1．（3分）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為，那么它們的周長(zhǎng)比是
A．B．C．D．
2．（3分）在中，，則等于
A．B．C．D．
3．（3分）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)
B．從一個(gè)只裝有紅球的袋子里摸出白球
C．三角形兩邊之和大于第三邊
D．明天會(huì)下雨
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一點(diǎn)A（﹣3，4），以原點(diǎn)為圓心，5為半徑作⊙O，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)A在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O上D．無(wú)法確定
5．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝140°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．40°B．80°C．140°D．160°
6．（3分）如圖，在紙片中，，．將紙片沿某直線剪開(kāi)，下列四種方式中剪下的陰影三角形與相似的是
A．①②B．②④C．③④D．①③
7．（3分）如圖，中，，，射線平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)，作射線的垂線，垂足分別是點(diǎn)，，將的面積設(shè)為，那么的面積是
A．B．C．D．
8．（3分）如圖，王同學(xué)將一長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形木板，在桌面上做無(wú)滑動(dòng)的翻滾（順時(shí)針?lè)较颍┠景迳宵c(diǎn)位置變化為，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成角，則點(diǎn)翻滾到位置時(shí)共走過(guò)的路徑長(zhǎng)為
A．B．C．D．
9．（3分）已知拋物線，是常數(shù)，，過(guò)點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是
A．B．C．或D．
10．（3分）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，且，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的大小不可能為
A．B．C．D．
二、填空題（本題有6小題每小題4分，共24分）
11．（4分）已知，則的值為 ．
12．（4分）拋物線先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到拋物線的解析式為 ．
13．（4分）大自然巧奪天工，一片小小樹(shù)葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，為的黃金分割點(diǎn)，如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度是 ．
14．（4分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則方程的根是 ．
15．（4分）如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，、如圖所示，則 ．
16．（4分）如圖，在中，，把沿斜邊折疊，得到，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，若，，則 ．
三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過(guò)程）
17．（6分）計(jì)算：．
18．（6分）中國(guó)古代的“四大名著”是指《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《西游記》《三國(guó)演義》，它們不僅是文學(xué)藝術(shù)的瑰寶，也蘊(yùn)含了深刻的現(xiàn)實(shí)意義，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分．
（1）若從這四部著作中隨機(jī)抽取一本，則抽取的恰好是《紅樓夢(mèng)》的概率是 ．
（2）若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本），求抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的概率．
19．（6分）如圖，在中，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，且．
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)度．
20．（8分）如圖，遼寧艦在我國(guó)海域巡航，某時(shí)位于我國(guó)海域的處，發(fā)現(xiàn)一艘國(guó)外軍艦位于遼寧艦的北偏東方向，距離遼寧艦的處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于遼寧艦正東方向的處，國(guó)外軍艦已進(jìn)入我國(guó)海域邊緣，此時(shí)，遼寧艦向國(guó)外軍艦發(fā)出警示，國(guó)外軍艦收到警示后，沿正南方向繼續(xù)航行，到達(dá)遼寧艦的南偏東方向的處．
（1）求處距離遼寧艦有多遠(yuǎn)；
（2）求處距離遼寧艦有多遠(yuǎn)（結(jié)果精確到．（參考數(shù)據(jù)：，，；，，
21．（8分）如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
22．（10分）如圖，已知中，，與切于點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，已知．
（1）判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留
23．（10分）已知二次函數(shù)，點(diǎn)，與，都在該函數(shù)的圖象上，且．
（1）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)，與，與直線的距離恒相等，求的值；
（3）若，求的最小值．
24．（12分）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為12，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，直線分別交射線、射線于點(diǎn)、．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如果，求的正切值．
（3）當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)線段，，求關(guān)于的函數(shù)解析式．
2023-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)文瀾中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為，那么它們的周長(zhǎng)比是
A．B．C．D．
【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為，
它們的周長(zhǎng)比是：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（3分）在中，，則等于
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)余弦等于鄰邊比斜邊列式即可得解．
【解答】解：在中，，則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．
3．（3分）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)
B．從一個(gè)只裝有紅球的袋子里摸出白球
C．三角形兩邊之和大于第三邊
D．明天會(huì)下雨
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．
【解答】解：A、買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；
B、從一個(gè)只裝有紅球的袋子里摸出白球是不可能事件，故B正確；
C、三角形兩邊之和大于第三邊是必然事件，故C錯(cuò)誤；
D、明天會(huì)下雨是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一點(diǎn)A（﹣3，4），以原點(diǎn)為圓心，5為半徑作⊙O，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)A在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O上D．無(wú)法確定
【分析】先求出點(diǎn)A到圓心O的距離，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置依據(jù)判斷可得．
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣3，4）到圓心O的距離OA＝＝5，
∴OA＝r＝5，
∴點(diǎn)A在⊙O上，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
5．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝140°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．40°B．80°C．140°D．160°
