
令，則.
證明：.
因?yàn)?，所以?br>平面ACD1，所以平面.
【小問2詳解】
易知為平面的一個法向量，且.
.
易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
17. 已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，是與的一個公共點(diǎn)，，.
（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)且與相切的直線與交于點(diǎn)，求.
【答案】（1）的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）
【解析】
【分析】（1）由拋物線的定義代入計(jì)算，即可求得的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可得到的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
記，則拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.
因?yàn)椋?，解得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，記，因?yàn)椋?br>所以，解得.因?yàn)椋?，?
由解得
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.
設(shè)直線.
聯(lián)立得.
由，解得，則.
設(shè).
聯(lián)立得，則，
故.
18. 如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.
（1）證明：.
（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，再由其性質(zhì)定理即可證明；
（2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)闉榈冗吶切危?
因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所?
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>所以.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平?
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則
.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則即
令，則，所以.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
19. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左?右頂點(diǎn)分別為，圓過點(diǎn)，與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與雙曲線的左?右兩支的交點(diǎn)分別為，，連接并延長，交雙曲線于點(diǎn)，記直線與直線的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在曲線上.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由圓過點(diǎn)得，由已知得是等邊三角形，進(jìn)而得漸近線的斜率，即可求出，即可得出的方程；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得，將直線與直線的方程變形可得.由及計(jì)算可證得結(jié)論.
【小問1詳解】
因?yàn)閳A過點(diǎn)，得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等邊三角形，.
雙曲線一條漸近線的斜率為，即，所以.
故的方程為.
【小問2詳解】
證明點(diǎn)在曲線上，即證明點(diǎn)在曲線上.
設(shè)直線，則.
聯(lián)立得，
則.
直線的方程為，直線的方程為
將直線與直線的方程變形可得,
即,
得，
即，
即，
化簡可得.
得，
，
，
，
化簡得.
將代入可得，
即點(diǎn)在曲線上.

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