1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）將拋物線y＝x2的圖象向下平移3個單位長度，則平移后拋物線的解析式為（ ）
A．y＝x2﹣3B．y＝x2+3C．y＝﹣x2﹣3D．y＝﹣x2+3
3．（3分）設方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2的值為（ ）
A．3B．﹣C．D．﹣2
4．（3分）點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝x2+2x+1的圖象上兩點，則y1與y2的大小系為（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y(tǒng)2D．無法確定
5．（3分）如圖，是惠東縣南湖公園噴水池噴出的拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，則水柱的最大高度是（ ）
A．2B．4C．6D．
6．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，則下列結論中不成立的是（ ）
A．B．C．OE＝BED．CE＝DE
7．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，則BE的長為（ ）
A．5B．4C．2D．3
8．（3分）若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0
9．（3分）在某次會議中，每兩人都握了一次手，共握手10次，設有x人參加會議，則可列方程為（ ）
A．x（x+1）＝10B．x（x﹣1）＝10
C．D．
10．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0
C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0
二、填空題.（本大題共5小題，每小題3分，共15分.）
11．（3分）若關于x的方程x2﹣x﹣6＝0的其中一個根是x1＝﹣2，則另一個根x2＝ ．
12．（3分）（跨學科與體育融合）在體育課上，當老師下達口令“向左轉(zhuǎn)”時，左腳正確的動作應是以 （填“腳跟”或“腳尖”）為旋轉(zhuǎn)中心，沿著 （填“順時針”或“逆時針”）方向旋轉(zhuǎn) 度．
13．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一個根，則2m+n的值是 ．
14．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，當 時，y＜0．
15．（3分）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x軸于O，A兩點；將C繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，交x軸于A1；將C2繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C3，交x軸于A2，…，如此進行下去，則拋物線C10的解析式是 ．
三、解答題（一）：（本大題共3小題，每小題7分，共21分.）
16．（7分）解一元二次方程：x2+4x﹣1＝0．
17．（7分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷點P（﹣2，3）是否在該二次函數(shù)的圖象上，如果在，請求出△ABP的面積；如果不在，試說明理由．
18．（7分）如圖，某中學為培養(yǎng)學生的綜合實踐能力，準備在學校圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊由長度為30m的籬笆圍成．如圖，墻長為16m，設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x m．請列出方程并解答：
（1）若苗圃園的面積為108m2，求x的值；
（2）苗圃園的面積能達到120m2嗎？若能，求出x的值；若不能，說明理由．
四、解答題（二）：（本大題共3小題，每小題9分，共27分.）
19．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為（﹣2，3），點B的坐標為（﹣6，0），點C的坐標為（﹣1，0），請解答下列問題：
（1）畫出△ABC關于原點成中心對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90度的△A2B2C2；
（3）請直接寫出：以A、B、C、D為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的所有可能坐標．
20．（9分）“筒車”是一種以水流作動力，取水罐田的工具，點P表示筒車的一個盛水桶，如①圖．明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖繪出了“筒車”的工作原理，如圖②．當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心的一個圓，且圓心始終在水面上方．若圓被水面截得的弦AB長為8m，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圓上的點距離水面的最大距離）為2米．
（1）求該圓的半徑．
（2）若水面下降導致圓被水面截得的弦AB的長度從原來的8米變?yōu)?米，則水面下盛水桶的最大深度為多少米？
21．（9分）綜合與實踐
根據(jù)以下素材，探索完成任務．
如何設計大棚苗木種植方案？
【素材1】如圖①是一個大棚苗木種植基地及其截面圖，其下半部分是一個長為20m，寬為1m的矩形，其上半部分是一條拋物線，現(xiàn)測得，大棚頂部的最高點距離地面5m．
【素材2】種植苗木時，每棵苗木高1.76m．為了保證生長空間，相鄰兩棵苗木種植點之間間隔1m，苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對稱分布．（即苗木的數(shù)目為偶數(shù)個）
【解決問題】
（1）大棚上半部分形狀是一條拋物線，設大棚的高度為y，種植點的橫坐標為x．根據(jù)圖②建立的平面直角坐標系，通過素材1提供的信息確定點的坐標，求出拋物線的解析式；
（2）探究種植范圍．在圖②的坐標系中，在不影響苗木生長的情況下（即y＞1.76），確定種植點的橫坐標x的取值范圍；
（3）擬定種植方案．給出最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量，并求出最左邊一棵苗木種植點的橫坐標x的值．
五、解答題（三）：（本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.）