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理解答．
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠A＝40°，
由圓周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在紙片中，，．將紙片沿某直線剪開(kāi)，下列四種方式中剪下的陰影三角形與相似的是
A．①②B．②④C．③④D．①③
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：如圖，
圖①中，，，所以和相似；
圖②中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；
圖③中，，，所以和相似；
圖④中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；
所以陰影三角形與原三角形相似的有①③，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，能熟記有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似是解此題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，中，，，射線平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)，作射線的垂線，垂足分別是點(diǎn)，，將的面積設(shè)為，那么的面積是
A．B．C．D．
【分析】由角平分線的性質(zhì)得到，由三角形面積公式推出，由，得到，而的面積，即可求出的面積．
【解答】解：過(guò)作于，于，
平分，
，
的面積，的面積，
，
，
，，
，
，
的面積，
的面積．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式推出，由，推出．
8．（3分）如圖，王同學(xué)將一長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形木板，在桌面上做無(wú)滑動(dòng)的翻滾（順時(shí)針?lè)较颍┠景迳宵c(diǎn)位置變化為，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成角，則點(diǎn)翻滾到位置時(shí)共走過(guò)的路徑長(zhǎng)為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到點(diǎn)以為旋轉(zhuǎn)中心，以為旋轉(zhuǎn)角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；是由以為旋轉(zhuǎn)中心，以為旋轉(zhuǎn)角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由于，，，，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：點(diǎn)以為旋轉(zhuǎn)中心，以為旋轉(zhuǎn)角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；是由以為旋轉(zhuǎn)中心，以為旋轉(zhuǎn)角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，，
點(diǎn)翻滾到位置時(shí)共走過(guò)的路徑長(zhǎng)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，旋轉(zhuǎn)變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
9．（3分）已知拋物線，是常數(shù)，，過(guò)點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是
A．B．C．或D．
【分析】根據(jù)所給點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性即可解決問(wèn)題．
【解答】解：由題知，
將代入拋物線解析式得，
，
所以拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，
則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．
同理可得，，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
所以，
則．
又因?yàn)椋?br>所以，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，巧妙利用拋物線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，且，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的大小不可能為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交直線于點(diǎn)，，分三種情況畫圖進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：
連接，
①如圖1，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交直線于點(diǎn)，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得．
的大小為；
②如圖2，
設(shè)，
，
，
，
，
在中，
，
解得，
；
③如圖3，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得，
．
綜上：的大小為：、、．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分三種情況討論．
二、填空題（本題有6小題每小題4分，共24分）
11．（4分）已知，則的值為 ．
【分析】依據(jù)比例的性質(zhì)，即可得到，代入分式化簡(jiǎn)求值即可．
【解答】解：，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解題時(shí)注意：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．
12．（4分）拋物線先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到拋物線的解析式為 ．
【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．
【解答】解：拋物線先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到拋物線的解析式為，即．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）大自然巧奪天工，一片小小樹(shù)葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，為的黃金分割點(diǎn)，如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度是 ．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義及黃金比即可解決問(wèn)題．
【解答】解：由題知，
因?yàn)辄c(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查黃金分割，熟知黃金分割的定義及黃金比是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則方程的根是 或 ．
【分析】由二次函數(shù)的部分圖象過(guò)，得方程的根是，即可得方程的根滿足，故方程的根是．
【解答】解：由二次函數(shù)的圖象過(guò)，，
得方程的根是或1，
故方程的根滿足或1，
故方程的根是或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用整體思想．
15．（4分）如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，、如圖所示，則 ．
【分析】連接，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出，同理可得出：，由結(jié)合可得出，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，，利用勾股定理可得出的長(zhǎng)，由三角函數(shù)定義即可得出答案．
【解答】解：連接，如圖所示：
在中，，，
，
同理得：．
又，
．
設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的變化規(guī)律等知識(shí)；構(gòu)造出含一個(gè)銳角等于的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，在中，，把沿斜邊折疊，得到，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，若，，則 ．
【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，首先證明四邊形為平行四邊形，，再證明四邊形為矩形，用勾股定理計(jì)算出，由折疊圖形性質(zhì)、平行線性質(zhì)及角平分線性質(zhì)定理可得，最后證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：如圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
又由折疊性質(zhì)可得，，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，，
