1．（3分）已知⊙O的半徑為1，OA＝2，則點A在（ ）
A．⊙O內(nèi)B．⊙O上C．⊙O外D．無法確定
2．（3分）下列函數(shù)關(guān)系中，y是x的二次函數(shù)的是（ ）
A．y＝1﹣x2B．C．y＝2x+1D．
3．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
4．（3分）若二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象過點（﹣1，﹣3），則必在該圖象上的點還有（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）
5．（3分）對于y＝﹣5（x﹣3）2+2的圖象下列敘述正確的是（ ）
A．頂點坐標(biāo)為（﹣3，2）
B．對稱軸為：直線x＝﹣3
C．當(dāng)x≥3時y隨x增大而減小
D．函數(shù)的最小值是2
6．（3分）下列說法中正確的說法有（ ）個
①不在同一直線上的三點確定一個圓；
②長度相等的兩條弧是等??；
③相等的圓心角所對的弧相等；
④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半徑為5，則弧CD的長為（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，則OF的長度是（ ）
A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，延長至點G，連接BG，過點A作AF⊥BG，垂足為F，AF交CD于點E，則下列錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于不同兩點，與y軸的交點在y軸正半軸，它的對稱軸為直線x＝1，有以下結(jié)論：①abc＜0，②2a+b＝0，③拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，④設(shè)x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，若am2+bm+c＝p，則p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空題（每題3分）
11．（3分）已知，則＝ ．
12．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B＝25°，則∠CAD＝ °．
13．（3分）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝2，半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)40°，點A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留π）．
14．（3分）如圖，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，BC＝6，若△ABC與△BDC相似，則BD＝ ．
15．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+3經(jīng)過（﹣4，n）和（2，n）兩點，則圖象的頂點坐標(biāo)為 ．
16．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，OF⊥AB于F．
（1）若AF＝OF，則∠ADB的度數(shù)為 ；
（2）若⊙O的半徑為5，AB＝8，則CD的長為 ．
三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）
17．（8分）如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．請畫出△ABC繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△AB1C1并寫出點B1、C1的坐標(biāo)．
18．（8分）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，BF＝4，求FC的長．
19．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點（0，3）和（1，1）．
（1）求拋物線C的解析式：
（2）將拋物線C先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線C1，求拋物線C1的頂點坐標(biāo)．
20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上任意一點，連結(jié)AD，AG，GD．
（1）找出圖中與∠G相等的角（不添加其它線），并說明理由；
（2）若點C是的中點，且CD＝AG，求∠G的度數(shù)．
21．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD，∠ADC＝90°，E為AB的中點．
（1）求證：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
22．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點（點P不與A、B重合），CD與EE是過點P的兩條弦，且CD＝EF，CD⊥EF．
（1）求證：PB平分∠FPD；
（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的長；
（3）求證：當(dāng)點P在AB上運動時，的值不變，并求出這個定值．
23．（10分）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m為非零實數(shù)）．
（1）當(dāng)m＝2時，二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為 ；
（2）若二次函數(shù)有最小值．
①求證：當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而減??；
②若﹣3≤x≤0時，y最大﹣y最小＝11，求m的值．
24．（12分）綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：
如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上
反思?xì)w納：
（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？
依據(jù)1： ；依據(jù)2： ．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為 ．
拓展探究：
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關(guān)于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E四點共圓；
②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．
2024-2025學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)文瀾中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分）
1．（3分）已知⊙O的半徑為1，OA＝2，則點A在（ ）
A．⊙O內(nèi)B．⊙O上C．⊙O外D．無法確定
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半徑為1，OA＝2，
∴點A在⊙O外．
故選：C．
【點評】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系定理是解決問題的關(guān)鍵．
2．（3分）下列函數(shù)關(guān)系中，y是x的二次函數(shù)的是（ ）
A．y＝1﹣x2B．C．y＝2x+1D．
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，由此判斷即可．
【解答】解：A、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；
B、不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
C、是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；
D、是反比例函數(shù)，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)，熟知二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
【分析】先根據(jù)∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；
B、添加∠B＝∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；