22．（13分）問題背景：在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用方法．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關系．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，然后證明△AGF≌△AEF，從而得出結論： ；
（2）拓展延伸：如圖2，在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．
（3）嘗試應用：在（2）的條件下，若BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的邊長．
23．（14分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點P是直線BC下方拋物線上一動點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖（甲），在x軸上是否存在點E，使得以E，B，C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，請直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（乙），動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點的坐標和△PBC面積的最大值．
2024-2025學年廣東省惠州市惠東縣九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題.（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）
1．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；據(jù)此進行判斷即可．
【解答】解：A不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形，則A不符合題意；
B既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則B符合題意；
C是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，則C不符合題意；
D是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，則D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查軸對稱圖形，中心對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
2．【分析】按照“上加下減”的規(guī)律求則可．
【解答】解：將拋物線y＝x2的圖象向下平移3個單位，則平移后的拋物線的解析式為y＝x2﹣3．
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握平移規(guī)律“左加右減，上加下減”是解題的關鍵．
3．【分析】本題可利用根與系數(shù)的關系，求出該一元二次方程的二次項系數(shù)以及一次項系數(shù)的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次項系數(shù)a＝1，一次項系數(shù)b＝﹣3，
由根與系數(shù)的關系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故選：A．
【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，求解時可利用常規(guī)思路求解一元二次方程，也可以通過韋達定理提升解題效率
4．【分析】拋物線開口向上，且對稱軸為直線x＝﹣1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)：在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大．
【解答】解：∵二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴該拋物線開口向上，且對稱軸為直線：x＝﹣1．
∵點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝x2+2x+1的圖象上兩點，且﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2．
故選：A．
【點評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關鍵．
5．【分析】依據(jù)同意，直接利用二次函數(shù)最值求法得出答案．
【解答】解：∵拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴水柱的最大高度是：4．
故選：B．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，正確理解二次函數(shù)頂點坐標的意義是解題關鍵．
6．【分析】如圖，對于選項B、A，D，由垂徑定理證明，即可解決問題，C選項找不到關系，即可得答案．
【解答】解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點E，
∴弧BD＝弧BC，弧AC＝弧AD，CE＝DE，
∴選項A、B、D正確，不符合題意；
OE和BE的大小關系不能證明，故選項C符合題意；
故選：C．
【點評】該題主要考查了垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題；應牢固掌握垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識點．
7．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AE，∠BAE＝60°可得△ABE是等邊三角形．可得BE的長
【解答】解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，
∴∠BAE＝60°，BA＝AE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝5，
故選：A．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，本題關鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)．
8．【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k?（﹣1）＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k?（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故選：B．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