，，
又，
，
又，
四邊形為矩形．
，
，
由折疊性質(zhì)可得，
又，
．
又，為的角平分線，
，
由，
，
，
設(shè)，，則，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、軸對(duì)稱、勾股定理、角平分線性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．
三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過(guò)程）
17．（6分）計(jì)算：．
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可．
【解答】解：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了特殊三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟知相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
18．（6分）中國(guó)古代的“四大名著”是指《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《西游記》《三國(guó)演義》，它們不僅是文學(xué)藝術(shù)的瑰寶，也蘊(yùn)含了深刻的現(xiàn)實(shí)意義，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分．
（1）若從這四部著作中隨機(jī)抽取一本，則抽取的恰好是《紅樓夢(mèng)》的概率是 ．
（2）若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本），求抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）從“四大名著”《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《西游記》《三國(guó)演義》中隨機(jī)抽取一本，
抽取的恰好是《紅樓夢(mèng)》的概率是，
故答案為：；
（2）把《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《西游記》《三國(guó)演義》，分別記為、、、，
畫樹(shù)狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的結(jié)果有2種，即、，
抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的概率．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．（6分）如圖，在中，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，且．
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)度．
【分析】（1）由可得到，則，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】（1）證明：，
，
，
．
；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，注意利用等腰三角形的性質(zhì)來(lái)找角相等．
20．（8分）如圖，遼寧艦在我國(guó)海域巡航，某時(shí)位于我國(guó)海域的處，發(fā)現(xiàn)一艘國(guó)外軍艦位于遼寧艦的北偏東方向，距離遼寧艦的處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于遼寧艦正東方向的處，國(guó)外軍艦已進(jìn)入我國(guó)海域邊緣，此時(shí)，遼寧艦向國(guó)外軍艦發(fā)出警示，國(guó)外軍艦收到警示后，沿正南方向繼續(xù)航行，到達(dá)遼寧艦的南偏東方向的處．
（1）求處距離遼寧艦有多遠(yuǎn)；
（2）求處距離遼寧艦有多遠(yuǎn)（結(jié)果精確到．（參考數(shù)據(jù)：，，；，，
【分析】（1）在中，，代入計(jì)算即可．
（2）在中，，代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）由題意得，，，
在中，．
處距離遼寧艦約有．
（2）在中，，，
．
處距離遼寧艦約有．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
21．（8分）如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）連接，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．
【解答】（1）證明：是的中點(diǎn)，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如圖，連接，
設(shè)，則，
，，
，
在中，，即，
解得：（負(fù)值舍去），
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系、垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，已知中，，與切于點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，已知．
（1）判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留
【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)得出，再根據(jù)切線的判定方法進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)平角的定義以及等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出、、，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】（1）證明：是的切線，理由：
連接，
與相切于點(diǎn)，
，
在和中，
，，，
，
，即，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)和判定，扇形面積的計(jì)算以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)和判定方法，扇形面積的計(jì)算方法以及等腰三角形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．
23．（10分）已知二次函數(shù)，點(diǎn)，與，都在該函數(shù)的圖象上，且．
（1）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)，與，與直線的距離恒相等，求的值；
（3）若，求的最小值．
【分析】（1）把解析式化成頂點(diǎn)式即可求解；
（2）根據(jù)題意，列出方程，化簡(jiǎn)后將代入即可求解；
（3）根據(jù)題意，由（1）（2）可得，在直線的左側(cè)，在直線的右側(cè)或重合在直線上，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可求解．
【解答】解（1）二次函數(shù)，
函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為．
（2）點(diǎn)，與，與直線的距離恒相等，
，
，
化簡(jiǎn)得，
又，，
．
故的值為1．
（3），
由（1）（2）可得，在直線的左側(cè)，在直線的右側(cè)或重合在直線上，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，的最小值為．
故時(shí)，的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
24．（12分）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為12，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，直線分別交射線、射線于點(diǎn)、．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如果，求的正切值．
（3）當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)線段，，求關(guān)于的函數(shù)解析式．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，根據(jù)同角的與角相等得，利用即可得；
（2）根據(jù)全等三角形、相似三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理得出即可．
【解答】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，，
，
，
設(shè)，則，，
，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程的根，
或，
在中，
或，
的正切值為或；
（3）如圖，
由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的前提．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/2/22 23:57:15；用戶：佩服還小飛飛；郵箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；學(xué)號(hào)：26025303

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