C、添加＝，可用兩邊及其夾角法判定△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．
4．（3分）若二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象過點（﹣1，﹣3），則必在該圖象上的點還有（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可判斷．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的對稱軸為y軸，
∴點（﹣1，﹣3）關(guān)于對稱軸的對稱點為（1，﹣3），
∴點（1，﹣3）必在該圖象上，
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）對于y＝﹣5（x﹣3）2+2的圖象下列敘述正確的是（ ）
A．頂點坐標(biāo)為（﹣3，2）
B．對稱軸為：直線x＝﹣3
C．當(dāng)x≥3時y隨x增大而減小
D．函數(shù)的最小值是2
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中說法是否正確，從而可以判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：∵y＝﹣5（x﹣3）2+2，
∴該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（3，2），故選項A錯誤，不符合題意；
對稱軸為直線x＝3，故選項B錯誤，不符合題意；
當(dāng)x≥3時，y隨x的增大而減小，故選項C正確，符合題意；
函數(shù)的最大值為2，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
6．（3分）下列說法中正確的說法有（ ）個
①不在同一直線上的三點確定一個圓；
②長度相等的兩條弧是等?。?br>③相等的圓心角所對的弧相等；
④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論、確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷即可．
【解答】解：①不在同一直線上的三點確定一個圓，原說法正確；
②能夠重合的弧是等弧，原說法不正確；
③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，原說法不正確；
④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，原說法不正確．
綜上所述，正確的說法有1個．
故選：A．
【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓的認(rèn)識，垂徑定理，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半徑為5，則弧CD的長為（ ）
A．B．C．D．
【分析】連接OA，OC，OD，求出∠AOC及∠AOD的度數(shù)，進(jìn)而得出∠COD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題．
【解答】解：連接OA，OC，OD，
∵∠B＝62°，
∴∠AOC＝2∠B＝124°．
∵∠ACD＝39°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝78°，
∴∠COD＝124°﹣78°＝46°，
又∵⊙O的半徑為5，
∴弧CD的長為：．
故選：C．
【點評】本題主要考查了弧長的計算、圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知弧長的計算公式及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，則OF的長度是（ ）
A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm
【分析】根據(jù)垂徑定理得出AB的長，進(jìn)而利用中位線定理得出OF即可．
【解答】解：連接AB，OB，
∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴OF＝．
故選：D．
【點評】此題考查垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，延長至點G，連接BG，過點A作AF⊥BG，垂足為F，AF交CD于點E，則下列錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】通過證明△ACD∽△ABC，可得，通過證明△ACD∽△CBD，可得，通過△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得，通過證明△GEF∽△GBD，可得，即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故A選項不合題意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B選項不合題意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴，
∴AD?BD＝DE?DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD?BD，
∴CD2＝DE?DG，
∴，
故C選項不合題意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D選項符合題意，
故選：D．
【點評】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于不同兩點，與y軸的交點在y軸正半軸，它的對稱軸為直線x＝1，有以下結(jié)論：①abc＜0，②2a+b＝0，③拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，④設(shè)x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，若am2+bm+c＝p，則p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸判斷b與0的關(guān)系，可判斷①；根據(jù)對稱軸公式可判斷②；根據(jù)拋物線的增減性可判斷③；根據(jù)拋物線與x軸交點情況分三種情況進(jìn)行討論，可判斷④．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與y軸的交點在y軸正半軸，
∴c＞0，
∵對稱軸為直線x＝1，
∴，即b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故結(jié)論①正確；
由①知：b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故結(jié)論②正確；
∵a＜0，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，
∴拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)其函數(shù)值就越小，
∵點P（x1，y1）和Q（x2，y2）在拋物線上，且x1＜1＜x2，x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，即x2到1的距離大于x1到1的距離，
∴y1＞y2，故結(jié)論③正確；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于不同兩點，設(shè)左邊交點的橫坐標(biāo)為x1，右邊交點的橫坐標(biāo)為x2，即x1＜x2，如圖所示，
若m＜x1，則p＜0，m﹣x1＜0，m﹣x2＜0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）＜0，
若x1≤m＜x2，則p≥0，m﹣x1≥0，m﹣x2＜0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，
若m≥x2，則p≤0，m﹣x1＞0，m﹣x2≥0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，
綜上所述，p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，故結(jié)論④正確，
∴正確的結(jié)論是①②③④．
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，賦值法，二次函數(shù)的增減性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識點，運用了分類討論的思想．掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分）
11．（3分）已知，則＝ ．