9．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出方程x（x﹣1）＝10．
【解答】解：由題意可得，
x（x﹣1）＝10，
故選：D．
【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程，這是一道典型的單循環(huán)問題．
10．【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸位置，與y軸的交點判斷a，b，c的符號即可．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點在y軸負半軸，
∴c＜0，
∵對稱軸在y軸右側(cè)，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，關鍵是對二次函數(shù)性質(zhì)的掌握．
二、填空題.（本大題共5小題，每小題3分，共15分.）
11．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．
【解答】解：由根與系數(shù)的關系可知：x1x2＝﹣6，
∵x1＝﹣2，
∴x2＝3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得出答案．
【解答】解：在體育課上，當老師下達口令“向左轉(zhuǎn)”時，左腳正確的動作應是以腳跟為旋轉(zhuǎn)中心，沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn)90度．
故答案為：腳跟，逆時針，90．
【點評】本題主要是考查生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，關鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義．
13．【分析】由x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一個解，將x＝2代入原方程，即可求得2m+n的值．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一個根，
∴4+2m+n＝0，
∴2m+n＝﹣4．
故答案為：﹣4．
【點評】本題主要考查了方程解的定義．解題的關鍵是將x＝2代入原方程，利用整體思想求解．
14．【分析】寫出拋物線在x軸下方所對應的自變量的范圍即可．
【解答】解：∵拋物線與x軸的交點為（0，0），（2，0），
∴當0＜x＜2時，y＜0．
故答案為：0＜x＜2．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程．
15．【分析】先求出拋物線與x軸的交點之間的距離，再根據(jù)交點式求解．
【解答】解：當y＝0時，0＝x2﹣2x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴OA＝2，
∴OA9＝20，
∴A8（18，0），A9（20，0），
∴拋物線C10的解析式是y＝﹣（x﹣18）（x﹣20）＝x2+38x﹣360，
故答案為：y＝x2+38x﹣360．
【點評】本題考查了點的坐標的變化規(guī)律，掌握拋物線的交點式是解題的關鍵．是解題的關鍵．
三、解答題（一）：（本大題共3小題，每小題7分，共21分.）
16．【分析】先把方程化成ax2+bx＝c的形式，然后方程兩邊同時加4，再利用直接開平方法，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
，
．
【點評】本題主要考查了解一元二次方程，解題關鍵是熟練掌握幾種常見的解一元二次方程的方法．
17．【分析】（1）設交點式為y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C點坐標代入求出a即可；
（2）計算自變量為﹣2所對應的二次函數(shù)值，若對應的函數(shù)值為3，則可判斷點P在該二次函數(shù)的圖象上，然后根據(jù)三角形面積公式計算△ABP的面積．
【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），
解得a＝﹣1，
∴拋物線解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）當x＝﹣2時，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴點P（﹣2，3）在該二次函數(shù)的圖象上，
∵A（﹣3，0），B（1，0），P（﹣2，3），
∴△ABP的面積＝×（1+3）×3＝6．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
18．【分析】（1）根據(jù)苗圃園的面積為108m2，可列出關于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結合墻長為16m，即可確定結論；
（2）假設苗圃園的面積能達到120m2，根據(jù)苗圃園的面積為120m2，可列出關于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程沒有實數(shù)根，進而可得出假設不成立，即苗圃園的面積不能達到120m2．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：x（30﹣2x）＝108，
整理得：x2﹣15x+54＝0，
解得：x1＝6，x2＝9，
當x＝6時，30﹣2x＝30﹣2×6＝18＞16，不符合題意，舍去；
當x＝9時，30﹣2x＝30﹣2×9＝12＜16，符合題意．
答：x的值為6；
（2）苗圃園的面積不能達到120m2，理由如下：
假設苗圃園的面積能達到120m2，
根據(jù)題意得：x（30﹣2x）＝120，
整理得：x2﹣15x+60＝0，
∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0，
∴原方程沒有實數(shù)根，
∴假設不成立，即苗圃園的面積不能達到120m2．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用以及根的判別式，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
四、解答題（二）：（本大題共3小題，每小題9分，共27分.）
19．【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定作出點D可得結論．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；
（3）滿足條件的點D如圖所示，D1（﹣5，﹣3），D2（3，3），D3（﹣7，3）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．
20．【分析】（1）過點O作OC⊥AB于C，依題意得AB＝8米，CD＝2米，則AC＝BC＝4米，設該圓的半徑為R米，則OC＝（R﹣2）米，然后在Rt△OAC中，由勾股定理求出R即可；