【分析】設(shè)＝k，則x＝2k，y＝3k，再代入所求式子計算即可．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)＝k，
則x＝2k，y＝3k，
∴＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，正確利用比值是解答本題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B＝25°，則∠CAD＝ 65 °．
【分析】連接CD，先根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠B＝∠D＝25°，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACD＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余進(jìn)行計算，即可解答．
【解答】解：連接CD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠D＝25°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°，
故答案為：65．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝2，半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)40°，點A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留π）．
【分析】根據(jù)題意可得出陰影部分的面積等于扇形ABA′的面積加上半圓面積再減去半圓面積，即為扇形面積即可．
【解答】解：∵S陰影＝S扇形ABA′+S半圓﹣S半圓
＝S扇形ABA′
＝
＝π．
故答案為：π．
【點評】本題考查的是扇形面積計算，掌握旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)、扇形面積公式S＝是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，BC＝6，若△ABC與△BDC相似，則BD＝ 或 ．
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)當(dāng)△ABC∽△CDB時，當(dāng)△ABC∽△BDC時，分別求出即可．
【解答】解：當(dāng)△ABC∽△CDB時，
∴＝，
∵AC＝10，BC＝6，
∴＝，
∴BD＝，
當(dāng)△ABC∽△BDC時，
∴＝，
∵AC＝10，BC＝6，
∴＝，
∴CD＝，
∴BD＝＝＝，
則BD的長為或．
故答案為：或．
【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．
15．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+3經(jīng)過（﹣4，n）和（2，n）兩點，則圖象的頂點坐標(biāo)為 （﹣1，4） ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象具有對稱性和二次函數(shù)的對稱軸，可以求得b的值，然后將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+3經(jīng)過（﹣4，n）和（2，n）兩點，
∴﹣＝，
解得b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，4），
故答案為：（﹣1，4）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出b的值．
16．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，OF⊥AB于F．
（1）若AF＝OF，則∠ADB的度數(shù)為 45° ；
（2）若⊙O的半徑為5，AB＝8，則CD的長為 6 ．
【分析】（1）過點A作⊙O的直徑AE，連接OB，則△AFO是等腰直角三角形，從而得∠OAF＝45°，再根據(jù)OA＝OB得∠OBA＝∠OAF＝45°，則∠AOB＝90°，由此可得∠ADB的度數(shù)；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝6，再根據(jù)∠ADB+∠CAD＝90°，∠BAE+∠E＝90°，∠E＝∠ADB得∠CAD＝∠BAE，進(jìn)而得＝，由此可得CD的長．
【解答】解：（1）過點A作⊙O的直徑AE，連接OB，如圖所示：
∵OF⊥AB，AF＝OF，
∴△AFO是等腰直角三角形，
∴∠OAF＝45°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAF＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
故答案為：45°；
（2）∵⊙O的半徑是5，AB＝8，
∴AE＝10，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝6，
∵AC⊥BD，
∴∠ADB+∠CAD＝90°，
又∵∠BAE+∠E＝90°，∠E＝∠ADB，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴＝，
∴CE＝BE＝6．
故答案為：6．
【點評】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）
17．（8分）如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．請畫出△ABC繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△AB1C1并寫出點B1、C1的坐標(biāo)．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
【解答】解：如圖，△AB1C1即為所求．
由圖可得，B1（2，﹣2），C1（4，﹣1）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
18．（8分）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，BF＝4，求FC的長．
【分析】先判斷四邊形BDEF為平行四邊形，則EF＝BD＝3，再證明△CEF∽△CAB，利用相似比得到＝，然后利用比例性質(zhì)求CF的長．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形BDEF為平行四邊形，
∴EF＝BD＝3，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴FC＝．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．
19．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點（0，3）和（1，1）．
（1）求拋物線C的解析式：
（2）將拋物線C先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線C1，求拋物線C1的頂點坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得拋物線C的解析式：
（2）根據(jù)平移規(guī)律寫出拋物線C1的解析式，繼而求得頂點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把點（0，3）和（1，1）分別代入y＝﹣x2+bx+c，得
．
解得．
故該拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣x+3；
（2）由（1）知，拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x+3．
所以y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
將其先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線C1的解析式為：y＝﹣（x++2）2+﹣1，即y＝﹣（x+）2+．
故拋物線C1的頂點坐標(biāo)是（﹣，）．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的過程中注意配方法的應(yīng)用．
20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上任意一點，連結(jié)AD，AG，GD．
（1）找出圖中與∠G相等的角（不添加其它線），并說明理由；
（2）若點C是的中點，且CD＝AG，求∠G的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得＝，從而得＝，再由圓周角定理得∠ADC＝∠G；
（2）連接OC，由點C是的中點得＝，由CD＝AG得＝，再由＝得＝4，從而可求出∠BOC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)（1）中的結(jié)論得到∠G的度數(shù)即可．
【解答】解：（1）與∠G相等的角是∠ADC．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠G．
（2）如圖，連接OC．
∵點C是的中點，
∴＝，
∵CD＝AG，
∴＝，
∵＝，
∴＝4，
∴∠BOC＝＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ADC＝∠AOC×135°＝67.5°，
∵∠ADC＝∠G，
∴∠G＝67.5°．
【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弦、弧的關(guān)系，掌握圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弦、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD，∠ADC＝90°，E為AB的中點．
（1）求證：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【分析】（1）根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)∠EAC＝∠ECA，∠DAC＝∠CAE，即可得出∠DAC＝∠ECA，進(jìn)而得到CE∥AD，即可判定△CEF∽△ADF，即可得出＝＝，進(jìn)而得到＝．
【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AC2＝AB?AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
又∵E為AB的中點，AB＝6，
∴CE＝AB＝AE＝3，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．
22．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點（點P不與A、B重合），CD與EE是過點P的兩條弦，且CD＝EF，CD⊥EF．
（1）求證：PB平分∠FPD；
（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的長；
（3）求證：當(dāng)點P在AB上運動時，的值不變，并求出這個定值．
【分析】（1）證明Rt△OHF≌Rt△OND（HL），即可求解；
（2）證明△OPH為等腰直角三角形，則OH＝PH，則FO＝＝＝，即可求解；
（3）由PE2+PF2＝（EH﹣PH）2+（FH﹣PH）2＝（FH﹣OH）2+（FH﹣OH）2＝2（OH2+FH2）＝2r2，即可求解．
【解答】（1）證明：過點O分別作EF、CE的垂線，垂足分別為點H、N，連接OF、OD，
則HF＝EF，ND＝CD，F(xiàn)O＝DO，
∵CD＝EF，則HF＝ND，
∴Rt△OHF≌Rt△OND（HL），
則ON＝OH，
故PB平分∠FPD；
（2）解：如上圖，由（1）知，∠FPG＝∠DPG＝45°，
則△OPH為等腰直角三角形，則OH＝PH，
∵PE＝3，PF＝5，則EF＝5+3＝8，
則FH＝EF＝4，則PH＝5﹣4＝1＝HO，
則FO＝＝＝，
則AB＝2FO＝2；
（3）的值不變，為，理由：
證明：由（1）知，∠FPG＝45°，設(shè)圓O的半徑為r，
過點O作OH⊥EF，則△OPH為等腰直角三角形，則OH＝PH，F(xiàn)H＝EH，
在Rt△OHF中，F(xiàn)O2＝r2＝OH2+FH2，
則PE2+PF2＝（EH﹣PH）2+（FH﹣PH）2＝（FH﹣OH）2+（FH﹣OH）2＝2（OH2+FH2）＝2r2，
而AB2＝4r2，
則＝．
【點評】本題考查對的是圓的綜合題，涉及到勾股定理的運用、垂徑定理、三角形全等、等腰直角三角形的性質(zhì)等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m為非零實數(shù)）．
（1）當(dāng)m＝2時，二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為 （1，0）或（2，0） ；
（2）若二次函數(shù)有最小值．
①求證：當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而減??；
②若﹣3≤x≤0時，y最大﹣y最?。?1，求m的值．
【分析】（1）當(dāng)m＝2時，y＝2x2﹣6x+4，當(dāng)y＝0時，即2x2﹣6x+4＝0，即可求解；
（2）①若二次函數(shù)有最小值，則m＞0，而對稱軸為直線x＝﹣＝1+＞1，即可求解；
②由①知，當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而減小，故當(dāng)x＝﹣3時，ymax＝9m﹣2（m+1）×（﹣3）+4＝15m+10，當(dāng)x＝0時，ymin＝4，即可求解．
【解答】（1）解：當(dāng)m＝2時，y＝2x2﹣6x+4，
當(dāng)y＝0時，即2x2﹣6x+4＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
故答案為：（1，0）或（2，0）；
∴二次函數(shù)圖象與x軸交于（1，0）和（2，0 ）；
（2）①證明：∵若二次函數(shù)有最小值，
∴m＞0，
∵對稱軸為直線x＝﹣＝1+，
∴x≤1在對稱軸的左側(cè)，開口向上，y隨x的增大而減小；
②解：由①知，當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而減小，
故當(dāng)x＝﹣3時，ymax＝9m﹣2（m+1）×（﹣3）+4＝15m+10，
當(dāng)x＝0時，ymin＝4，
即15m+10﹣4＝11，
則m＝﹣．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到函數(shù)的最值、拋物線和x軸的交點等，熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：
如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上
反思?xì)w納：
（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？
依據(jù)1： 圓內(nèi)接四邊形對角互補 ；依據(jù)2： 過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓 ．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為 45° ．
拓展探究：
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關(guān)于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E四點共圓；
②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過三點的圓解答即可；
（2）根據(jù)四點共圓、圓周角定理解答；
（3）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，進(jìn)而得到∠AED＝∠ABC，證明結(jié)論；
②連接CF，證明△ABD∽△AFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．
【解答】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓，
故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝45°，
∴∠4＝45°，
故答案為：45°；
（3）①證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵點E與點C關(guān)于AD的對稱，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四點共圓；
②解：AD?AF的值不會發(fā)生變化，
理由如下：如圖4，連接CF，
∵點E與點C關(guān)于AD對稱，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四點共圓，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F(xiàn)，C四點共圓，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD?AF＝AB2＝8．
【點評】本題考查的是四點共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，正確理解四點共圓的條件是解題的關(guān)鍵

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