（2）當AB＝6米，則AC＝BC＝3米，在Rt△OAC中，由勾股定理求出OC＝4米，進而再求出CD即可．
【解答】解：（1）過點O作OC⊥AB于C，如圖所示：
依題意得：AB＝8米，CD＝2米，
由垂徑定理得：AC＝BC＝4米，
設該圓的半徑為R米，
則OC＝（R﹣2）米，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5（米），
答：該圓的半徑是5米．
（2）當AB＝6米時，
由垂徑定理得：AC＝BC＝3米，
由（1）知：OA＝OD＝5米，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC＝＝＝4（米），
∴CD＝OD﹣OD＝5﹣4＝1（米），
答：水面下盛水桶的最大深度為1米．
【點評】此題主要考查了垂徑定理的應用，勾股定理，熟練掌垂徑定理，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．
21．【分析】任務1：根據(jù)坐標系和題中條件可得出頂點坐標，即可設出拋物線的頂點式，然后把點B（10，1）代入即可得解析式；
任務2：根據(jù)題意可得，當﹣x2+5＝1.76時，解得：x1＝﹣9，x2＝9，再根據(jù)題中的要求即可求出種植點的橫坐標的取值范圍；
任務3：根據(jù)題中給出的條件可知，可在距離y軸0.5m的兩則開始種植，結合任務二中的范圍可求出答案．
【解答】解：任務1：根據(jù)圖中的坐標系以及題意可得，點A的坐標為（0，5），點B的坐標為（10，1），
∵拋物線的頂點坐標為點A（0，5），
∴可設拋物線的解析式為：y＝ax2+5，
把點B（10，1）代入可得：100a+5＝1，解得：a＝﹣，
∴拋物線的函數(shù)關系式為：y＝﹣x2+5；
任務2：∵種植苗木時，每棵苗木高1.76m，
∴當﹣x2+5＝1.76時，解得：x1＝﹣9，x2＝9，
∵苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對稱分布，
∴種植點的橫坐標的取值范圍為：﹣9＜x＜9；
任務3：根據(jù)題中所知，種植后苗木成軸對稱分布，且相鄰兩棵苗木種植點之間間隔1m，
∴在距離y軸0.5m的兩則開始種植，最前排可種植：9×2＝18（棵），
則最左邊一棵苗木種植點的橫坐標x＝﹣0.5﹣8＝﹣8.5．
答：最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量為18棵，最左邊一棵苗木種植點的橫坐標為﹣8.5．
【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的應用，解題關鍵：根據(jù)圖中給出的坐標系求出解析式．
五、解答題（三）：（本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.）
22．【分析】（1）探究發(fā)現(xiàn)：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，則△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解題；
（2）拓展延伸：如圖2，在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，同（1）可得結論仍然成立；
（3）嘗試應用：由（1）（2）可得EF＝BE+DF＝5，設正方形ABCD的邊長是x，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理可得出結論．
【解答】解：（1）探究發(fā)現(xiàn)：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∠ADG＝∠B＝90°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，∠BAE+∠DAF＝60°，
∴G、D、F三點共線，∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝60°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF，
故答案為：EF＝BE+DF；
（2）拓展延伸：結論仍然成立，
證明：如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠ADG＝∠B＝90°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，
∴G、D、F三點共線，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
（3）嘗試應用：由（1）（2）可得EF＝BE+DF＝5，
設正方形ABCD的邊長是x，
在Rt△CEF中，EC＝x﹣3，CF＝x﹣2，EF2＝EC2+CF2，
∴52＝（x﹣3）2+（x﹣2）2，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴正方形ABCD的邊長是6．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．
23．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當BC是斜邊時，根據(jù)勾股定理列出等式即可求解；當BE或CE為斜邊時，同理可解；
（3）由S△PBC＝S△PHB+S△PHC＝OB×PH，即可求解．
【解答】解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
則﹣4a＝﹣4，
解得：a＝1，
則拋物線的表達式為：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）存在，理由：
由拋物線的表達式知，點C（0，﹣4），
設點E（x，0），
則BC2＝32，BE2＝（x﹣4）2，CE2＝x2+16，
當BC是斜邊時，
則32＝（x﹣4）2+x2+16，
解得：x＝0或4，
即點E（0，0）或（4，0）；
當BE或CE為斜邊時，
同理可得：（x﹣4）2＝x2+16+32或32+（x﹣4）2＝x2+16，
解得：x＝4或﹣4，
即點E（4，0）（舍去）或（﹣4，0）；
綜上，點E（0，0）或（﹣4，0）；
（3）過點P作PH∥y軸交BC于點H，
由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝x﹣4，
則S△PBC＝S△PHB+S△PHC＝OB×PH＝4×（x﹣4﹣x2+3x+4）＝2（﹣x2+4x），
∵﹣2＜0，
故當x＝2時，S△PBC的最大值為8，
此時，點P（2，﹣6）．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到面積的計算、直角三角形的性質(zhì)，分類求解是解題的關鍵．

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